Ejercicios: Velocidad orbital de los satélites

Un satélite de comunicaciones describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Indique cuál es la fuerza que hace que el satélite se mantenga en esa trayectoria circular y escriba la expresión $F = G\dfrac{M\,m}{r^2}$ explicando qué representa cada una de sus letras.

La velocidad orbital de un satélite en una órbita circular de radio $r$ alrededor de un planeta de masa $M$ está dada por $v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}$. Responda: si aumenta el radio de la órbita, ¿la velocidad orbital aumenta, disminuye o se mantiene igual? Justifique su respuesta con la expresión.

Un satélite artificial se mueve en una órbita circular de radio $r = 7{,}0 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ alrededor de la Tierra. Con $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ y la masa de la Tierra $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$, calcule su velocidad orbital en m/s.

Un satélite de observación terrestre orbita a $400\ \text{km}$ sobre la superficie de la Tierra. El radio terrestre es $6{,}37 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ y la masa de la Tierra es $5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$. Use $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Determine el radio de la órbita medido desde el centro de la Tierra.
2. b) Calcule la velocidad orbital del satélite en m/s y en km/h.

Dos satélites, A y B, de masas $200\ \text{kg}$ y $800\ \text{kg}$, orbitan la Tierra en la misma órbita circular. Valeria afirma que el satélite B, por ser más pesado, debe moverse más rápido para no caer. Analice esa afirmación a partir de la expresión de la velocidad orbital y diga si es correcta, indicando de qué magnitudes depende la velocidad orbital.

Un satélite orbita la Tierra en una órbita circular de radio $r = 4{,}2 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ con la velocidad orbital que corresponde a esa órbita. Con $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ y $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$:

1. a) Calcule la velocidad orbital.
2. b) Calcule el período de revolución, es decir, el tiempo que tarda en dar una vuelta completa, en horas.
3. c) Interprete el resultado: ¿qué ventaja tendría un satélite con ese período para las telecomunicaciones sobre Costa Rica?

Un satélite de $500\ \text{kg}$ se encuentra en una órbita circular a $r_1 = 8{,}0 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ del centro de la Tierra y luego se traslada a otra órbita circular de radio $r_2 = 1{,}6 \cdot 10^{7}\ \text{m}$. Use $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ y $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcule la velocidad orbital en cada órbita.
2. b) Calcule la fuerza gravitacional sobre el satélite en cada órbita.
3. c) Compare los resultados: explique por qué, al pasar a la órbita mayor, la fuerza disminuye y la velocidad también, y qué ocurre con el período de revolución.

Un grupo de estudiantes de décimo año analiza dos cuerpos que orbitan un planeta de masa desconocida $M$. El cuerpo 1 describe una órbita circular de radio $r$ con velocidad orbital $v$. El cuerpo 2 describe una órbita circular de radio $4r$ alrededor del mismo planeta.

1. a) Demuestre, a partir de la igualdad entre la fuerza gravitacional y la fuerza centrípeta, que $v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}$.
2. b) Determine la velocidad orbital del cuerpo 2 en función de $v$.
3. c) Si el cuerpo 1 tiene un período $T$, determine el período del cuerpo 2 en función de $T$ y argumente cómo se relaciona este resultado con la tercera ley de Kepler.