Teorema de Bernoulli y viscosidad
Cuando un colectivo pasa a toda velocidad por la avenida, quien está parado en la vereda siente un tirón hacia el vehículo. Nadie lo toca y el colectivo no lo "chupa": algo pasa con la presión del aire que se mueve. En esta página vas a ver qué relación hay entre la presión, la velocidad y la altura de un fluido, y después qué cambia cuando el fluido "se pega" y roza: la viscosidad.
Presión y velocidad: la idea de Bernoulli
Pensá en una cañería horizontal por la que circula agua y que se angosta. Por continuidad ($S_1 v_1 = S_2 v_2$), el agua va más rápido en la parte angosta. Para que las partículas de agua aceleren al entrar en el estrechamiento, tiene que empujarlas más desde atrás que desde adelante: la presión en la zona rápida es menor.
Esta es la idea central: en un fluido en movimiento, donde la velocidad es mayor, la presión es menor (si la altura no cambia). Cuando además cambia la altura, también entra en juego la presión hidrostática que ya conocés.
El teorema de Bernoulli
Bernoulli expresa la idea anterior como una conservación de la energía por unidad de volumen. Vale para un fluido ideal: incompresible, sin viscosidad, en régimen estacionario (en cada punto, la velocidad no cambia con el tiempo), a lo largo de una línea de corriente.
Entre dos puntos A y B de la misma línea de corriente:
$$p_A + \tfrac12 \delta v_A^2 + \delta g h_A = p_B + \tfrac12 \delta v_B^2 + \delta g h_B$$Cada término tiene unidades de presión (Pa = N/m² = J/m³). Por eso es una ecuación de energía: lo que el fluido gana en un término lo pierde en otro.
Enunciá con tus palabras el teorema de Bernoulli para un fluido ideal que circula en régimen estacionario. Escribí la ecuación e indicá qué representa cada uno de sus…
Enunciá con tus palabras el teorema de Bernoulli para un fluido ideal que circula en régimen estacionario. Escribí la ecuación e indicá qué representa cada uno de sus términos.
Aplicando Bernoulli en una cañería
Por una cañería horizontal circula agua. En un punto A la velocidad es $1{,}0\ \text{m/s}$ y la presión es $2{,}0\times 10^{5}\ \text{Pa}$. En un punto B, más angosto,…
Por una cañería horizontal circula agua. En un punto A la velocidad es $1{,}0\ \text{m/s}$ y la presión es $2{,}0\times 10^{5}\ \text{Pa}$. En un punto B, más angosto, la velocidad es $3{,}0\ \text{m/s}$. Con la densidad del agua $1.000\ \text{kg/m}^3$, calculá la presión en B aplicando Bernoulli.
Salida por un orificio
Un tanque grande, abierto, con un orificio a una profundidad $h$ bajo la superficie. En la superficie (punto 1) la presión es la atmosférica y el agua casi no se mueve ($v_1 \approx 0$, porque el tanque es mucho más ancho que el orificio). En el orificio (punto 2) la presión también es la atmosférica. Entonces:
$$\delta g h = \tfrac12 \delta v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gh}$$Es la misma velocidad que adquiriría un cuerpo que cae libremente una altura $h$ (teorema de Torricelli).
Un tanque grande, abierto a la atmósfera, tiene un pequeño orificio a $1{,}8\ \text{m}$ por debajo de la superficie libre del agua. Usando Bernoulli y despreciando la…
Un tanque grande, abierto a la atmósfera, tiene un pequeño orificio a $1{,}8\ \text{m}$ por debajo de la superficie libre del agua. Usando Bernoulli y despreciando la viscosidad, calculá la velocidad con que sale el agua por el orificio. Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.
Bernoulli en la vida cotidiana
El colectivo en la vereda. El aire entre el colectivo y la persona se mueve rápido; del otro lado de la persona el aire está casi quieto. Según Bernoulli, la presión es menor del lado del colectivo, y la presión mayor del otro lado empuja a la persona hacia el vehículo. Por eso conviene mantenerse lejos del cordón.
Tubo de Pitot. Es un tubito que apunta contra la corriente: allí el aire se frena y la presión sube. Comparando esa presión con la del aire que corre al costado se obtiene la velocidad. Los aviones lo usan como velocímetro.
Ala de avión. El aire que pasa por arriba del ala va más rápido que por abajo, y la presión es menor arriba. Esa diferencia de presiones por la superficie del ala da una fuerza hacia arriba.
Cuando un colectivo pasa muy rápido junto a una persona parada en la vereda, esta siente una leve tendencia a ser empujada hacia el vehículo. Explicá este fenómeno…
Cuando un colectivo pasa muy rápido junto a una persona parada en la vereda, esta siente una leve tendencia a ser empujada hacia el vehículo. Explicá este fenómeno usando cualitativamente el teorema de Bernoulli.
Un avión tiene alas cuya superficie total es de $30\ \text{m}^2$. Por encima del ala el aire circula a $80\ \text{m/s}$ y por debajo a $70\ \text{m/s}$. Considerá la…
Un avión tiene alas cuya superficie total es de $30\ \text{m}^2$. Por encima del ala el aire circula a $80\ \text{m/s}$ y por debajo a $70\ \text{m/s}$. Considerá la densidad del aire $1{,}2\ \text{kg/m}^3$ y despreciá la diferencia de altura.
- a) Calculá la diferencia de presión entre la cara inferior y la superior.
- b) Calculá la fuerza neta ascendente sobre las alas.
- c) Explicá si esta fuerza alcanzaría para sostener un avión de $2.000\ \text{kg}$ y qué otros factores intervienen en la sustentación real. Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.
Viscosidad: cuando el fluido roza
Un fluido real no es ideal: sus capas se rozan entre sí y con las paredes. A ese "rozamiento interno" lo llamamos viscosidad ($\eta$, en Pa·s). La miel es muy viscosa; el agua, poco; el aire, mucho menos todavía.
No es lo mismo que la densidad. La densidad dice cuánta masa hay por unidad de volumen ($\delta = m/V$); la viscosidad dice cuánto cuesta que el fluido fluya. El aceite flota sobre el agua (es menos denso) pero es más viscoso. El mercurio es muy denso y fluye con mucha facilidad.
| Fluido | Densidad (kg/m³) | Viscosidad aprox. |
|---|---|---|
| Agua | 1.000 | baja |
| Aceite de cocina | 920 | media-alta |
| Miel | 1.400 | muy alta |
| Mercurio | 13.600 | baja |
Consecuencias en una cañería. Con viscosidad, parte de la energía se transforma en calor: la presión cae a lo largo del caño aun si la sección es constante. A Bernoulli se le agrega un término de pérdida: $p_A + \tfrac12\delta v_A^2+\delta g h_A = p_B + \tfrac12\delta v_B^2 + \delta g h_B + Q_{AB}$, donde $Q_{AB}$ es la energía por unidad de volumen disipada entre A y B. Algo parecido pasa en la circulación sanguínea: el corazón debe mantener una presión para compensar la caída por rozamiento en los vasos.
Explicá la diferencia entre densidad y viscosidad de un fluido. Dá un ejemplo de dos líquidos en el que el más denso sea el menos viscoso, o bien indicá por qué una…
Explicá la diferencia entre densidad y viscosidad de un fluido. Dá un ejemplo de dos líquidos en el que el más denso sea el menos viscoso, o bien indicá por qué una propiedad no determina la otra.
Velocidad límite de una esfera
Soltá una esfera en un frasco con miel. Al principio acelera, pero a medida que gana velocidad aumenta el rozamiento viscoso, que se opone al movimiento. Llega un momento en que la suma de fuerzas es cero y la esfera sigue con velocidad constante: la velocidad límite.
Con velocidad límite: $P = E + F$, con
-
peso $P = \delta_{esf}\, V\, g$,
-
empuje $E = \delta_{fl}\, V\, g$ (Arquímedes),
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rozamiento viscoso a bajas velocidades (ley de Stokes): $F = 6\pi\eta r v$.
Entonces $6\pi\eta r\, v_{lim} = (\delta_{esf}-\delta_{fl})\,V g$, con $V=\tfrac43\pi r^3$:
$$v_{lim} = \frac{2\,r^2\,(\delta_{esf}-\delta_{fl})\,g}{9\,\eta}$$Se ve que $v_{lim}$ disminuye al aumentar la viscosidad (por eso en la miel es muy baja) y crece con el cuadrado del radio.
Una esfera pequeña cae en un frasco con miel y en otro con agua. Observás que en la miel llega rápidamente a una velocidad constante muy baja. Explicá qué fuerzas actúan…
Una esfera pequeña cae en un frasco con miel y en otro con agua. Observás que en la miel llega rápidamente a una velocidad constante muy baja. Explicá qué fuerzas actúan sobre la esfera cuando alcanza la velocidad límite, y por qué esa velocidad es menor en la miel que en el agua.
Una esfera de radio $r = 1{,}0\ \text{mm}$ y densidad $2.700\ \text{kg/m}^3$ cae en glicerina, de densidad $1.260\ \text{kg/m}^3$ y viscosidad…
Una esfera de radio $r = 1{,}0\ \text{mm}$ y densidad $2.700\ \text{kg/m}^3$ cae en glicerina, de densidad $1.260\ \text{kg/m}^3$ y viscosidad $1{,}0\ \text{Pa}\cdot\text{s}$. Para velocidades bajas, la fuerza de rozamiento viscoso es $F = 6\pi\eta r v$.
- a) Planteá el equilibrio de fuerzas (peso, empuje y rozamiento) para la velocidad límite.
- b) Calculá la velocidad límite. Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$ y $\pi \approx 3{,}14$.
- c) Predecí cómo cambiaría la velocidad límite si el radio se duplicara, y justificá.
Volvé al principio: la persona en la vereda es empujada hacia el colectivo porque el aire que corre entre ambos tiene menor presión que el aire quieto del otro lado.