Erdmagnetfeld und Lärmschutz · Physik Q1 Grundkurs

Das Erdmagnetfeld als Schutzschild

Von der Sonne strömt ständig der Sonnenwind: geladene Teilchen (vor allem Protonen und Elektronen) mit Geschwindigkeiten um $4 \cdot 10^5\,\mathrm{\frac{m}{s}}$. Ohne Schutz würden sie die Atmosphäre abtragen und die Strahlenbelastung am Boden stark erhöhen.

Das Erdmagnetfeld ist näherungsweise ein Dipolfeld. In Mitteleuropa beträgt die magnetische Flussdichte etwa $48\,\mathrm{\mu T}$. Auf ein geladenes Teilchen wirkt die Lorentzkraft:

Das Teilchen läuft also auf einer Kreisbahn. Bewegt es sich schräg zu den Feldlinien, wird daraus eine Schraubenbahn um die Feldlinie. Teilchen werden so entlang der Feldlinien Richtung Pole gelenkt. Dort treffen sie auf Luftmoleküle und regen sie zum Leuchten an: das Polarlicht. Im Van-Allen-Gürtel werden Teilchen zwischen den Polen hin und her „gefangen“.

Radius der Protonenbahn

Ein Proton ($v = 4{,}0 \cdot 10^5\,\mathrm{\frac{m}{s}}$) trifft senkrecht auf $B = 5{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}$. Berechne die Lorentzkraft und den Bahnradius.

Lorentzkraft: $F_\mathrm{L} = e \cdot v \cdot B = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C} \cdot 4{,}0 \cdot 10^5\,\mathrm{\frac{m}{s}} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} \approx 3{,}2 \cdot 10^{-18}\,\mathrm{N}$.

Radius mit $m_p = 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$: $r = \frac{m_p \cdot v}{e \cdot B} = \frac{1{,}673 \cdot 10^{-27} \cdot 4{,}0 \cdot 10^5}{1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-5}}\,\mathrm{m}$

Rechne den Wert aus und vergleiche ihn mit dem Erdradius ($6{,}37 \cdot 10^6\,\mathrm{m}$). Ergebnis: $r \approx 84\,\mathrm{m}$ – winzig gegenüber der Erde, das Teilchen wird also stark abgelenkt.

Üben★☆☆

Geladene Teilchen des Sonnenwinds (Protonen, $v = 4,0 \cdot 10^5\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$) treffen senkrecht auf das Erdmagnetfeld mit…

Geladene Teilchen des Sonnenwinds (Protonen, $v = 4,0 \cdot 10^5\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$) treffen senkrecht auf das Erdmagnetfeld mit $B = 5,0 \cdot 10^{-5}\ \text{T}$. Es gilt $e = 1,602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

a) Berechnen Sie die Lorentzkraft auf ein Proton.
b) Beschreiben Sie die Bahn des Protons im Feld.

Lösen

Üben★★☆

Protonen mit der kinetischen Energie $E = 1,0\ \text{keV}$ treffen senkrecht auf ein Feld $B = 4,0 \cdot 10^{-5}\ \text{T}$. Verwenden Sie…

Protonen mit der kinetischen Energie $E = 1,0\ \text{keV}$ treffen senkrecht auf ein Feld $B = 4,0 \cdot 10^{-5}\ \text{T}$. Verwenden Sie $m_p = 1,673 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit.
b) Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn und vergleichen Sie ihn mit dem Erdradius $6,37 \cdot 10^6\ \text{m}$.
c) Erklären Sie, warum die Teilchen Richtung Pole gelenkt werden.

Lösen

Schutzwirkung beurteilen

Beurteilen heißt: ein Urteil fällen und es mit Argumenten und Zahlen begründen. Der Bahnradius ist das Maß: Ist $r$ klein gegenüber der Größe des Feldbereichs, wird das Teilchen abgelenkt oder eingefangen. Ist $r$ viel größer, durchdringt es das Feld nahezu ungehindert.

Sonnensturm

Protonen mit $E = 1{,}0\,\mathrm{MeV}$ erreichen ein Feld von $B = 5 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{T}$ in 10 Erdradien Höhe. Mit $v = \sqrt{2E/m} \approx 1{,}4 \cdot 10^7\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ folgt $r = \frac{m v}{e B} \approx 3 \cdot 10^3\,\mathrm{km}$. Das ist deutlich kleiner als 10 Erdradien ($\approx 6{,}4 \cdot 10^4\,\mathrm{km}$): Das Feld lenkt diese Protonen ab. Wie sieht es bei kosmischer Strahlung mit $10^{10}\,\mathrm{eV}$ und mehr aus?

Antwort anzeigen

Mit wachsender Energie wächst der Radius stark an. Bei solchen Energien muss man relativistisch rechnen ($r = p/(e B)$ mit dem relativistischen Impuls p). Für $10\,\mathrm{GeV}$ und $B = 5 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{T}$ ergibt sich mit $p \approx 5{,}3 \cdot 10^{-18}\,\mathrm{\frac{kg \cdot m}{s}}$ ein Radius $r = \frac{p}{e B} \approx 7 \cdot 10^{5}\,\mathrm{km}$, also mehr als 10 Erdradien und viel größer als der Feldbereich. Solche Teilchen werden nur schwach abgelenkt und erreichen die Atmosphäre. Das Erdmagnetfeld schützt also gut gegen den Sonnenwind, aber nicht vollständig gegen die energiereichste kosmische Strahlung. Dort schwächt zusätzlich die Atmosphäre die Strahlung ab.

Auch Menschen nutzen das Erdmagnetfeld: Kompass zur Orientierung, Zugvögel (vermutet). Außerdem schützt es indirekt die Atmosphäre: Sie wird nicht vom Sonnenwind abgetragen, und die Strahlenbelastung am Boden bleibt gering. Der Mars hat kein globales Magnetfeld; sein Sonnenwind-Schutz fehlt, und seine Atmosphäre ist über Jahrmilliarden stark ausgedünnt worden.

Üben★☆☆

Nennen Sie je zwei Beispiele, bei denen (a) das Erdmagnetfeld dem Menschen nützt, und (b) Schallüberlagerung gezielt eingesetzt wird.

Lösen

Üben★★☆

Auf der Erde ist das Magnetfeld in Mitteleuropa etwa $48\ \mu\text{T}$ stark. Auf dem Mars gibt es kein globales Magnetfeld. a) Beschreiben Sie, welche Folgen das Fehlen…

Auf der Erde ist das Magnetfeld in Mitteleuropa etwa $48\ \mu\text{T}$ stark. Auf dem Mars gibt es kein globales Magnetfeld.

a) Beschreiben Sie, welche Folgen das Fehlen eines Magnetfelds für geladene Teilchen aus dem All hat.
b) Beurteilen Sie, welche Bedeutung das für Leben auf der Oberfläche und für die Atmosphäre hat.

Lösen

Üben★★★

Ein Sonnensturm schickt Protonen mit $E = 1,0\ \text{MeV}$ in Richtung Erde. Das Erdfeld in 10 Erdradien Höhe beträgt etwa $B = 5 \cdot 10^{-8}\ \text{T}$. a) Berechnen…

Ein Sonnensturm schickt Protonen mit $E = 1,0\ \text{MeV}$ in Richtung Erde. Das Erdfeld in 10 Erdradien Höhe beträgt etwa $B = 5 \cdot 10^{-8}\ \text{T}$.

a) Berechnen Sie den Bahnradius der Protonen.
b) Bewerten Sie, ob das Erdmagnetfeld die Protonen bei dieser Energie ablenken kann.
c) Diskutieren Sie, warum sehr energiereiche kosmische Teilchen das Feld trotzdem durchdringen können, und was das für die Strahlenbelastung auf der Erdoberfläche bedeutet.

Lösen

Lärmschutz durch Interferenz: Antischall

Kopfhörer mit Noise-Cancelling messen mit einem Mikrofon den Störschall und erzeugen ein Gegensignal. Treffen beide Wellen aufeinander, überlagern sie sich nach dem Superpositionsprinzip. Bei gleicher Amplitude und einer Phasenverschiebung von $\pi$ (Gegenphase) gilt Auslöschung: destruktive Interferenz.

Die Wellenlänge folgt aus $c = \lambda \cdot f$. Für destruktive Interferenz zweier gleichphasiger Quellen muss der Gangunterschied $\Delta s = \left(k + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$ betragen, mindestens also $\lambda/2$.

Grenzen: Die Elektronik braucht Zeit. Eine Verzögerung $\Delta t$ bewirkt eine zusätzliche Phasenverschiebung $\varphi = 2\pi f \Delta t$. Sie wächst mit $f$. Bei kleinem $\varphi$ bleibt eine Restamplitude von etwa $\varphi$ (relativ zum ursprünglichen Störsignal). Bei $f = 1{,}0\,\mathrm{kHz}$ und $\Delta t = 0{,}05\,\mathrm{ms}$ ist $\varphi = 2\pi \cdot 1000 \cdot 5 \cdot 10^{-5} \approx 0{,}31$: Es bleiben rund 31 % der Amplitude. Bei hohen Frequenzen und wechselnden Geräuschen funktioniert Antischall daher schlechter; außerdem ist die Auslöschung nur an einem Ort (am Ohr) gut.

Üben★☆☆

Zwei Schallwellen gleicher Frequenz und Amplitude überlagern sich. Beim Kopfhörer mit aktiver Geräuschunterdrückung wird das Störsignal mit einem Gegensignal überlagert.…

Zwei Schallwellen gleicher Frequenz und Amplitude überlagern sich. Beim Kopfhörer mit aktiver Geräuschunterdrückung wird das Störsignal mit einem Gegensignal überlagert.

a) Geben Sie an, welche Phasenverschiebung das Gegensignal haben muss.
b) Nennen Sie den Fachbegriff für diese Überlagerung.

Lösen

Üben★★☆

Ein Störgeräusch mit $f = 200\ \text{Hz}$ ($c = 340\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$) soll durch ein Gegensignal ausgelöscht werden, das von einem Lautsprecher in einer…

Ein Störgeräusch mit $f = 200\ \text{Hz}$ ($c = 340\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$) soll durch ein Gegensignal ausgelöscht werden, das von einem Lautsprecher in einer Kopfhörermuschel erzeugt wird.

a) Berechnen Sie die Wellenlänge des Störgeräuschs.
b) Berechnen Sie den Wegunterschied, der für destruktive Interferenz bei gleichphasiger Quelle mindestens erforderlich wäre.
c) Beurteilen Sie, warum das System bei hohen Frequenzen schlechter funktioniert.

Lösen

Üben★★★

Ein Hersteller wirbt für Kopfhörer: „Sie löschen jeden Lärm aus.“ Das Gerät erzeugt mit einem Mikrofon und einer Elektronik ein Gegensignal mit einer Verzögerung von…

Ein Hersteller wirbt für Kopfhörer: „Sie löschen jeden Lärm aus.“ Das Gerät erzeugt mit einem Mikrofon und einer Elektronik ein Gegensignal mit einer Verzögerung von $\Delta t = 0,05\ \text{ms}$.

a) Berechnen Sie die Phasenverschiebung des Gegensignals zusätzlich zur idealen Gegenphase bei $f = 1,0\ \text{kHz}$ ($\varphi = 2\pi f \Delta t$).
b) Berechnen Sie die verbleibende relative Amplitude des Störschalls bei dieser Phasenabweichung (Überlagerung von Störschall und Gegensignal im Zeigerdiagramm: $A_{\text{rest}}/A = 2\sin(\varphi/2) \approx \varphi$).
c) Bewerten Sie die Werbeaussage physikalisch und nennen Sie zwei Einschränkungen.

Lösen

Lärmschutzwand und Beugung

Neben der Autobahn schützt eine Lärmschutzwand. Hinter der Wand entsteht ein „Schallschatten“, doch Wellen werden an der Kante gebeugt (Huygens'sches Prinzip: Von der Kante gehen Elementarwellen aus). Die Beugung ist umso stärker, je größer die Wellenlänge im Vergleich zur Hindernisgröße ist.

Verkehrslärm: $100\,\mathrm{Hz}$ bis $2.000\,\mathrm{Hz}$, also $\lambda = c/f$ von $3{,}4\,\mathrm{m}$ bis $0{,}17\,\mathrm{m}$. Eine Wand der Höhe $4{,}0\,\mathrm{m}$ ist für $\lambda = 0{,}17\,\mathrm{m}$ ein großes Hindernis (deutlicher Schatten), für $\lambda = 3{,}4\,\mathrm{m}$ dagegen nur etwa so groß wie die Wellenlänge: Der tiefe Schall wird um die Kante herumgebeugt.

Bewertung einer Maßnahme

Für ein Wohngebiet in Dortmund wird eine höhere Wand oder zusätzlicher aktiver Schutz erwogen.

Tiefe Frequenzen ($\lambda \approx 3\,\mathrm{m}$) werden stark gebeugt, eine höhere Wand verbessert sie nur begrenzt; hohe Frequenzen blockiert die Wand gut.

Aktiver Schutz (Antischall) im Freien ist kaum praktikabel: Er wirkt nur lokal und müsste ein großes Volumen abdecken.

Nenne ein Entscheidungskriterium. Mögliche Antwort: Verhältnis von Dämpfung (in dB) zu Kosten und Landschaftsbild, oder Pegelreduktion an der Wohnbebauung gemäß Grenzwert. Zur Beurteilung von Störgeräuschreduzierung gehören Kriterien wie Frequenzbereich des Lärms, erreichte Pegelsenkung am Ort, Kosten und Praktikabilität. Auch Schalldämmung (z. B. Schallschutzfenster) senkt den Pegel, vor allem bei hohen Frequenzen.

Üben★★★

Ein Wohngebiet in Dortmund liegt neben einer Autobahn. Eine Lärmschutzwand der Höhe $h = 4,0\ \text{m}$ soll den Schall abschirmen. Typische Verkehrsgeräusche liegen…

Ein Wohngebiet in Dortmund liegt neben einer Autobahn. Eine Lärmschutzwand der Höhe $h = 4,0\ \text{m}$ soll den Schall abschirmen. Typische Verkehrsgeräusche liegen zwischen $100\ \text{Hz}$ und $2.000\ \text{Hz}$; $c = 340\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$.

a) Berechnen Sie die Wellenlängen an den Rändern des Frequenzbereichs.
b) Erklären Sie mit Beugung, warum tiefe Frequenzen schlechter abgeschirmt werden als hohe.
c) Bewerten Sie begründet, ob zusätzlich aktive Maßnahmen oder eine höhere Wand sinnvoller wären, und nennen Sie ein Kriterium für die Entscheidung.

Lösen

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ Geladene Teilchen des Sonnenwinds (Protonen,…★☆☆ Zwei Schallwellen gleicher Frequenz und Amplitude überlagern sich. Beim Kopfhörer mit…★☆☆ Nennen Sie je zwei Beispiele, bei denen (a) das Erdmagnetfeld dem Menschen nützt, und (b)…

Auf einen Blick

Geladene Teilchen im homogenen Magnetfeld ($\vec{v} \perp \vec{B}$): $F_\mathrm{L} = q v B$, Kreisbahn mit $r = \frac{m v}{q B}$; die Lorentzkraft verrichtet keine Arbeit.
Das Erdmagnetfeld (Dipolfeld) lenkt den Sonnenwind zu den Polen (Polarlicht, Van-Allen-Gürtel). Sehr energiereiche Teilchen haben große Radien und dringen eher durch.
Beurteilen: Ergebnis (z. B. $r$ im Vergleich zum Erdradius) nennen, Kriterium angeben, Urteil begründen.
Antischall beruht auf destruktiver Interferenz: Gegenphase ($\Delta \varphi = \pi$), $\Delta s = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$, $\lambda = c/f$. Verzögerungen ($\varphi = 2\pi f \Delta t$) begrenzen die Wirkung bei hohen Frequenzen.
Lärmschutzwände nutzen Abschattung; tiefe Frequenzen werden wegen großer Wellenlänge stärker gebeugt und schlechter abgeschirmt.

Zurück zum Anfang: Das Polarlicht entsteht, weil das Erdmagnetfeld geladene Teilchen auf Schraubenbahnen entlang der Feldlinien zu den Polen lenkt; Kopfhörer löschen nur Geräusche aus, für die das Gegensignal genau passt.