Elektrische Energie und elektrisches Potential

Ausgehend vom Ausdruck für die Arbeit $W = q \cdot \Delta V$:

1. a) Leite die Äquivalenz $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$ her.
2. b) Erkläre, was es bedeutet, dass zwischen den Polen einer Autobatterie eine Potentialdifferenz von $12\ \text{V}$ besteht, und sprich dabei von der Energie jedes Coulombs Ladung, das sie durchläuft.
3. c) Gib an, welche dieser Ausdrücke einem Volt entsprechen: $\text{J/C}$; $\text{N/C}$; $\text{J}\cdot\text{C}$.

Zwischen den beiden ebenen Elektroden eines Ionisationsrauchmelders im Abstand $d = 5\ \text{cm}$ besteht ein homogenes elektrisches Feld $E = 10^{4}\ \text{N/C}$ (Angabe: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). Betrachte die Skizze:

1. a) Berechne die Potentialdifferenz zwischen den Elektroden $\Delta V = E \cdot d$.
2. b) Berechne die Arbeit, die das Feld an einem positiven Ion der Ladung $+e$ verrichtet, das von der positiven zur negativen Elektrode wandert.
3. c) Überprüfe, dass das Ergebnis mit dem als $W = F \cdot d = e \cdot E \cdot d$ berechneten übereinstimmt, und erkläre, warum das so sein muss.

In einem Bereich sind die Äquipotenzialflächen parallele Ebenen. Zwei davon im Abstand $2\ \text{cm}$ haben die Potenziale $V_1 = 300\ \text{V}$ und $V_2 = 100\ \text{V}$. Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Berechnen Sie das elektrische Feld zwischen den beiden Ebenen unter der Annahme, dass es homogen ist, $E = \frac{\Delta V}{d}$, und geben Sie Richtung und Richtungssinn an (das Feld zeigt zu abnehmenden Potenzialen).
2. b) Berechnen Sie die Arbeit, die das Feld verrichtet, wenn eine Ladung $q = 2\ \text{nC}$ von der Ebene mit $300\ \text{V}$ zur Ebene mit $100\ \text{V}$ verschoben wird.
3. c) Ein Schüler verschiebt die Ladung zuerst „seitlich“, ohne die Ebene mit $300\ \text{V}$ zu verlassen, und bringt sie erst danach auf einem Knickweg zur Ebene mit $100\ \text{V}$. Begründen Sie unter Verwendung der Tatsache, dass das elektrische Feld konservativ ist (die Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab), dass die Gesamtarbeit dieselbe ist wie in Teilaufgabe b), und berechnen Sie die Arbeit auf dem „seitlichen“ Teilstück.

Eine Ladung $q = 5\,\mu\text{C}$ bewegt sich von einem Punkt A mit dem Potential $V_A = 200\ \text{V}$ zu einem Punkt B mit $V_B = 80\ \text{V}$.

1. a) Berechne die vom elektrischen Feld verrichtete Arbeit $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Begründe anhand des Vorzeichens des Ergebnisses, ob das Feld die Ladung von selbst in dieser Verschiebungsrichtung „antreibt“.

Eine Ladung $q = -3\,\mu\text{C}$ bewegt sich von einem Punkt A ($V_A = 500\ \text{V}$) zu einem Punkt B ($V_B = 100\ \text{V}$).

1. a) Berechne die vom Feld verrichtete Arbeit $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Deute das negative Vorzeichen des Ergebnisses: Ist es eine freiwillig ablaufende Verschiebung oder muss sie von einem äußeren Agens bewirkt werden?
3. c) Begründe, wohin sich diese negative Ladung von selbst bewegen würde: zu höheren oder zu niedrigeren Potentialen?

In der Teilchenphysik wird häufig das Elektronvolt verwendet: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ (Angabe: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$).

1. a) Gib eine Energie von $3\ \text{eV}$ in Joule an.
2. b) Begründe die obige Äquivalenz, indem du mit $W = q \cdot \Delta V$ die Energie berechnest, die ein Elektron beim Beschleunigen durch eine Potentialdifferenz von $1\ \text{V}$ gewinnt.

In einem Elektronenmikroskop startet ein Elektron aus der Ruhe und wird durch eine Potentialdifferenz $\Delta V = 2000\ \text{V}$ beschleunigt (Angaben: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; Elektronenmasse $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Betrachte die Skizze:

1. a) Berechne die kinetische Energie, die das Elektron gewinnt, in Joule und in Elektronvolt.
2. b) Wende den Energieerhaltungssatz $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$ an und berechne seine Endgeschwindigkeit.

In einer Röntgenröhre in einem Krankenhaus werden Elektronen mit einer Potenzialdifferenz $\Delta V = 40\ \text{kV}$ zur Anode hin beschleunigt (gegeben: Elementarladung $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; Elektronenmasse $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; Lichtgeschwindigkeit $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). Die Abbildung zeigt den Aufbau der Röhre.

1. a) Geben Sie die Potenzialdifferenz in Volt an und berechnen Sie die kinetische Energie jedes Elektrons beim Auftreffen auf die Anode in Elektronenvolt und in Joule.
2. b) Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit des Elektrons mit dem klassischen Ausdruck $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$.
3. c) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lichtgeschwindigkeit und erläutern Sie, warum die klassische Näherung bei diesen Energien fragwürdig zu werden beginnt.

Eine kleine Kugel im Labor trägt die Ladung $Q = 3\,\mu\text{C}$ (verwende $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Berechne das elektrische Potential in $0,5\ \text{m}$ Abstand von der Kugel, $V = K \cdot \frac{Q}{r}$.
2. b) Gib das Vorzeichen des Potentials an und begründe, an welchem Ort man per Konvention $V = 0$ festlegt.

Zwei Ladungen $q_1 = 4\ \text{nC}$ und $q_2 = -2\ \text{nC}$ befinden sich im Abstand $0,3\ \text{m}$ bzw. $0,5\ \text{m}$ von einem Punkt P (verwende $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Berechne das Potential, das jede Ladung in P erzeugt.
2. b) Berechne das Gesamtpotential in P.
3. c) Erkläre, warum sich hier die Beiträge direkt als Zahlen addieren, während man beim elektrischen Feld Vektoren addieren muss.

Zwei Punktladungen $q_1 = 6\ \text{nC}$ und $q_2 = -2\ \text{nC}$ liegen auf der Achse $x$, bei $x_1 = 0$ und $x_2 = 1\ \text{m}$ (verwende $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Stelle die Bedingung $V = 0$ in einem Punkt der Achse auf und formuliere sie als Beziehung zwischen den Abständen zu jeder Ladung: Welche Beziehung muss zwischen $r_1$ und $r_2$ gelten?
2. b) Bestimme den Punkt der Achse zwischen den beiden Ladungen, an dem das Potential verschwindet.
3. c) Bestimme den Punkt der Achse rechts von $q_2$, an dem es ebenfalls verschwindet.
4. d) Begründe, warum es links von $q_1$ keinen Punkt mit $V = 0$ gibt.