Aufgaben: Auswertung von Öltröpfchen-Messungen

Beim vereinfachten Millikan-Versuch schwebt ein geladenes Öltröpfchen zwischen zwei horizontalen Kondensatorplatten im Abstand $d = 5,0\ \text{mm}$. Die angelegte Spannung beträgt $U = 400\ \text{V}$. Die Gewichtskraft des Tröpfchens beträgt $F_G = 6,4 \cdot 10^{-14}\ \text{N}$.

1. a) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke $E = \frac{U}{d}$ zwischen den Platten.
2. b) Begründen Sie, warum im Schwebezustand $F_{el} = F_G$ gilt, und berechnen Sie die Ladung $q = \frac{F_G}{E}$ des Tröpfchens.

Ein Öltröpfchen trägt die Ladung $q = 4,8 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$. Die Elementarladung beträgt $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Berechnen Sie, wie viele Elementarladungen das Tröpfchen trägt, $n = \frac{q}{e}$.
2. b) Das Tröpfchen nimmt zusätzlich zwei Elektronen auf. Geben Sie die neue Ladung an, wenn die Ausgangsladung positiv war.

Beschreiben Sie in vier bis fünf Sätzen den Aufbau des vereinfachten Millikan-Versuchs. Nennen Sie dabei:

1. a) die Bauteile (Kondensator, Zerstäuber, Mikroskop, Spannungsquelle),
2. b) die Kräfte, die auf ein schwebendes Öltröpfchen wirken, mit ihren Richtungen.

In einer Schulsammlung in Göttingen schwebt ein Öltröpfchen der Masse $m = 6,5 \cdot 10^{-16}\ \text{kg}$ in einem Plattenkondensator mit Plattenabstand $d = 6,0\ \text{mm}$ bei der Spannung $U = 245\ \text{V}$. Verwenden Sie $g = 9,81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

1. a) Berechnen Sie die Ladung $q$ des Tröpfchens.
2. b) Bestimmen Sie, wie viele Elementarladungen ($e = 1,602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$) dies entspricht.
3. c) Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ladung, wenn die obere Platte positiv geladen ist.

Bei fünf Öltröpfchen wurden im Schwebeversuch folgende Ladungen bestimmt:

Tröpfchen	1	2	3	4	5
$q$ in $10^{-19}\ \text{C}$	3,2	8,0	4,8	11,2	6,4

1. a) Berechnen Sie die Differenzen benachbarter, der Größe nach geordneter Ladungswerte.
2. b) Schätzen Sie daraus die kleinste Ladung ab.
3. c) Geben Sie für jedes Tröpfchen die Anzahl $n$ der Elementarladungen an.

Ein Öltröpfchen sinkt im ausgeschalteten Feld mit konstanter Geschwindigkeit $v = 0,12\ \frac{\text{mm}}{\text{s}}$. Bei eingeschaltetem Feld ($E = 5,0 \cdot 10^4\ \frac{\text{V}}{\text{m}}$) schwebt es. Die Gewichtskraft (abzüglich Auftrieb) beträgt $F = 4,0 \cdot 10^{-14}\ \text{N}$.

1. a) Berechnen Sie die Ladung des Tröpfchens.
2. b) Erklären Sie, warum die Sinkgeschwindigkeit ohne Feld zur Bestimmung der Tröpfchenmasse genutzt werden kann (Stokes'sche Reibung).
3. c) Berechnen Sie die Zahl der Überschusselektronen.

Bei einem Millikan-Versuch wurden folgende Ladungen gemessen (in $10^{-19}\ \text{C}$): 4,81; 9,60; 6,43; 14,45; 8,02; 11,22; 3,19; 12,86.

1. a) Ordnen Sie die Werte und berechnen Sie die Differenzen aufeinanderfolgender Werte.
2. b) Begründen Sie, dass die Messwerte auf eine kleinste Ladung hindeuten, und bestimmen Sie diese durch Mittelung der Quotienten $q/n$ mit sinnvoll gewählten ganzen Zahlen $n$.
3. c) Erläutern Sie, warum aus endlich vielen Messwerten nur auf die Existenz einer kleinsten Ladung geschlossen, sie aber nicht bewiesen werden kann.

Ein Schüler behauptet: „Wenn die gemessenen Ladungen beliebige Werte hätten, könnte man das im Histogramm sofort erkennen.“ Gemessen wurden 40 Tröpfchen; die Ladungen häufen sich bei $1,6$; $3,2$; $4,8$; $6,4$ und $8,0$ (jeweils in $10^{-19}\ \text{C}$) mit Streuung von etwa $\pm 0,2$.

1. a) Skizzieren Sie in Worten das erwartete Histogramm und vergleichen Sie es mit dem Histogramm bei kontinuierlich verteilter Ladung.
2. b) Beurteilen Sie, ab welcher Messunsicherheit die Methode scheitern würde (Argument über den Abstand $e$ und die Streuung).
3. c) Erklären Sie, warum Tröpfchen mit $q = e$ schwer zu messen sind.

Ein Öltröpfchen (Dichte $\rho = 870\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, Radius $r = 0,50\ \mu\text{m}$) schwebt in einem Feld $E = 1,4 \cdot 10^4\ \frac{\text{V}}{\text{m}}$. Der Auftrieb in Luft ist zu vernachlässigen. $g = 9,81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

1. a) Berechnen Sie die Masse des Tröpfchens ($V = \frac{4}{3}\pi r^3$).
2. b) Berechnen Sie die Ladung und die Anzahl der Elementarladungen.
3. c) Bewerten Sie, wie sich ein Fehler von 5 % im Radius auf den ermittelten Wert von $n$ auswirkt, und begründen Sie, ob $n$ dennoch eindeutig bestimmbar ist.