Trabajo y balances energéticos en el campo gravitatorio

Una sonda se aleja de la Tierra en dirección radial.

1. a) Dibujá en tu cuaderno la fuerza gravitatoria sobre la sonda y su desplazamiento, y razoná qué signo tiene el trabajo realizado por el campo gravitatorio durante el alejamiento.
2. b) Escribí la relación entre ese trabajo y la variación de energía potencial, $W_{campo} = -\Delta E_p$, y explicá su significado.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una carga útil de $m = 1000\ \text{kg}$ pasa de la superficie terrestre ($r_1 = R_T$) a una posición a $r_2 = 2\cdot R_T$ del centro de la Tierra. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Fijate en el esquema:

1. a) Calculá la energía potencial del conjunto en cada posición, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.
2. b) Calculá la variación de energía potencial, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$, y razoná su signo.

Una sonda de $m = 800\ \text{kg}$ se traslada muy despacio (prácticamente sin variar su energía cinética) desde $r_1 = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ hasta $r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$, medidos desde el centro de la Tierra. El trabajo externo mínimo necesario coincide entonces con la variación de energía potencial. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá la variación de energía potencial entre ambas posiciones.
2. b) Indicá qué trabajo externo mínimo hay que realizar y qué signo tiene.

Un fragmento de basura espacial desciende lentamente de una órbita de radio $r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ a otra de radio $r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Razoná, sin hacer cálculos, qué signo tiene el trabajo realizado por el campo gravitatorio durante el descenso.
2. b) Indicá si su energía potencial aumenta o disminuye y justificalo con la expresión $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.

Un satélite describe una órbita circular estable alrededor de la Tierra. Observá el esquema:

1. a) Teniendo en cuenta que la fuerza gravitatoria es perpendicular a la velocidad en cada punto de la órbita, ¿cuánto vale el trabajo realizado por el campo gravitatorio en una vuelta completa?
2. b) ¿Cambian la energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica del satélite a lo largo de esa órbita? Justificalo.

La energía que hay que comunicar a una masa $m$ en reposo en la superficie terrestre para situarla en una órbita circular de radio $r$ es $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Un pequeño satélite de $m = 200\ \text{kg}$ se quiere situar en una órbita de $500\ \text{km}$ de altura ($r = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calculá esa energía y expresala en notación científica.
2. b) Indicá en qué dos «partidas» energéticas se invierte esa energía.

Para situar un satélite en cierta órbita se necesita aumentar su energía potencial en $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ y, además, comunicarle una energía cinética orbital de $E_c = 4\cdot10^{9}\ \text{J}$.

1. a) Calculá la energía total que debe suministrar el lanzador.
2. b) Explicá por qué poner un satélite en órbita no consiste solo en «subirlo» hasta esa altura.

Un lanzador sitúa una carga de $m = 400\ \text{kg}$ en una órbita circular de $600\ \text{km}$ de altura ($r = 6,97\cdot10^{6}\ \text{m}$), partiendo del reposo en la superficie. La energía necesaria es $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calculá la energía total.
2. b) Calculá la energía por kilogramo de carga y expresala en notación científica.
3. c) La energía de escape desde la superficie es $6,25\cdot10^{7}\ \text{J}$ por kilogramo: calculá qué fracción representa la energía de puesta en órbita respecto a la de escape.

Un satélite de una constelación de internet, de $m = 300\ \text{kg}$, debe subir de su órbita de estacionamiento, a $500\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$), a su órbita operativa, a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). El trabajo necesario para pasar de una órbita circular a otra es $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá el trabajo que deben aportar los propulsores del satélite.
2. b) Razoná el signo positivo del resultado: ¿de dónde sale esa energía y adónde va a parar?

Los propulsores de un satélite de $m = 500\ \text{kg}$ lo elevan de una órbita circular de $500\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$) a otra de $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá el trabajo aportado por los propulsores, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calculá la velocidad orbital en cada órbita, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$, y comprobá que disminuye.
3. c) Explicá la aparente paradoja: los motores aportan energía al satélite y, sin embargo, este acaba moviéndose más despacio. Apoyá la explicación en los balances de $E_c$, $E_p$ y $E_m$.

Al final de su vida útil, los satélites geoestacionarios se elevan unos $300\ \text{km}$ a la llamada «órbita cementerio» para no interferir con los operativos. Considerá un satélite de $m = 2000\ \text{kg}$ que pasa de la órbita geoestacionaria ($r_1 = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$) a la cementerio ($r_2 = 4,25\cdot10^{7}\ \text{m}$). Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá el trabajo necesario para ese último empujón, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calculá la energía que costó en su día ponerlo en órbita geoestacionaria desde la superficie, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r_1}\right)$, con $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Calculá la energía que costaría «bajarlo» desde la órbita geoestacionaria hasta una órbita de $300\ \text{km}$ de altura ($r_3 = 6,67\cdot10^{6}\ \text{m}$) para que reingresara, y razoná, comparando los tres resultados, por qué se elige la órbita cementerio.

Un satélite de $m = 300\ \text{kg}$ decae por rozamiento con la alta atmósfera desde una órbita circular de $800\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) hasta otra de $500\ \text{km}$ ($r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá el trabajo realizado por el campo gravitatorio en el descenso, $W_{campo} = G\cdot M\cdot m\cdot\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)$.
2. b) Calculá la variación de energía mecánica del satélite entre ambas órbitas circulares, $\Delta E_m = E_{m,2} - E_{m,1}$ con $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Explicá por qué los dos resultados no coinciden y qué pasó con la diferencia.

Un satélite de $m = 500\ \text{kg}$ pierde altura por el rozamiento con la alta atmósfera y pasa de una órbita circular de $350\ \text{km}$ ($r_1 = 6,72\cdot10^{6}\ \text{m}$) a otra de $250\ \text{km}$ ($r_2 = 6,62\cdot10^{6}\ \text{m}$). Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá la variación de energía cinética entre ambas órbitas, $\Delta E_c$, con $E_c = \frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
2. b) Calculá la variación de energía potencial, $\Delta E_p$.
3. c) Calculá la variación de energía mecánica, $\Delta E_m$, y explicá qué pasó con esa energía.
4. d) Calculá la velocidad orbital en cada órbita y explicá la «paradoja del satélite»: al frenar por rozamiento, el satélite termina moviéndose más rápido.

Una sonda de $m = 500\ \text{kg}$ cae desde $r_1 = 4\cdot R_T$ hasta $r_2 = 2\cdot R_T$, medidos desde el centro de la Tierra. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calculá la variación de su energía potencial, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$.
2. b) Calculá el trabajo realizado por el campo gravitatorio, $W_{campo} = -\Delta E_p$, e interpretá su signo.

Un meteorito de $m = 2\cdot10^{3}\ \text{kg}$ cae hacia la Tierra desde muy lejos, partiendo prácticamente del reposo. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Aplicá la conservación de la energía para calcular la energía cinética con la que llegaría a la superficie si no hubiera atmósfera.
2. b) Calculá la velocidad correspondiente.
3. c) Un auto de $1200\ \text{kg}$ a $120\ \text{km/h}$ ($33,3\ \text{m/s}$) tiene una energía cinética de unos $6,7\cdot10^{5}\ \text{J}$: calculá cuántas veces mayor es la energía del meteorito.

En 2013 un meteorito de unos $20\ \text{m}$ de diámetro explotó sobre Cheliábinsk (Rusia). Considerá un cuerpo de $m = 10^{7}\ \text{kg}$ que se aproxima a la Tierra con una velocidad, cuando todavía está lejos, de $v_\infty = 1,5\cdot10^{4}\ \text{m/s}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Aplicá la conservación de la energía mecánica para calcular la velocidad con la que llega a la superficie terrestre.
2. b) Calculá su energía cinética en ese momento.
3. c) Un kilotón de TNT equivale a $4,18\cdot10^{12}\ \text{J}$: expresá la energía del meteorito en kilotones y comentá el resultado.
4. d) Explicá por qué la atmósfera terrestre actúa como escudo protector pero solo de forma parcial frente a cuerpos de este tamaño.

Se quiere comparar la energía necesaria para dos misiones distintas con una carga de $m = 1000\ \text{kg}$ que parte del reposo en la superficie terrestre. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calculá la energía mínima para que la carga escape de la atracción terrestre, $E_{esc} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$.
2. b) Calculá la energía para situarla en una órbita circular rasante ($r \approx R_T$), $E_{orb} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot R_T}$.
3. c) Razoná a partir de los resultados por qué «escapar de la Tierra» cuesta justo el doble que «ponerse en órbita baja», y qué consecuencia práctica tiene esto para las misiones interplanetarias.

Una misión lleva una carga de $m = 1000\ \text{kg}$ desde el reposo en la superficie terrestre hasta hacerla escapar de la Tierra, en dos etapas: primero se sitúa en una órbita circular de $800\ \text{km}$ de altura ($r = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) y desde ahí se le da el impulso final de escape. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. La misión se muestra en la figura.

1. a) Calculá la energía de la primera etapa, $E_1 = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$.
2. b) Calculá la energía de la segunda etapa: la que hay que aportar a un satélite en órbita circular para que escape, $E_2 = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Sumá ambas energías y comprobá que el total coincide con la energía de escape directa desde la superficie, $E_{esc} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$.
4. d) Razoná por qué el total no depende de la órbita intermedia elegida, apoyándote en que la energía mecánica final (en el infinito, en reposo) es la misma en todos los casos.

Un satélite meteorológico de $m = 1500\ \text{kg}$ se quiere situar en órbita geoestacionaria, de radio $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, partiendo del reposo en la superficie terrestre. La energía necesaria es $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calculá esa energía.
2. b) Calculá qué fracción de esa energía corresponde a «subir» (variación de $E_p$) y cuál a «orbitar» (energía cinética orbital), y comentá el resultado.

Para alturas pequeñas frente al radio terrestre se suele aproximar la variación de energía potencial por $\Delta E_p \approx m\cdot g_0\cdot h$, con $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$. Considerá una carga de $m = 1000\ \text{kg}$ elevada $h = 100\ \text{km} = 10^{5}\ \text{m}$ sobre la superficie. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. La figura compara ambas expresiones:

1. a) Calculá la variación exacta de energía potencial, $\Delta E_p = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h}\right)$.
2. b) Calculá el valor aproximado $m\cdot g_0\cdot h$.
3. c) Determiná el error relativo de la aproximación, en tanto por ciento.
4. d) Repetí la comparación para $h = R_T$ (una altura igual al radio terrestre) y concluí en qué rango de alturas la aproximación $m\cdot g_0\cdot h$ es aceptable.

Reto del tema. ¿Cómo conectar la caída de un objeto con el lanzamiento de satélites? Convertite en ingeniero de misiones espaciales desde tu casa:

1. Medida casera e incertidumbre: Dejá caer una pelota pequeña desde 5 alturas distintas entre $0,50\text{ m}$ y $2,00\text{ m}$. Registrá con el celular (grabando video en cámara lenta y analizándolo fotograma a fotograma) el tiempo de caída (3 repeticiones por altura) asociando su incertidumbre ($\pm \Delta h$, $\pm \Delta t$). Elaborá una tabla con los valores medios y graficá $v^2$ frente a $h$ para determinar el valor local de $g$ mediante balance de energía mecánica ($mgh = \frac{1}{2}mv^2$).

2. Balance energético orbital: Consultá en la web del Instituto Geográfico Nacional (IGN) el radio medio terrestre ($R_T = 6371\text{ km}$) y calculá la masa de la Tierra $M_T$ a partir de tu $g$. Determiná el trabajo necesario para transferir un nanosatélite de $3,5\text{ kg}$ desde la superficie hasta una órbita circular a $400\text{ km}$ de altitud.

3. Propuesta razonada y trayectorias: Redactá un informe breve que incluya tabla, gráfica y una discusión teórica: clasificá el tipo de movimiento (órbita elíptica, parábola o hipérbola) según el signo de la energía mecánica total ($E_m < 0$, $E_m = 0$, $E_m > 0$) y calculá la velocidad de escape.

Se valorará:

• Rigor en el tratamiento de datos experimentales, estimación de incertidumbres y ajuste gráfico.

• Corrección en los balances de energía mecánica y cálculo del trabajo gravitatorio.

• Coherencia física al vincular el signo de $E_m$ con la trayectoria y el escape gravitatorio.

Se quiere comparar el costo energético de poner en órbita baja, a $100\ \text{km}$ de altura, una misma carga de $m = 500\ \text{kg}$ desde la superficie de la Tierra y desde la superficie de la Luna. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; Tierra: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$; Luna: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calculá la energía necesaria desde la Tierra, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$, con $r = R_T + 10^{5}\ \text{m}$.
2. b) Calculá la energía necesaria desde la Luna, con $r = R_L + 10^{5}\ \text{m}$.
3. c) Calculá el cociente entre ambas energías y comentá qué consecuencia tendría para la logística de una futura base lunar el hecho de que despegar de la Luna sea tan «barato» energéticamente.