Ejercicios: La ley de la gravitación universal

Dos bolas de acero de $1\ \text{kg}$ cada una están colocadas de modo que sus centros distan $1\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

Aplique la ley de la gravitación universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, con $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, y calcule la fuerza con la que se atraen. ¿Le parece una fuerza grande o pequeña? Coméntelo.

En la ley de la gravitación universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$:

1. a) Indique qué representa cada letra ($F$, $G$, $M$, $m$ y $r$) y en qué unidad se mide en el Sistema Internacional.
2. b) El valor de $G$ es $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, un número muy pequeño. Explique qué consecuencia tiene eso para la fuerza entre objetos de masa normal.

Dos compañeros de clase, de $60\ \text{kg}$ y $70\ \text{kg}$ de masa, están sentados de modo que sus cuerpos distan $1\ \text{m}$ por término medio. Calcule la fuerza de atracción gravitatoria entre ellos ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) y exprésela en notación científica.

Dos cuerpos se atraen con una fuerza $F$, como muestra la gráfica de la fuerza en función de la distancia.

Sin cambiar las masas, los alejamos hasta que la distancia entre ellos sea el doble. Mirando la fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, ¿cuánto valdrá ahora la fuerza? Justifíquelo.

Dos asteroides se atraen con una fuerza $F$.

1. a) Si uno de ellos tuviera el doble de masa, ¿cuál sería la nueva fuerza?
2. b) ¿Y si los dos tuvieran el doble de masa?

Razone ambas respuestas con la fórmula de la gravitación universal.

Calcule la fuerza con la que la Tierra atrae a una persona de $50\ \text{kg}$ situada en su superficie, como se muestra en la figura.

Datos: masa de la Tierra $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, radio terrestre $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Compare el resultado con su peso, $P = m\cdot g$ con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: ¿qué observa?

Un libro y el estante en el que está apoyado se atraen gravitatoriamente, igual que la Tierra y la Luna. Sin embargo, nunca vemos que el libro se mueva hacia el estante. Pensando en el valor de $G$, en las masas de los objetos y en la fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, explique por qué no notamos la atracción gravitatoria entre los objetos cotidianos.

Cuando a usted se le cae un bolígrafo, la Tierra lo atrae hacia abajo; pero, según la ley de la gravitación universal, el bolígrafo también atrae a la Tierra con una fuerza del mismo valor.

1. a) ¿Por qué solo vemos moverse al bolígrafo y no a la Tierra subiendo a su encuentro?
2. b) Razónelo teniendo en cuenta las masas de ambos cuerpos y la aceleración que la misma fuerza produce en cada uno.

Calcule la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna, como se muestra en la figura.

Datos: masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distancia media entre sus centros $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Exprese el resultado en notación científica, redondeando a dos cifras decimales.

El Sol mantiene a la Tierra en órbita atrayéndola. Calcule esa fuerza con los siguientes datos: masa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distancia media entre sus centros $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Después, compare el resultado con la fuerza Tierra–Luna, de unos $2\cdot10^{20}\ \text{N}$: ¿cuántas veces mayor es?

Dos petroleros gemelos, de $10^{6}\ \text{kg}$ de masa cada uno, fondean con sus centros de masa separados $100\ \text{m}$.

1. a) Calcule la fuerza gravitatoria con la que se atraen ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compare esa fuerza con la que hace falta para arrastrar una hoja de papel por la mesa, del orden de $0,01\ \text{N}$. ¿Notarán los barcos esa atracción? Justifíquelo.

Dos cuerpos se atraen con una fuerza $F$.

1. a) Si la distancia entre ellos se triplica, ¿en qué factor cambia la fuerza?
2. b) Si, además de triplicar la distancia, se duplica cada una de las dos masas, ¿en qué factor cambia la fuerza total?

Justifique cada apartado con la fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.

Un satélite geoestacionario de $1000\ \text{kg}$ orbita a una distancia del centro de la Tierra de $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcule la fuerza con la que la Tierra lo atrae (masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compare esa fuerza con el peso del satélite cuando estaba en la superficie, $P = m\cdot g$ con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: ¿cuántas veces menor es, aproximadamente?

Dos esferas metálicas idénticas, colocadas con sus centros a $2\ \text{m}$ de distancia, se atraen con una fuerza de $6,67\cdot10^{-5}\ \text{N}$.

1. a) Escriba la ley de la gravitación universal llamando $m$ a la masa de cada esfera (¡las dos son iguales!).
2. b) Despeje $m$ de la fórmula y calcule la masa de cada esfera ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).

Un satélite de $500\ \text{kg}$ está en la superficie de la Tierra, donde el planeta lo atrae con una fuerza de $4900\ \text{N}$, como se muestra en la figura.

1. a) Razonando con el factor $\frac{1}{r^2}$ de la ley de gravitación, ¿con qué fuerza lo atraerá la Tierra cuando orbite a una distancia del centro del planeta igual al doble del radio terrestre?
2. b) Si el radio de la Tierra es $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, ¿a qué altura sobre la superficie estará entonces el satélite?

Calcule la fuerza gravitatoria entre una persona de $80\ \text{kg}$ y un camión de $5000\ \text{kg}$ estacionado a $10\ \text{m}$ de distancia ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$). Después, calcule el peso de un zancudo de $2\ \text{mg}$ de masa ($P = m\cdot g$, con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; cuidado con las unidades) y compare ambas fuerzas. ¿Qué conclusión saca sobre la atracción gravitatoria entre objetos cotidianos?

Vamos a deducir el valor de $g$ en la superficie de la Tierra a partir de la ley de la gravitación universal.

1. a) Escriba la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa $m$ de dos formas: como $F = m\cdot g$ y como $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.
2. b) Iguale las dos expresiones, simplifique la masa $m$ y despeje $g$.
3. c) Calcule su valor con $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. ¿Qué valor tan conocido obtiene?

Dos masas fijas, de $100\ \text{kg}$ y $400\ \text{kg}$, están separadas $3\ \text{m}$. Queremos colocar una tercera masa en la línea que las une, entre ambas, de modo que la fuerza gravitatoria neta sobre ella sea cero, como se muestra en la figura.

1. a) Si $x$ es la distancia de la tercera masa a la de $100\ \text{kg}$, escriba la igualdad entre las dos fuerzas que actúan sobre ella.
2. b) Resuelva la ecuación y calcule $x$ (pista: simplifique primero $G$ y la tercera masa, y después tome raíces cuadradas).
3. c) ¿Depende el resultado del valor de la tercera masa? ¿Y de $G$? Coméntelo.

¿A qué distancia del centro de la Tierra la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo se reduce a la mitad de la que siente en la superficie?

1. a) Plantee la igualdad usando que la fuerza disminuye con $\frac{1}{r^2}$.
2. b) Despeje $r$ en función del radio terrestre $R_T$ (le va a aparecer un $\sqrt{2}$).
3. c) Con $R_T = 6370\ \text{km}$, calcule a qué altura sobre la superficie hay que subir, en kilómetros. ¿Cree que un avión comercial, que vuela a unos $10\ \text{km}$ de altura, nota esa disminución? Razone la respuesta.

El Sol atrae a la Luna, y también lo hace la Tierra. Calcule las dos fuerzas sobre la Luna con estos datos: masa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distancia Sol–Luna $\approx 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, distancia Tierra–Luna $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) ¿Cuántas veces mayor es la atracción del Sol sobre la Luna que la de la Tierra?
2. b) Si el Sol tira de la Luna con más fuerza, ¿por qué la Luna sigue girando alrededor de la Tierra en lugar de salir hacia el Sol? Pista: piense a qué otros cuerpos atrae también el Sol al mismo tiempo.

Un exoplaneta rocoso tiene el cuádruple de masa que la Tierra y el doble de radio, como se muestra en la figura.

1. a) Usando $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, razone en qué factor cambia la gravedad en su superficie respecto de la terrestre.
2. b) ¿Cuánto pesaría allí una astronauta de $60\ \text{kg}$ (tome la gravedad terrestre como $9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) ¿Y si el planeta tuviera el cuádruple de masa pero el mismo radio que la Tierra? Calcule el nuevo peso de la astronauta.

Newton comprobó su ley comparando la caída de los objetos en la superficie con el movimiento de la Luna.

1. a) Calcule la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de $1\ \text{kg}$ en su superficie ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcule la fuerza que ejercería sobre ese mismo cuerpo si estuviera a la distancia de la Luna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
3. c) Compruebe que la segunda fuerza es unas $3600$ veces menor y relacione ese número con el cociente entre las dos distancias, que es de unos $60$. ¿Qué ley queda confirmada?

Imagine que la Tierra se comprimiera hasta quedarse con la mitad de radio, conservando toda su masa.

1. a) Razonando con $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, ¿en qué factor cambiaría la gravedad en su superficie?
2. b) ¿Cuánto pesaría entonces una persona de $70\ \text{kg}$? (Tome la $g$ actual como $9,8\ \text{m/s}^2$.)
3. c) Comente una consecuencia que tendría este cambio para la vida en ese mundo.

Una nave viaja en línea recta de la Tierra a la Luna. Hay un punto del trayecto en el que las atracciones gravitatorias de ambas se compensan, como se muestra en la figura.

1. a) Si $x$ es la distancia de la nave al centro de la Tierra, plantee la igualdad entre las fuerzas que la Tierra y la Luna ejercen sobre la nave (distancia Tierra–Luna: $3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$).
2. b) Compruebe numéricamente que la igualdad se cumple para $x \approx 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$.
3. c) Ese punto está a un $90\ \%$ del camino total. Explique, pensando en las masas de la Tierra y de la Luna, por qué está tan cerca de esta.