Arten von Wellenbewegungen

Ordnen Sie die folgenden Wellen den mechanischen oder den elektromagnetischen Wellen zu und erklären Sie das verwendete Kriterium:

1. a) Der von einem Lautsprecher ausgesandte Schall.
2. b) Das Licht eines Leuchtturms.
3. c) Die Mikrowellen eines Mikrowellenherds.
4. d) Die Meereswellen.
5. e) Die seismischen Wellen eines Erdbebens.

In vielen Science-Fiction-Filmen hört man donnernde Explosionen von Raumschiffen im Weltraum.

1. a) Begründen Sie anhand der Natur des Schalls, warum im Vakuum des Weltraums keine Explosion zu hören wäre.
2. b) Erklären Sie, wie Astronauten per Sprache mit der Bodenstation kommunizieren und welche Art von Welle dafür verwendet wird.

Im Jahr $2015$ registrierte das Observatorium LIGO erstmals Gravitationswellen, die von der Verschmelzung zweier Schwarzer Löcher in einer Entfernung von $1,3\cdot10^{9}$ Lichtjahren stammen. Gravitationswellen laufen im Vakuum mit $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. Gegeben: $1$ Lichtjahr $= 9,46\cdot10^{15}\ \text{m}$; $1$ Jahr $= 3,156\cdot10^{7}\ \text{s}$.

1. a) Geben Sie die Entfernung zur Quelle in Metern in wissenschaftlicher Notation an.
2. b) Berechnen Sie die Zeit in Sekunden, die das Signal bis zur Erde unterwegs war.
3. c) Begründen Sie, ob Gravitationswellen elektromagnetische oder mechanische Wellen sind und was sie von beiden unterscheidet.

Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Transversalwelle und einer Longitudinalwelle, indem Sie angeben, wie das Medium jeweils relativ zur Ausbreitungsrichtung der Störung schwingt, und nennen Sie je ein reales Beispiel.

Das Ende eines Seils wird mit einer harmonischen Schwingung senkrecht auf und ab bewegt.

1. a) Erklären Sie, warum die im Seil erzeugte Welle harmonische Welle genannt wird.
2. b) Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen der Bewegung jedes Punktes des Seils und der Bewegung des Endes, das bewegt wird.

Ein Korken schwimmt auf der Oberfläche eines Teichs, als ein Wellenzug eintrifft: Der Korken hebt und senkt sich, bewegt sich aber nicht mit den Wellen fort, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Begründen Sie anhand dieser Beobachtung, was eine Welle transportiert und was sie nicht transportiert.
2. b) Erklären Sie, wie die Störung dann große Entfernungen erreicht, ohne dass das Wasser mit ihr eine horizontale Netto-Verschiebung erfährt.

Die seismischen P-Wellen sind longitudinal und die seismischen S-Wellen sind transversal.

1. a) Erklären Sie, was jede dieser Aussagen bedeutet, indem Sie beschreiben, wie sich der Boden beim Durchgang jeder Wellenart bewegt.
2. b) Begründen Sie, welche der beiden Arten sich nicht durch die flüssigen Schichten im Erdinneren ausbreiten kann, und warum.

Die Geschwindigkeit der Transversalwellen auf einem gespannten Seil beträgt $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, wobei $T$ die Spannkraft und $\mu$ die lineare Dichte des Seils ist.

1. a) Begründen Sie, wie sich die Geschwindigkeit ändert, wenn man die Spannkraft erhöht, ohne das Seil zu wechseln.
2. b) Begründen Sie, wie sie sich ändert, wenn es durch ein dickeres Seil (größeres $\mu$) unter derselben Spannkraft ersetzt wird.
3. c) Setzen Sie diese Ergebnisse in Beziehung dazu, was ein Gitarrist tut, wenn er zum Stimmen an den Wirbeln dreht.

Eine Klaviersaite der Länge $1\ \text{m}$ hat eine Masse von $10\ \text{g}$ und steht unter einer Spannkraft von $400\ \text{N}$.

1. a) Berechnen Sie ihre lineare Dichte $\mu$ in $\text{kg/m}$.
2. b) Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Transversalwellen auf der Saite mithilfe von $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
3. c) Berechnen Sie die Zeit, die ein Impuls braucht, um die Saite von einem Ende zum anderen zu durchlaufen.

Auf das Ende eines Stahlrohrs der Länge $1000\ \text{m}$, das mit Wasser gefüllt und von Luft umgeben ist, wird ein kurzer Schlag ausgeführt, sodass der Schall gleichzeitig durch alle drei Medien läuft. Die Schallgeschwindigkeiten betragen $5100\ \text{m/s}$ in Stahl, $1480\ \text{m/s}$ in Wasser und $340\ \text{m/s}$ in Luft.

1. a) Berechnen Sie die Zeit, die der Schall durch jedes der drei Medien bis zum anderen Ende braucht.
2. b) Erklären Sie, warum am anderen Ende drei zeitlich getrennte Signale wahrgenommen werden.
3. c) Begründen Sie unter Bezug auf den inneren Aufbau jedes Mediums, warum sich der Schall in einem Festkörper schneller ausbreitet als in einem Gas.

Eine seismische Messstation befindet sich in der Entfernung $300\ \text{km}$ vom Epizentrum eines Erdbebens. Die P-Wellen laufen in diesem Gebiet mit $7,5\ \text{km/s}$ und die S-Wellen mit $4\ \text{km/s}$.

1. a) Berechnen Sie die Zeit, die jede Wellenart bis zur Station braucht.
2. b) Berechnen Sie die Zeitdifferenz zwischen beiden Ankünften.
3. c) Erklären Sie, warum diese Zeitdifferenz eine Abschätzung der Entfernung zum Epizentrum ermöglicht.

Auf offenem Meer breitet sich ein Tsunami als Schwerewelle aus, deren Geschwindigkeit von der Tiefe $h$ gemäß $v = \sqrt{g \cdot h}$ abhängt. Verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Tsunamis in einem Bereich des Ozeans mit der Tiefe $4000\ \text{m}$ in $\text{m/s}$ und geben Sie sie in $\text{km/h}$ an.
2. b) Berechnen Sie die Zeit in Stunden, die er bei dieser Geschwindigkeit für $2000\ \text{km}$ offenen Ozean bräuchte.
3. c) Beim Annähern an die Küste nimmt die Tiefe ab: Begründen Sie, was mit der Geschwindigkeit des Tsunamis geschieht, und erklären Sie mithilfe der Erhaltung der vom Wellenzug transportierten Energie, warum seine Höhe an der Küste zunimmt.

Das Echolot eines Fischereischiffs sendet einen Ultraschallimpuls aus, der $0,12\ \text{s}$ braucht, um bis zu einem Fischschwarm hinab- und wieder zurückzulaufen. Der Schall breitet sich in Meerwasser mit $1500\ \text{m/s}$ aus. Die Skizze in der Abbildung zeigt den Weg des Impulses.

1. a) Berechnen Sie die Tiefe, in der sich der Schwarm befindet, wobei Sie berücksichtigen, dass die gemessene Zeit dem Hin- und Rückweg entspricht.
2. b) Wenn der Impuls eine Frequenz von $50\ \text{kHz}$ hat, berechnen Sie seine Wellenlänge im Wasser.
3. c) Erklären Sie anhand des Frequenzwerts, warum diese Wellen Ultraschall genannt werden.

Die P-Wellen ($7\ \text{km/s}$) und S-Wellen ($4\ \text{km/s}$) eines Erdbebens treffen mit einem zeitlichen Abstand von $54\ \text{s}$ an einer seismischen Station ein.

1. a) Geben Sie den Ausdruck für die Laufzeit jeder Welle in Abhängigkeit von der Entfernung $d$ zum Epizentrum an.
2. b) Stellen Sie die Gleichung für die Zeitdifferenz auf und berechnen Sie die Entfernung $d$.
3. c) Erklären Sie, warum die Daten einer einzelnen Station nicht ausreichen, um das Epizentrum zu lokalisieren, und welche zusätzliche Information drei Stationen liefern (Triangulation).

Nach einem großen Erdbeben registrieren die Stationen auf der anderen Seite des Planeten, mehr als etwa 103° vom Epizentrum entfernt, keine S-Wellen. Auch die P-Wellen erreichen einen dazwischenliegenden Streifen, die sogenannte „Schattenzone“ (ungefähr zwischen 103° und 143°), nicht direkt, treten aber weiter entfernt nach dem Durchlaufen des Kerns auf gekrümmten Bahnen wieder auf. Die Skizze in der Abbildung fasst diese Beobachtungen zusammen.

1. a) Erklären Sie, welche Schlussfolgerung über den inneren Aufbau der Erde sich aus dem Fehlen von S-Wellen in der Schattenzone ziehen lässt.
2. b) Begründen Sie unter Bezug auf ihren transversalen Charakter, warum die S-Wellen den flüssigen äußeren Kern nicht durchdringen.
3. c) Die P-Wellen ändern beim Eintritt in den Kern ihre Geschwindigkeit und ihre Bahnen werden gekrümmt: Geben Sie den Namen dieses Phänomens an und begründen Sie, warum es auftritt, wenn eine Welle das Medium wechselt.

Ein Sonar für ozeanografische Forschung soll Objekte der Größe $5\ \text{cm}$ auf dem Meeresboden unterscheiden; um ein Detail aufzulösen, benötigt man eine Wellenlänge in der Größenordnung des Objekts oder kleiner. Der Schall breitet sich im Wasser mit $1500\ \text{m/s}$ aus.

1. a) Berechnen Sie die Mindestfrequenz, die das Sonar verwenden muss.
2. b) Wenn der Meeresboden in der Tiefe $3000\ \text{m}$ liegt, berechnen Sie die Zeit, die zwischen dem Aussenden des Impulses und dem Empfang seines Echos vergeht.
3. c) Ein herkömmliches Fischerei-Sonar arbeitet mit $20\ \text{kHz}$: Berechnen Sie seine Wellenlänge und begründen Sie, ob es zur Unterscheidung dieser Objekte geeignet wäre.

Wenn man eine an beiden Enden befestigte Gitarrensaite anzupft, bildet sich eine stehende Welle wie in der Abbildung.

1. a) Erklären Sie, was die Knoten und die Bäuche (oder Schwingungsbäuche) einer stehenden Welle sind.
2. b) Geben Sie in Abhängigkeit von der Wellenlänge $\lambda$ den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Knoten an.

Auf einem an beiden Enden befestigten Seil der Länge $1,2\ \text{m}$ bildet sich eine stehende Welle mit vier Schwingungsbäuchen.

1. a) Zeichnen Sie in Ihr Heft die Form des Seils und markieren Sie die Knoten und die Bäuche.
2. b) Berechnen Sie die Wellenlänge, wobei Sie berücksichtigen, dass auf dem Seil vier halbe Wellenlängen Platz haben.
3. c) Wenn die Wellen mit $240\ \text{m/s}$ über das Seil laufen, berechnen Sie die Frequenz der Schwingung.

Sie können dies auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Eine Gitarrensaite der Länge $0,65\ \text{m}$ schwingt in ihrer Grundschwingung, das heißt mit nur einem Schwingungsbauch zwischen den beiden festen Enden. Die Wellen laufen mit $260\ \text{m/s}$ über sie.

1. a) Zeigen Sie anhand der Bedingung fester Enden, dass die Wellenlänge der Grundschwingung $\lambda_1 = 2 \cdot L$ beträgt.
2. b) Berechnen Sie die Grundfrequenz mithilfe von $f_1 = \frac{v}{2 \cdot L}$.

Ein an beiden Enden befestigtes Seil der Länge $0,8\ \text{m}$ lässt Schwingungsmoden mit den Frequenzen $f_n = \frac{n \cdot v}{2 \cdot L}$ zu, mit $n = 1, 2, 3, \dots$ Die Wellen laufen mit $160\ \text{m/s}$ über das Seil. Die Abbildung zeigt die ersten drei Schwingungsmoden.

1. a) Berechnen Sie die Frequenzen der ersten drei Schwingungsmoden.
2. b) Erklären Sie, in welchem mathematischen Verhältnis diese Frequenzen zur Grundfrequenz stehen und warum sie Obertöne (harmonische Schwingungen) genannt werden.

Zwei identische Gitarrensaiten sollten denselben Ton erzeugen, ihre Grundfrequenzen betragen jedoch $440\ \text{Hz}$ und $430\ \text{Hz}$. Die Grundfrequenz einer Saite ist $f_1 = \frac{1}{2 \cdot L} \cdot \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.

1. a) Begründen Sie, ob die Spannkraft der tiefer klingenden Saite erhöht oder verringert werden muss, um sie an die andere anzugleichen.
2. b) Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich die Spannkraft dieser Saite ändern muss, wobei Sie berücksichtigen, dass die Frequenz proportional zu $\sqrt{T}$ ist.
3. c) Erklären Sie, warum eine so kleine Änderung der Spannkraft für das Ohr bereits wahrnehmbar ist.

Auf einem an beiden Enden befestigten Seil überlagern sich zwei identische harmonische Wellen, die in entgegengesetzte Richtungen laufen, sodass eine stehende Welle entsteht.

1. a) Erklären Sie mithilfe der Überlagerung der beiden Wellen, wie Punkte entstehen, die nie schwingen (Knoten), und Punkte, die mit maximaler Amplitude schwingen (Schwingungsbäuche).
2. b) Das Seil ist $1\ \text{m}$ lang und schwingt mit drei Schwingungsbäuchen bei einer Frequenz von $150\ \text{Hz}$: Berechnen Sie die Wellenlänge und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, die sich auf dem Seil ausbreiten.
3. c) Begründen Sie, worin sich eine stehende Welle von einer fortschreitenden Welle hinsichtlich des Nettoenergietransports entlang des Seils unterscheidet.

Eine an beiden Enden offene Orgelpfeife ist $0,85\ \text{m}$ lang und der Schall breitet sich in Luft mit $340\ \text{m/s}$ aus. In einer offenen Pfeife beträgt die Grundwellenlänge $\lambda_1 = 2 \cdot L$. Die Abbildung zeigt die Pfeife in ihrer Grundschwingung.

1. a) Berechnen Sie die Grundfrequenz der Pfeife.
2. b) Berechnen Sie die Frequenz ihrer zweiten Harmonischen.
3. c) Wenn dieselbe Pfeife an einem Ende geschlossen würde, betrüge ihre Grundwellenlänge $\lambda_1 = 4 \cdot L$: Berechnen Sie die neue Grundfrequenz und begründen Sie, warum die Pfeife dann tiefer klingt.

Zwei Lautsprecher im Abstand von einigen Metern senden gleichphasig denselben reinen Ton von $f = 170\ \text{Hz}$ aus, der sich in Luft mit $340\ \text{m/s}$ ausbreitet. Die Skizze in der Abbildung zeigt den Aufbau mit einem Hörpunkt P.

1. a) Berechnen Sie die Wellenlänge des Schalls.
2. b) Ein Zuhörer an einem Punkt, der von beiden Lautsprechern gleich weit entfernt ist, hört den Ton laut: Begründen Sie anhand des Gangunterschieds der beiden Wellen, warum sie sich dort verstärken.
3. c) An einem anderen Punkt betragen die Entfernungen zu den Lautsprechern $5\ \text{m}$ und $4\ \text{m}$: Berechnen Sie den Gangunterschied, drücken Sie ihn in Abhängigkeit von $\lambda$ aus und begründen Sie, was der Zuhörer dort hört.
4. d) Formulieren Sie die allgemeine Bedingung in Abhängigkeit von $\lambda$, die der Gangunterschied erfüllen muss, damit sich der Schall verstärkt beziehungsweise auslöscht.

Herausforderung des Themas. Modellieren Sie als angehende Forscherin bzw. angehender Forscher zu Hause experimentell die Ausbreitung einer mechanischen Transversalwelle auf einem gespannten Seil oder Kabel.

1. Klassifizieren Sie die Welle nach Medium, Dimensionalität und Ausbreitungsrichtung. Begründen Sie rechnerisch, wie die harmonische Schwingung eines einzelnen Punktes die allgemeine Gleichung $y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \varphi_0)$ hervorbringt.

2. Messen Sie mit einem Maßband die nutzbare Länge ($L \pm 0,001\text{ m}$). Erzeugen Sie kurze transversale Pulse und stoppen Sie mit dem Handy – per Zeitlupenaufnahme und Zählen der Einzelbilder – die Zeit ($t \pm 0,01\text{ s}$) für Hin- und Rückweg bei 4 verschiedenen Längen, mit je 3 Wiederholungen pro Versuch.

3. Erstellen Sie eine Tabelle mit Mittelwerten und absoluten Unsicherheiten. Zeichnen Sie das Diagramm der zurückgelegten Strecke gegen die mittlere Zeit und bestimmen Sie aus der Steigung der Geraden die Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$.

4. Verfassen Sie einen kurzen Bericht mit den Daten, dem Diagramm und der Herleitung der Parameter $\omega$, $k$ und $\lambda$, um die vollständige Wellengleichung aufzustellen, die sich ergibt, wenn das Ende mit $A = 0,04\text{ m}$, $f = 2,5\text{ Hz}$ und der Anfangsphase null ($\varphi_0 = 0$) angeregt wird.

Bewertet werden:

• Genauigkeit bei der Klassifizierung der Welle und formale Begründung des kinematischen Zusammenhangs mit der harmonischen Schwingung.

• Messtechnische Behandlung: Korrektheit der Datentabelle, Berechnung der Unsicherheiten und grafische Anpassung zur Bestimmung von $v$.

• Exakte rechnerische Bestimmung der Gleichung $y(x,t)$ in SI-Einheiten.