El movimiento rectilíneo uniforme
Un ómnibus por la ruta 5 con el control de velocidad fijo, una cinta transportadora de valijas en el aeropuerto de Carrasco, una escalera mecánica que sube siempre igual. Todos se mueven en línea recta y sin acelerar ni frenar. Ese movimiento tiene nombre propio y una ecuación muy sencilla. Al final vas a poder responder: si dos ciclistas salen de lugares distintos, ¿dónde y cuándo se encuentran?
Qué es el MRU
Una valija en la cinta transportadora avanza sin desviarse y tarda exactamente lo mismo en recorrer cada metro. Para estudiarla la tratamos como un cuerpo puntual: un punto que se mueve sobre una recta, sin importar su forma ni su tamaño. ¿Cómo describimos un movimiento que no frena, no acelera ni se desvía?
La velocidad es un vector: tiene módulo, dirección y sentido. En un MRU los tres se mantienen. La dirección es la de la recta y el sentido lo indicamos con el signo, como vas a ver enseguida.
Algunos ejemplos que, durante un rato, se pueden considerar MRU: un ómnibus por un tramo recto de la ruta 3 con velocidad fija, o una escalera mecánica.
Una cinta transportadora de aeropuerto se mueve en línea recta y avanza siempre a la misma velocidad. a) ¿Qué tipo de movimiento describe? b) Indicá las dos condiciones…
Una cinta transportadora de aeropuerto se mueve en línea recta y avanza siempre a la misma velocidad.
- a) ¿Qué tipo de movimiento describe?
- b) Indicá las dos condiciones que debe cumplir un movimiento para ser rectilíneo y uniforme.
Explicá qué significan las siglas MRU y describí dos ejemplos de movimientos reales que, al menos durante un rato, se puedan considerar un MRU.
Explicá qué significan las siglas MRU y describí dos ejemplos de movimientos reales que, al menos durante un rato, se puedan considerar un MRU.
La ecuación de posición
Si un ciclista pedalea a $6\ \text{m/s}$, a los $2\ \text{s}$ avanzó $12\ \text{m}$ y a los $5\ \text{s}$, $30\ \text{m}$. Pero dónde queda en la ruta depende de dónde estaba cuando empezó a correr el cronómetro. ¿Cómo predecimos su posición en cualquier instante?
Para eso elegimos un sistema de referencia: un origen ($x = 0$) y un sentido positivo sobre la recta. La posición $x$ se mide desde ese origen, y el signo de la velocidad depende de ese sentido.
Movés los deslizadores de $x_0$ y de $v$ y mirás cómo cambia la recta de la gráfica $x(t)$: la ordenada en el origen es $x_0$ y la pendiente es $v$.
Un corredor sale del origen ($x_0 = 0\ \text{m}$) y corre con velocidad constante de $4\ \text{m/s}$. ¿En qué posición se encuentra a los $10\ \text{s}$?
Un corredor sale del origen ($x_0 = 0\ \text{m}$) y corre con velocidad constante de $4\ \text{m/s}$. ¿En qué posición se encuentra a los $10\ \text{s}$?
Un peatón se mueve con MRU según la ecuación $x = x_0 + v \cdot t$, con $x_0 = 10\ \text{m}$ y $v = 2\ \text{m/s}$. Calculá su posición cuando $t = 5\ \text{s}$.
Un peatón se mueve con MRU según la ecuación $x = x_0 + v \cdot t$, con $x_0 = 10\ \text{m}$ y $v = 2\ \text{m/s}$. Calculá su posición cuando $t = 5\ \text{s}$.
La posición de un tren viene dada por la ecuación $x = 20 + 5\cdot t$, en unidades del Sistema Internacional. ¿Desde qué posición parte? ¿Con qué velocidad se mueve?…
La posición de un tren viene dada por la ecuación $x = 20 + 5\cdot t$, en unidades del Sistema Internacional. ¿Desde qué posición parte? ¿Con qué velocidad se mueve? ¿Dónde va a estar en el instante $t = 10\ \text{s}$?
La posición de un ciclista viene dada, en unidades del Sistema Internacional, por la ecuación $x = 5 + 3 \cdot t$. a) ¿Cuál es su posición inicial $x_0$ y su velocidad…
La posición de un ciclista viene dada, en unidades del Sistema Internacional, por la ecuación $x = 5 + 3 \cdot t$.
- a) ¿Cuál es su posición inicial $x_0$ y su velocidad $v$?
- b) Calculá su posición cuando $t = 10\ \text{s}$.
Sumar velocidades: cuando el móvil va sobre otro móvil
Si caminás sobre una cinta transportadora, hay dos sistemas de referencia: la cinta y el suelo. La velocidad que importa para saber dónde estás respecto del suelo es la suma de las dos, con sus signos. Si caminás en el mismo sentido que la cinta, las velocidades se suman. Si caminás en sentido contrario, se restan (la que va en sentido contrario lleva signo negativo).
Sobre una cinta transportadora de un aeropuerto, que avanza a $0,5\ \text{m/s}$, un pasajero camina a $1,5\ \text{m/s}$ respecto a la cinta, en el mismo sentido, como se…
Sobre una cinta transportadora de un aeropuerto, que avanza a $0,5\ \text{m/s}$, un pasajero camina a $1,5\ \text{m/s}$ respecto a la cinta, en el mismo sentido, como se muestra en la figura.
- a) ¿A qué velocidad se mueve el pasajero respecto al suelo del aeropuerto?
- b) La cinta mide $60\ \text{m}$: ¿cuánto tarda en recorrerla caminando sobre ella?
- c) Otro pasajero camina por el suelo, junto a la cinta, a $1,5\ \text{m/s}$. ¿Quién tarda menos en recorrer los $60\ \text{m}$? ¿Cuántos segundos de diferencia hay?
Velocidad, tiempo y distancia
La ecuación sirve para más cosas que calcular posiciones. Si conocés dos de los datos, podés despejar el tercero.
Si el cuerpo va siempre en el mismo sentido, la distancia recorrida es $d = v \cdot t$. De ahí salen la velocidad $v = \dfrac{d}{t}$ y el tiempo $t = \dfrac{d}{v}$. Con dos posiciones y dos instantes: $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$, y en un MRU da lo mismo para cualquier par de instantes que elijas.
Un carrito de juguete con MRU pasa por la posición $5\ \text{m}$ en el instante $t = 0\ \text{s}$ y por la posición $45\ \text{m}$ en $t = 10\ \text{s}$. ¿Cuál es su…
Un carrito de juguete con MRU pasa por la posición $5\ \text{m}$ en el instante $t = 0\ \text{s}$ y por la posición $45\ \text{m}$ en $t = 10\ \text{s}$. ¿Cuál es su velocidad?
Un robot aspirador avanza en línea recta a $0,5\ \text{m/s}$. ¿Cuánto tarda en recorrer los $6\ \text{m}$ del pasillo?
Un robot aspirador avanza en línea recta a $0,5\ \text{m/s}$. ¿Cuánto tarda en recorrer los $6\ \text{m}$ del pasillo?
Un senderista parte de la posición $x_0 = 20\ \text{m}$ y camina a $4\ \text{m/s}$. ¿Cuánto tarda en llegar a la posición $x = 100\ \text{m}$?
Un senderista parte de la posición $x_0 = 20\ \text{m}$ y camina a $4\ \text{m/s}$. ¿Cuánto tarda en llegar a la posición $x = 100\ \text{m}$?
Un tren con MRU está en la posición $14\ \text{m}$ cuando $t = 2\ \text{s}$ y en la posición $30\ \text{m}$ cuando $t = 6\ \text{s}$. a) Calculá su velocidad. b) ¿Cuál…
Un tren con MRU está en la posición $14\ \text{m}$ cuando $t = 2\ \text{s}$ y en la posición $30\ \text{m}$ cuando $t = 6\ \text{s}$.
- a) Calculá su velocidad.
- b) ¿Cuál era su posición inicial, en $t = 0\ \text{s}$?
- c) Escribí su ecuación de la posición.
Unidades: de km/h a m/s
En la ruta las velocidades se dan en $\text{km/h}$, pero en las ecuaciones del Sistema Internacional trabajamos en $\text{m/s}$. Hay que convertir antes de calcular.
Un auto circula por la ruta a velocidad constante de $90\ \text{km/h}$. ¿Qué distancia recorre en $3\ \text{h}$?
Un auto circula por la ruta a velocidad constante de $90\ \text{km/h}$. ¿Qué distancia recorre en $3\ \text{h}$?
Un ciclista circula a $72\ \text{km/h}$ por una ruta recta. Expresá su velocidad en $\text{m/s}$ y calculá en qué posición estará a los $30\ \text{s}$ si partió del…
Un ciclista circula a $72\ \text{km/h}$ por una ruta recta. Expresá su velocidad en $\text{m/s}$ y calculá en qué posición estará a los $30\ \text{s}$ si partió del origen.
Un tren pasa por una estación sin detenerse, a $108\ \text{km/h}$, y mantiene esa velocidad. Tomamos la estación como origen. a) Expresá la velocidad en $\text{m/s}$. b)…
Un tren pasa por una estación sin detenerse, a $108\ \text{km/h}$, y mantiene esa velocidad. Tomamos la estación como origen.
- a) Expresá la velocidad en $\text{m/s}$.
- b) Escribí la ecuación de su posición.
- c) Calculá su posición a los $45\ \text{s}$ de pasar por la estación.
La luz viaja en el vacío a $3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ y la distancia media del Sol a la Tierra es de $1,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$. El esquema se muestra en la figura.…
La luz viaja en el vacío a $3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ y la distancia media del Sol a la Tierra es de $1,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$. El esquema se muestra en la figura.
- a) Calculá el tiempo que tarda la luz del Sol en llegarnos, en segundos.
- b) Expresalo en minutos, con un decimal.
Distancia, desplazamiento y velocidad negativa
La posición de un monopatín, en unidades del Sistema Internacional, es $x = 50 - 4 \cdot t$. a) Explicá qué significa el signo menos de la velocidad: ¿se aleja o se…
La posición de un monopatín, en unidades del Sistema Internacional, es $x = 50 - 4 \cdot t$.
- a) Explicá qué significa el signo menos de la velocidad: ¿se aleja o se acerca al origen?
- b) Calculá su posición cuando $t = 5\ \text{s}$.
Un ciclista parte del punto kilométrico $12$ de una vía verde y pedalea hasta el punto kilométrico $32$, como se muestra en la figura. ¿Cuál es su posición final? ¿Qué…
Un ciclista parte del punto kilométrico $12$ de una vía verde y pedalea hasta el punto kilométrico $32$, como se muestra en la figura.
¿Cuál es su posición final? ¿Qué distancia recorrió? Explicá la diferencia entre ambos conceptos.
Un dron está en la posición $x_0 = 100\ \text{m}$ y vuela hacia el origen a $4\ \text{m/s}$, de modo que su velocidad es negativa: $v = -4\ \text{m/s}$, como se muestra…
Un dron está en la posición $x_0 = 100\ \text{m}$ y vuela hacia el origen a $4\ \text{m/s}$, de modo que su velocidad es negativa: $v = -4\ \text{m/s}$, como se muestra en la figura.
- a) Escribí su ecuación de la posición.
- b) ¿En qué posición está en el instante $t = 10\ \text{s}$?
- c) ¿En qué instante pasa por el origen?
Un auto de juguete se mueve según la ecuación $x = 200 - 10 \cdot t$, en unidades del Sistema Internacional. a) ¿En qué instante llega al origen? b) ¿Cuál es su posición…
Un auto de juguete se mueve según la ecuación $x = 200 - 10 \cdot t$, en unidades del Sistema Internacional.
- a) ¿En qué instante llega al origen?
- b) ¿Cuál es su posición cuando $t = 12\ \text{s}$?
Gráficas x-t del MRU
Dos ciclistas ruedan a la misma velocidad, pero uno sale con ventaja. ¿Cómo se ve eso en una gráfica de posición contra tiempo?
Como $x = x_0 + v\cdot t$ es una función de primer grado, la gráfica $x$-$t$ de un MRU es siempre una recta. Su ordenada en el origen es $x_0$ y su pendiente es la velocidad $v$.
Dos corredores describen su movimiento, en unidades del Sistema Internacional, con las ecuaciones $x = 8 + 2 \cdot t$ y $x = 8 + 5 \cdot t$. Los gráficos $x$-$t$ de…
Dos corredores describen su movimiento, en unidades del Sistema Internacional, con las ecuaciones $x = 8 + 2 \cdot t$ y $x = 8 + 5 \cdot t$. Los gráficos $x$-$t$ de ambos se muestran en la figura.
- a) ¿Qué tienen en común los dos movimientos y en qué se diferencian?
- b) Calculá la posición de cada uno cuando $t = 4\ \text{s}$.
Por una ciclovía recta circulan, en el mismo sentido, dos personas: A con $x_A = 5 \cdot t$ y B con $x_B = 60 + 2 \cdot t$, en unidades del Sistema Internacional. La…
Por una ciclovía recta circulan, en el mismo sentido, dos personas: A con $x_A = 5 \cdot t$ y B con $x_B = 60 + 2 \cdot t$, en unidades del Sistema Internacional. La situación inicial se muestra en la figura.
- a) Calculá la posición de cada una cuando $t = 8\ \text{s}$.
- b) ¿Qué distancia las separa en ese instante?
Encuentros y alcances
Dos amigos salen en bicicleta a la vez, uno hacia el otro, desde dos puntos de la rambla. ¿En qué punto y cuántos segundos después se cruzan?
Para resolver un caso sencillo, escribí la ecuación de posición de cada móvil con el mismo origen, igualalas y despejá $t$. Se encuentran solo si están en el mismo lugar en el mismo instante.
Cuando los móviles van uno hacia el otro, una de las velocidades es negativa. Se acercan a razón de la suma de sus rapideces. Cuando uno persigue al otro, la distancia entre ambos se reduce a razón de la diferencia de rapideces.
Cuando uno sale más tarde
Si un móvil sale después, medí el tiempo desde la salida del segundo y sumale al primero su ventaja.
Un ciclista sale del origen a $8\ \text{m/s}$. Al mismo tiempo, su amiga sale $30\ \text{m}$ por delante, en el mismo sentido, a $5\ \text{m/s}$, como se muestra en la…
Un ciclista sale del origen a $8\ \text{m/s}$. Al mismo tiempo, su amiga sale $30\ \text{m}$ por delante, en el mismo sentido, a $5\ \text{m/s}$, como se muestra en la figura.
- a) Escribí la ecuación de la posición de cada uno.
- b) ¿Cuánto tarda el ciclista en alcanzar a su amiga?
Dos barcos salen a la vez desde dos puertos que distan $120\ \text{km}$, navegando uno hacia el otro a $25\ \text{km/h}$ y $15\ \text{km/h}$. a) ¿Cuántos kilómetros se…
Dos barcos salen a la vez desde dos puertos que distan $120\ \text{km}$, navegando uno hacia el otro a $25\ \text{km/h}$ y $15\ \text{km/h}$.
- a) ¿Cuántos kilómetros se acercan entre sí cada hora?
- b) ¿Cuánto tardan en encontrarse?
- c) ¿A qué distancia del primer puerto se produce el encuentro?
De dos estaciones separadas por $240\ \text{km}$ salen a la vez dos trenes, uno de cada estación y uno hacia el otro, a $100\ \text{km/h}$ y $60\ \text{km/h}$, como se…
De dos estaciones separadas por $240\ \text{km}$ salen a la vez dos trenes, uno de cada estación y uno hacia el otro, a $100\ \text{km/h}$ y $60\ \text{km/h}$, como se muestra en la figura.
- a) Escribí la ecuación de la posición de cada tren tomando como origen la primera estación.
- b) Calculá en qué instante y en qué posición se cruzan.
- c) Comprobá el resultado sustituyendo el tiempo en ambas ecuaciones.
En una carrera solidaria, Aitana corre a $4\ \text{m/s}$ y tiene $60\ \text{m}$ de ventaja sobre Bruno, que corre a $6\ \text{m/s}$. La meta está $200\ \text{m}$ por…
En una carrera solidaria, Aitana corre a $4\ \text{m/s}$ y tiene $60\ \text{m}$ de ventaja sobre Bruno, que corre a $6\ \text{m/s}$. La meta está $200\ \text{m}$ por delante de Aitana, como se muestra en la figura.
- a) Escribí la ecuación de la posición de cada corredor, tomando como origen la posición de Bruno.
- b) Calculá en qué instante y en qué posición Bruno alcanza a Aitana.
- c) ¿Logra alcanzarla antes de la meta? Justificalo con los números.
Un ciclista sale de un punto a $6\ \text{m/s}$. Diez segundos después sale del mismo punto y en su mismo sentido un monopatín a $10\ \text{m/s}$. a) Escribí la ecuación…
Un ciclista sale de un punto a $6\ \text{m/s}$. Diez segundos después sale del mismo punto y en su mismo sentido un monopatín a $10\ \text{m/s}$.
- a) Escribí la ecuación de posición de cada móvil tomando $t = 0$ en la salida del monopatín. Recordá que, cuando el monopatín sale, el ciclista ya lleva $10\ \text{s}$ de ventaja.
- b) ¿Cuánto tiempo tarda el monopatín en alcanzar al ciclista?
- c) ¿A qué distancia del punto de salida lo consigue?
Dos móviles describen su movimiento, en unidades del Sistema Internacional, con las ecuaciones $x_A = 3 + 5 \cdot t$ y $x_B = 10 + 5 \cdot t$. Los gráficos $x$-$t$ de…
Dos móviles describen su movimiento, en unidades del Sistema Internacional, con las ecuaciones $x_A = 3 + 5 \cdot t$ y $x_B = 10 + 5 \cdot t$. Los gráficos $x$-$t$ de ambos se muestran en la figura.
- a) Intentá calcular el instante en que se encontrarían igualando las dos ecuaciones y explicá qué ocurre.
- b) ¿Qué distancia los separa en cualquier instante? Demostralo calculando sus posiciones en dos instantes distintos.
- c) Enunciá la condición que deben cumplir las velocidades de dos móviles con MRU para que lleguen a encontrarse.
Volvé al principio: dos ciclistas que salen de lugares distintos se encuentran cuando sus posiciones coinciden, es decir, al resolver $x_1(t) = x_2(t)$.