Hall-Sonde und Leiterschaukel
Im Physikraum liegt ein Hufeisenmagnet auf dem Tisch. Man sieht das Magnetfeld nicht, und trotzdem soll Ihre Gruppe angeben, wie stark es zwischen den Polschuhen ist, und zwar in Tesla. Welche Messgröße führt auf B? Und wie unterscheiden sich eine Messung über die Kraft auf einen Leiter und eine Messung mit einer Hall-Sonde? Am Ende der Seite können Sie beide Fragen beantworten.
Die Leiterschaukel: B über die Kraft messen
Auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld wirkt eine Kraft. Sie wirkt senkrecht zum Leiter und senkrecht zu den Feldlinien. Genau das nutzt die Leiterschaukel: Ein Leiterstück der Länge $\ell$ hängt an dünnen, beweglichen Zuleitungen im Feld. Sobald Strom fließt, schwingt es zur Seite, und die Kraft lässt sich mit einem Newtonmeter messen oder aus der Auslenkung bestimmen.
Die Kraft ist umso größer, je größer die Stromstärke $I$ ist, je länger das Leiterstück im Feld ist und je stärker das Feld ist. Daraus ergibt sich die Definitionsgleichung der magnetischen Flussdichte:
Die Richtung der Kraft bestimmt man mit der Drei-Finger-Regel (UVW): Daumen = Ursache (technische Stromrichtung), Zeigefinger = Vermittlung (Magnetfeld von N nach S), Mittelfinger = Wirkung (Kraft). Für die technische Stromrichtung benutzt man die rechte Hand. Für Elektronen als Ladungsträger nimmt man die linke Hand. Beispiel: Fließt der technische Strom nach oben (Daumen) und zeigt das Feld von N nach S nach rechts (Zeigefinger), so zeigt die Kraft (Mittelfinger) mit der rechten Hand in die Zeichenebene hinein. Dieselbe Regel bestimmt bei der Hall-Sonde, zu welcher Kante die Ladungsträger abgelenkt werden. Daraus ergibt sich auch das Vorzeichen von $U_H$ und damit das Vorzeichen der Ladungsträger.
Ein gerader Leiter der Länge $\ell = 8,0\ \text{cm}$ hängt als Leiterschaukel senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld. Bei Stromstärke $I = 4,0\ \text{A}$ wirkt die…
Ein gerader Leiter der Länge $\ell = 8,0\ \text{cm}$ hängt als Leiterschaukel senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld. Bei Stromstärke $I = 4,0\ \text{A}$ wirkt die Kraft $F = 0,020\ \text{N}$.
- a) Berechnen Sie $B = \frac{F}{I\ell}$.
- b) Geben Sie an, wie die Richtung der Kraft bestimmt wird (Drei-Finger-Regel).
Auswertung von Messreihen und Auslenkung
Ein einzelner Messwert ist unsicher: Das Newtonmeter lässt sich nur auf wenige Prozent genau ablesen. Besser ist eine Messreihe: Man variiert $I$ und misst jeweils $F$. Wegen $F = B\cdot\ell\cdot I$ liegen die Punkte im $F$-$I$-Diagramm auf einer Ursprungsgeraden. Ihre Steigung ist
$$m = \frac{F}{I} = B\cdot\ell \quad\Rightarrow\quad B = \frac{m}{\ell}$$Mit der Ausgleichsgeraden mittelt man zufällige Fehler und erkennt Ausreißer. Außerdem prüft man, ob der Zusammenhang wirklich proportional ist.
Statt mit dem Newtonmeter kann man die Kraft aus der Auslenkung bestimmen. Die Leiterschaukel hängt dann an Fäden und wird um den Winkel $\alpha$ aus der Senkrechten ausgelenkt. Im Gleichgewicht greifen drei Kräfte an: die Gewichtskraft $F_G = m\cdot g$ nach unten, die magnetische Kraft $F$ waagerecht und die Fadenkraft entlang des Fadens. Ruht die Schaukel in der ausgelenkten Lage, hebt die Fadenkraft die Summe der beiden anderen Kräfte auf. Das gilt nur im Gleichgewicht, nicht während der Bewegung. Im Kräfteparallelogramm gilt
$$\tan\alpha = \frac{F}{F_G} \quad\Rightarrow\quad F = m\cdot g\cdot\tan\alpha$$Bei einer Leiterschaukel (Länge des Leiterstücks im Feld $\ell = 5,0\ \text{cm}$) wird die Stromstärke schrittweise erhöht und die Kraft mit einem Newtonmeter gemessen:…
Bei einer Leiterschaukel (Länge des Leiterstücks im Feld $\ell = 5,0\ \text{cm}$) wird die Stromstärke schrittweise erhöht und die Kraft mit einem Newtonmeter gemessen:
| $I$ in A | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 |
|---|---|---|---|---|
| $F$ in mN | 4,1 | 8,0 | 12,2 | 15,9 |
- a) Zeichnen Sie das $F$-$I$-Diagramm in Gedanken und berechnen Sie die Steigung.
- b) Bestimmen Sie daraus $B$.
- c) Begründen Sie, warum mehrere Messwerte genauer sind als ein einzelner.
Eine Leiterschaukel mit Leiterlänge im Feld $\ell = 6,0\ \text{cm}$ und Masse $m = 2,5\ \text{g}$ wird bei $I = 3,0\ \text{A}$ um den Winkel $\alpha = 12°$ aus der…
Eine Leiterschaukel mit Leiterlänge im Feld $\ell = 6,0\ \text{cm}$ und Masse $m = 2,5\ \text{g}$ wird bei $I = 3,0\ \text{A}$ um den Winkel $\alpha = 12°$ aus der Senkrechten ausgelenkt. $g = 9,81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
- a) Zeigen Sie, dass $F = m g \tan\alpha$ gilt.
- b) Berechnen Sie $B$.
Die Hall-Sonde: Messung über die Hallspannung
Die Leiterschaukel braucht ein ausgedehntes, homogenes Feld. Eine Hall-Sonde misst dagegen die Flussdichte an einer kleinen Stelle. Kern ist ein dünnes Plättchen, durch das der Strom $I$ längs fließt. Steht das Plättchen senkrecht zu den Feldlinien, werden die bewegten Ladungsträger durch die Lorentzkraft zur Seite gedrängt. Auf der einen Längskante sammeln sich dann mehr, auf der anderen weniger Ladungsträger. Zwischen beiden Kanten entsteht die Hallspannung $U_H$.
Warum entsteht die Spannung nicht ewig weiter? Je mehr Ladungsträger sich seitlich ansammeln, desto stärker wird das dadurch entstehende elektrische Feld $E_H$. Es wirkt der Lorentzkraft entgegen. Sobald sich beide Kräfte aufheben, fließen die Ladungsträger wieder geradeaus. Dann gilt das Kräftegleichgewicht
$$e\,E_H = e\,v\,B \quad\Rightarrow\quad E_H = v\,B$$Mit der Plättchenbreite $b$ ist $U_H = E_H\cdot b = v\,B\,b$. Der Strom ist $I = n\,e\,v\,b\,d$ ($n$ Ladungsträgerdichte, $d$ Dicke), also $v = \dfrac{I}{n\,e\,b\,d}$. Eingesetzt folgt
Eine Hall-Sonde zeigt in einem Magnetfeld die Hallspannung $U_H = 2,4\ \text{mV}$. Die Sonde ist so kalibriert, dass $1,0\ \text{mV}$ einer Flussdichte von…
Eine Hall-Sonde zeigt in einem Magnetfeld die Hallspannung $U_H = 2,4\ \text{mV}$. Die Sonde ist so kalibriert, dass $1,0\ \text{mV}$ einer Flussdichte von $25\ \text{mT}$ entspricht.
- a) Berechnen Sie die Flussdichte.
- b) Erklären Sie, warum die Sonde senkrecht zu den Feldlinien ausgerichtet werden muss.
Erklären Sie das Entstehen der Hallspannung in einem stromdurchflossenen Plättchen im Magnetfeld. Gehen Sie ein auf: a) die Ablenkung der Ladungsträger, b) das…
Erklären Sie das Entstehen der Hallspannung in einem stromdurchflossenen Plättchen im Magnetfeld. Gehen Sie ein auf:
- a) die Ablenkung der Ladungsträger,
- b) das Gleichgewicht zwischen elektrischer Kraft und Lorentzkraft.
Ein Hall-Plättchen der Dicke $d = 0,10\ \text{mm}$ wird vom Strom $I = 20\ \text{mA}$ durchflossen. Die Hallspannung beträgt $U_H = 1,5\ \text{mV}$ bei…
Ein Hall-Plättchen der Dicke $d = 0,10\ \text{mm}$ wird vom Strom $I = 20\ \text{mA}$ durchflossen. Die Hallspannung beträgt $U_H = 1,5\ \text{mV}$ bei $B = 0,30\ \text{T}$. Es gilt $U_H = R_H \frac{I B}{d}$.
- a) Berechnen Sie die Hallkonstante $R_H$.
- b) Berechnen Sie $B$, wenn bei gleichem Strom $U_H = 0,60\ \text{mV}$ gemessen wird.
Die Hallspannung eines Plättchens (Breite $b = 5,0\ \text{mm}$, Dicke $d = 0,20\ \text{mm}$) lautet $U_H = \frac{I B}{n e d}$ mit der Ladungsträgerdichte $n$. a) Leiten…
Die Hallspannung eines Plättchens (Breite $b = 5,0\ \text{mm}$, Dicke $d = 0,20\ \text{mm}$) lautet $U_H = \frac{I B}{n e d}$ mit der Ladungsträgerdichte $n$.
- a) Leiten Sie die Formel aus dem Kräftegleichgewicht $e E_H = e v B$ und $I = n e v b d$ her.
- b) Bei $I = 10\ \text{mA}$ und $B = 0,50\ \text{T}$ wird $U_H = 2,5\ \mu\text{V}$ gemessen. Berechnen Sie $n$.
- c) Begründen Sie, warum Halbleiter für Hall-Sonden besser geeignet sind als Metalle.
Messmethoden im Vergleich
Zurück zum Hufeisenmagneten vom Anfang: Beide Verfahren liefern B, aber sie messen nicht dasselbe.
| Leiterschaukel | Hall-Sonde | |
|---|---|---|
| Messgröße | Kraft $F$ auf ein Leiterstück | Hallspannung $U_H$ |
| Ergebnis | Mittelwert über die Länge $\ell$ | lokaler Wert an der Sonde |
| Voraussetzung | homogenes Feld, Leiter $\perp$ Feld | Kalibrierung, Sonde $\perp$ Feld |
| Typische Fehler | Ränder des Feldes, Ablesefehler bei $F$ | Schiefstellung, Temperatur, Kalibrierung |
Die Leiterschaukel liefert eine absolute Messung, denn sie führt $B$ auf Kraft, Strom und Länge zurück. Die Hall-Sonde ist bequemer und örtlich genau, braucht aber eine Kalibrierung. Man kann sie in einem Feld kalibrieren, das man mit der Leiterschaukel (oder mit einer langen Spule) bestimmt hat.
Ist das Feld an den Rändern inhomogen, ragt nur ein Teil von $\ell$ wirklich ins Feld. Man setzt dann ein zu großes $\ell$ in die Rechnung ein, und $B$ wird bei der Leiterschaukel zu klein bestimmt. Eine Verbesserung: den Leiter nur im homogenen Mittelbereich anbringen, das Feld mit der Hall-Sonde zuerst ausmessen oder eine kürzere effektive Länge $\ell_\mathrm{eff}$ benutzen.
Zwei Studierende bestimmen das Feld zwischen den Polschuhen eines Hufeisenmagneten. Messung A mit Leiterschaukel liefert $B = 85\ \text{mT}$; Messung B mit Hall-Sonde…
Zwei Studierende bestimmen das Feld zwischen den Polschuhen eines Hufeisenmagneten. Messung A mit Leiterschaukel liefert $B = 85\ \text{mT}$; Messung B mit Hall-Sonde $B = 92\ \text{mT}$. Der Leiter ragt $\ell = 4,0\ \text{cm}$ ins Feld, aber das Feld ist an den Rändern inhomogen.
- a) Erklären Sie, wie die Inhomogenität die Messung A verfälscht.
- b) Beurteilen Sie, welche Methode die lokale Feldstärke besser erfasst, und begründen Sie.
- c) Schlagen Sie eine Verbesserung für Messung A vor.
Eine Leiterschaukel (Masse $m = 3,0\ \text{g}$, Länge im Feld $\ell = 7,0\ \text{cm}$) wird am Faden der Länge $L = 25\ \text{cm}$ in einem Feld $B = 60\ \text{mT}$…
Eine Leiterschaukel (Masse $m = 3,0\ \text{g}$, Länge im Feld $\ell = 7,0\ \text{cm}$) wird am Faden der Länge $L = 25\ \text{cm}$ in einem Feld $B = 60\ \text{mT}$ betrieben.
- a) Berechnen Sie die Stromstärke, bei der der Auslenkwinkel $15°$ beträgt.
- b) Berechnen Sie die Arbeit der magnetischen Kraft (konstante Horizontalkraft) bei dieser Auslenkung und vergleichen Sie sie mit der Zunahme der Lageenergie.
- c) Erläutern Sie, warum beide Werte nicht übereinstimmen, wenn die Schaukel aus der Ruhe losgelassen wird.