La ley de la gravitación universal

En la ley de la gravitación universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$:

1. a) Indique qué representa cada letra ($F$, $G$, $M$, $m$ y $r$) y en qué unidad se mide en el Sistema Internacional.
2. b) El valor de $G$ es $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, un número muy pequeño. Explique qué consecuencia tiene eso para la fuerza entre objetos de masa normal.

Dos bolas de acero de $1\ \text{kg}$ cada una están colocadas de modo que sus centros distan $1\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

Aplique la ley de la gravitación universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, con $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, y calcule la fuerza con la que se atraen. ¿Le parece una fuerza grande o pequeña? Coméntelo.

Cuando a usted se le cae un bolígrafo, la Tierra lo atrae hacia abajo; pero, según la ley de la gravitación universal, el bolígrafo también atrae a la Tierra con una fuerza del mismo valor.

1. a) ¿Por qué solo vemos moverse al bolígrafo y no a la Tierra subiendo a su encuentro?
2. b) Razónelo teniendo en cuenta las masas de ambos cuerpos y la aceleración que la misma fuerza produce en cada uno.

Dos compañeros de clase, de $60\ \text{kg}$ y $70\ \text{kg}$ de masa, están sentados de modo que sus cuerpos distan $1\ \text{m}$ por término medio. Calcule la fuerza de atracción gravitatoria entre ellos ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) y exprésela en notación científica.

Dos asteroides se atraen con una fuerza $F$.

1. a) Si uno de ellos tuviera el doble de masa, ¿cuál sería la nueva fuerza?
2. b) ¿Y si los dos tuvieran el doble de masa?

Razone ambas respuestas con la fórmula de la gravitación universal.

Un libro y el estante en el que está apoyado se atraen gravitatoriamente, igual que la Tierra y la Luna. Sin embargo, nunca vemos que el libro se mueva hacia el estante. Pensando en el valor de $G$, en las masas de los objetos y en la fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, explique por qué no notamos la atracción gravitatoria entre los objetos cotidianos.

Dos cuerpos se atraen con una fuerza $F$, como muestra la gráfica de la fuerza en función de la distancia.

Sin cambiar las masas, los alejamos hasta que la distancia entre ellos sea el doble. Mirando la fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, ¿cuánto valdrá ahora la fuerza? Justifíquelo.

Calcule la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna, como se muestra en la figura.

Datos: masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distancia media entre sus centros $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Exprese el resultado en notación científica, redondeando a dos cifras decimales.

Newton comprobó su ley comparando la caída de los objetos en la superficie con el movimiento de la Luna.

1. a) Calcule la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de $1\ \text{kg}$ en su superficie ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcule la fuerza que ejercería sobre ese mismo cuerpo si estuviera a la distancia de la Luna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
3. c) Compruebe que la segunda fuerza es unas $3600$ veces menor y relacione ese número con el cociente entre las dos distancias, que es de unos $60$. ¿Qué ley queda confirmada?

Calcule la fuerza con la que la Tierra atrae a una persona de $50\ \text{kg}$ situada en su superficie, como se muestra en la figura.

Datos: masa de la Tierra $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, radio terrestre $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Compare el resultado con su peso, $P = m\cdot g$ con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: ¿qué observa?

Vamos a deducir el valor de $g$ en la superficie de la Tierra a partir de la ley de la gravitación universal.

1. a) Escriba la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa $m$ de dos formas: como $F = m\cdot g$ y como $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.
2. b) Iguale las dos expresiones, simplifique la masa $m$ y despeje $g$.
3. c) Calcule su valor con $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. ¿Qué valor tan conocido obtiene?

Un exoplaneta rocoso tiene el cuádruple de masa que la Tierra y el doble de radio, como se muestra en la figura.

1. a) Usando $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, razone en qué factor cambia la gravedad en su superficie respecto de la terrestre.
2. b) ¿Cuánto pesaría allí una astronauta de $60\ \text{kg}$ (tome la gravedad terrestre como $9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) ¿Y si el planeta tuviera el cuádruple de masa pero el mismo radio que la Tierra? Calcule el nuevo peso de la astronauta.

Dos masas fijas, de $100\ \text{kg}$ y $400\ \text{kg}$, están separadas $3\ \text{m}$. Queremos colocar una tercera masa en la línea que las une, entre ambas, de modo que la fuerza gravitatoria neta sobre ella sea cero, como se muestra en la figura.

1. a) Si $x$ es la distancia de la tercera masa a la de $100\ \text{kg}$, escriba la igualdad entre las dos fuerzas que actúan sobre ella.
2. b) Resuelva la ecuación y calcule $x$ (pista: simplifique primero $G$ y la tercera masa, y después tome raíces cuadradas).
3. c) ¿Depende el resultado del valor de la tercera masa? ¿Y de $G$? Coméntelo.

El Sol atrae a la Luna, y también lo hace la Tierra. Calcule las dos fuerzas sobre la Luna con estos datos: masa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distancia Sol–Luna $\approx 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, distancia Tierra–Luna $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) ¿Cuántas veces mayor es la atracción del Sol sobre la Luna que la de la Tierra?
2. b) Si el Sol tira de la Luna con más fuerza, ¿por qué la Luna sigue girando alrededor de la Tierra en lugar de salir hacia el Sol? Pista: piense a qué otros cuerpos atrae también el Sol al mismo tiempo.

Una nave viaja en línea recta de la Tierra a la Luna. Hay un punto del trayecto en el que las atracciones gravitatorias de ambas se compensan, como se muestra en la figura.

1. a) Si $x$ es la distancia de la nave al centro de la Tierra, plantee la igualdad entre las fuerzas que la Tierra y la Luna ejercen sobre la nave (distancia Tierra–Luna: $3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$).
2. b) Compruebe numéricamente que la igualdad se cumple para $x \approx 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$.
3. c) Ese punto está a un $90\ \%$ del camino total. Explique, pensando en las masas de la Tierra y de la Luna, por qué está tan cerca de esta.