Velocidad orbital de los satélites
En 2018 Costa Rica puso en órbita su primer satélite, el CubeSat Irazú, que da vueltas alrededor de la Tierra a unos 400 km de altura. Nadie lo empuja con un motor y, aun así, no cae al suelo ni se pierde en el espacio. ¿Qué fuerza lo mantiene en su trayectoria y a qué velocidad debe moverse para lograrlo? Al final de la página usted podrá responder las dos preguntas con números.
La gravedad como fuerza centrípeta
Si usted hace girar una piedra atada a una cuerda, la cuerda tira de la piedra hacia su mano y la obliga a curvar su trayectoria. Sin la cuerda, la piedra saldría en línea recta. Esa fuerza dirigida hacia el centro de la circunferencia se llama fuerza centrípeta.
Con un satélite pasa lo mismo, pero no hay cuerda. La que hace de cuerda es la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre él:
$$F = G\,\frac{M\,m}{r^2}$$donde $M$ es la masa de la Tierra, $m$ la masa del satélite, $r$ la distancia entre sus centros y $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ la constante de gravitación universal.
Observe que la fuerza es perpendicular a la velocidad. Por eso no cambia la rapidez del satélite, solo la dirección de su movimiento. El satélite está en caída libre hacia la Tierra, pero avanza tan rápido de lado que, mientras cae, la superficie se curva y se aleja. Nunca la alcanza.
Un satélite de comunicaciones describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Indique cuál es la fuerza que hace que el satélite se mantenga en esa trayectoria…
Un satélite de comunicaciones describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Indique cuál es la fuerza que hace que el satélite se mantenga en esa trayectoria circular y escriba la expresión $F = G\dfrac{M\,m}{r^2}$ explicando qué representa cada una de sus letras.
De dónde sale la velocidad orbital
Para una órbita circular, la gravedad es la fuerza centrípeta. Recuerde que la aceleración centrípeta es $a_c = \dfrac{v^2}{r}$ y aplique la segunda ley de Newton, $F = m\cdot a$:
$$G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}$$Ahora se despeja. La masa del satélite $m$ aparece en ambos lados y se cancela. Se multiplica por $r$ en ambos lados:
$$G\,\frac{M}{r} = v^2$$Y al sacar la raíz cuadrada queda la velocidad orbital:
Podemos validar la fórmula con análisis dimensional: $G\,M/r$ tiene unidades $\dfrac{\text{N·m}^2/\text{kg}^2\cdot\text{kg}}{\text{m}} = \dfrac{\text{N·m}}{\text{kg}} = \dfrac{\text{kg·m/s}^2\cdot\text{m}}{\text{kg}} = \text{m}^2/\text{s}^2$. Su raíz da m/s, como debe ser una velocidad.
Un grupo de estudiantes de décimo año analiza dos cuerpos que orbitan un planeta de masa desconocida $M$. El cuerpo 1 describe una órbita circular de radio $r$ con…
Un grupo de estudiantes de décimo año analiza dos cuerpos que orbitan un planeta de masa desconocida $M$. El cuerpo 1 describe una órbita circular de radio $r$ con velocidad orbital $v$. El cuerpo 2 describe una órbita circular de radio $4r$ alrededor del mismo planeta.
- a) Demuestre, a partir de la igualdad entre la fuerza gravitacional y la fuerza centrípeta, que $v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}$.
- b) Determine la velocidad orbital del cuerpo 2 en función de $v$.
- c) Si el cuerpo 1 tiene un período $T$, determine el período del cuerpo 2 en función de $T$ y argumente cómo se relaciona este resultado con la tercera ley de Kepler.
De qué depende la velocidad orbital
En $v=\sqrt{GM/r}$ solo cambian dos cosas de un caso a otro: la masa $M$ del astro y el radio $r$ de la órbita.
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Si $r$ aumenta, $v$ disminuye. Cuanto más lejos está el satélite, más débil es la gravedad y menos velocidad necesita para mantenerse en órbita. Los satélites cercanos van más rápido que los lejanos.
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Si $M$ aumenta, $v$ aumenta. Alrededor de un planeta más masivo hay que ir más rápido a la misma distancia.
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La masa del satélite no interviene. Un satélite de 200 kg y otro de 800 kg en la misma órbita llevan la misma velocidad.
Pruebe con el interactivo. Cambie la altura y observe cómo varían la velocidad y el período.
Los factores también se pueden comparar sin calculadora. Si el radio se multiplica por 4, dentro de la raíz el cociente se divide entre 4, así que la velocidad se divide entre $\sqrt4=2$.
La velocidad orbital de un satélite en una órbita circular de radio $r$ alrededor de un planeta de masa $M$ está dada por $v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}$. Responda: si…
La velocidad orbital de un satélite en una órbita circular de radio $r$ alrededor de un planeta de masa $M$ está dada por $v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}$. Responda: si aumenta el radio de la órbita, ¿la velocidad orbital aumenta, disminuye o se mantiene igual? Justifique su respuesta con la expresión.
Dos satélites, A y B, de masas $200\ \text{kg}$ y $800\ \text{kg}$, orbitan la Tierra en la misma órbita circular. Valeria afirma que el satélite B, por ser más pesado,…
Dos satélites, A y B, de masas $200\ \text{kg}$ y $800\ \text{kg}$, orbitan la Tierra en la misma órbita circular. Valeria afirma que el satélite B, por ser más pesado, debe moverse más rápido para no caer. Analice esa afirmación a partir de la expresión de la velocidad orbital y diga si es correcta, indicando de qué magnitudes depende la velocidad orbital.
Calcular la velocidad orbital
Para obtener un número se siguen estos pasos: calcular $r$ (si le dan la altura), sustituir con unidades del SI (metros y kilogramos) y calcular la raíz. Para la Tierra, $G\,M = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\approx3{,}98\cdot10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$.
Un satélite artificial se mueve en una órbita circular de radio $r = 7{,}0 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ alrededor de la Tierra. Con…
Un satélite artificial se mueve en una órbita circular de radio $r = 7{,}0 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ alrededor de la Tierra. Con $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ y la masa de la Tierra $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$, calcule su velocidad orbital en m/s.
Un satélite de observación terrestre orbita a $400\ \text{km}$ sobre la superficie de la Tierra. El radio terrestre es $6{,}37 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ y la masa de la…
Un satélite de observación terrestre orbita a $400\ \text{km}$ sobre la superficie de la Tierra. El radio terrestre es $6{,}37 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ y la masa de la Tierra es $5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$. Use $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.
- a) Determine el radio de la órbita medido desde el centro de la Tierra.
- b) Calcule la velocidad orbital del satélite en m/s y en km/h.
Período de revolución y órbita geoestacionaria
El período $T$ es el tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta completa. En una órbita circular recorre una circunferencia de longitud $2\pi r$ con rapidez constante $v$, así que:
$$v=\frac{2\pi r}{T}\qquad\Rightarrow\qquad T=\frac{2\pi r}{v}$$Para el satélite a 400 km de altura: $T=\dfrac{2\pi\cdot6{,}77\cdot10^{6}}{7{,}67\cdot10^{3}}\approx5{,}5\cdot10^{3}\ \text{s}\approx 92\ \text{min}$. Da unas 15 vueltas a la Tierra por día.
Cuanto mayor es $r$, mayor es la distancia por recorrer y menor la velocidad, así que el período crece rápido con el radio.
Un satélite orbita la Tierra en una órbita circular de radio $r = 4{,}2 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ con la velocidad orbital que corresponde a esa órbita. Con…
Un satélite orbita la Tierra en una órbita circular de radio $r = 4{,}2 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ con la velocidad orbital que corresponde a esa órbita. Con $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ y $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$:
- a) Calcule la velocidad orbital.
- b) Calcule el período de revolución, es decir, el tiempo que tarda en dar una vuelta completa, en horas.
- c) Interprete el resultado: ¿qué ventaja tendría un satélite con ese período para las telecomunicaciones sobre Costa Rica?
Un satélite de $500\ \text{kg}$ se encuentra en una órbita circular a $r_1 = 8{,}0 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ del centro de la Tierra y luego se traslada a otra órbita…
Un satélite de $500\ \text{kg}$ se encuentra en una órbita circular a $r_1 = 8{,}0 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ del centro de la Tierra y luego se traslada a otra órbita circular de radio $r_2 = 1{,}6 \cdot 10^{7}\ \text{m}$. Use $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ y $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.
- a) Calcule la velocidad orbital en cada órbita.
- b) Calcule la fuerza gravitacional sobre el satélite en cada órbita.
- c) Compare los resultados: explique por qué, al pasar a la órbita mayor, la fuerza disminuye y la velocidad también, y qué ocurre con el período de revolución.
Vuelva al principio: lo que mantiene al CubeSat Irazú en su trayectoria es la gravedad de la Tierra, que actúa como fuerza centrípeta. A 400 km de altura debe moverse a unos $7{,}67\ \text{km/s}$ (cerca de $27.600\ \text{km/h}$), y así da una vuelta a la Tierra en unos 92 minutos.
Resumen
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En una órbita circular, la fuerza gravitacional $F=G\,Mm/r^2$ hace de fuerza centrípeta. El satélite cae libremente alrededor del planeta.
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Igualando $G\,Mm/r^2 = m\,v^2/r$ se obtiene $v=\sqrt{GM/r}$. La masa del satélite se cancela.
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El radio $r$ se mide desde el centro del astro: $r=R+h$. Use metros.
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Más lejos significa menos velocidad. Si $r$ se multiplica por 4, $v$ se divide entre 2.
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El período es $T=2\pi r/v$. A mayor radio, mayor período; a $r\approx4{,}2\cdot10^{7}\ \text{m}$ de la Tierra, $T\approx24\ \text{h}$ (órbita geoestacionaria).