Radiación del cuerpo negro, cuantos de Planck y efecto Compton
Cuando la resistencia de una estufa eléctrica se enciende, primero no ves nada pero sentís el calor; después se pone roja y, si pudiera calentarse mucho más, pasaría a naranja, amarillo y blanco. ¿Por qué el color depende de la temperatura? A fines del siglo XIX nadie lo podía explicar con la física clásica, y la respuesta obligó a inventar la física cuántica. Al final de la página vamos a volver a esa estufa.
Radiación térmica y cuerpo negro
Todo cuerpo con temperatura mayor que el cero absoluto emite ondas electromagnéticas. A esa emisión la llamamos radiación térmica. A temperatura ambiente es infrarroja (invisible); por eso una cámara térmica «ve» personas en la oscuridad. Al calentar el cuerpo, emite más energía y en frecuencias cada vez más altas.
Para estudiarla, los físicos usan un objeto idealizado: el cuerpo negro, que absorbe toda la radiación que le llega. Un buen modelo es una caja cerrada con un agujero chiquito: la luz que entra rebota adentro y casi no sale. Cuando la caja se calienta, lo que sale por el agujero depende solo de la temperatura, no del material.
Dos hechos experimentales:
-
A mayor temperatura, la energía total emitida es mucho mayor.
-
El color dominante cambia: el máximo de la curva se corre hacia longitudes de onda más cortas.
Un cuerpo negro es un objeto idealizado que absorbe toda la radiación que le llega. Explicá con tus palabras qué significa que un cuerpo negro «emita radiación térmica»…
Un cuerpo negro es un objeto idealizado que absorbe toda la radiación que le llega. Explicá con tus palabras qué significa que un cuerpo negro «emita radiación térmica» y de qué magnitud física depende principalmente el color con el que brilla un cuerpo muy caliente, como el filamento de una estufa eléctrica.
Mateo observa dos hornos de cerámica en un taller de Canelones: uno a $1.000\ \text{K}$ y otro a $1.500\ \text{K}$. Usando la ley de desplazamiento de Wien,…
Mateo observa dos hornos de cerámica en un taller de Canelones: uno a $1.000\ \text{K}$ y otro a $1.500\ \text{K}$. Usando la ley de desplazamiento de Wien, $\lambda_{máx}\, T = 2{,}90 \cdot 10^{-3}\ \text{m K}$:
- a) Calculá la longitud de onda de máxima emisión de cada horno e indicá en qué región del espectro está.
- b) Explicá por qué el horno más caliente se ve de un color más cercano al amarillo-blanco que el otro, aunque en ambos casos el máximo no esté en el visible.
- c) Explicá por qué el modelo clásico no puede reproducir la forma de la curva de emisión y cómo lo resuelve la hipótesis de Planck.
La catástrofe ultravioleta
La física clásica trataba la radiación dentro de la caja como ondas estacionarias. Había más modos posibles de vibración a frecuencias altas, y cada modo debía recibir la misma energía. El resultado: la energía emitida crecería sin límite al aumentar la frecuencia. Una estufa encendida nos «freiría» con ultravioleta y rayos X. Eso es absurdo, y no coincidía con las curvas medidas, que caen a cero en las frecuencias altas. Se la llamó catástrofe ultravioleta.
En 1900, Max Planck propuso una salida: la energía no se intercambia de forma continua, sino en paquetes. Un oscilador de frecuencia $f$ solo puede emitir o absorber energía en múltiplos enteros de un cuanto.
¿Por qué esto evita la catástrofe? Para frecuencias altas, un cuanto $hf$ es enorme. A temperatura finita, la agitación térmica casi nunca tiene energía suficiente para crear uno, así que esos modos casi no se excitan y la curva cae. Planck lo introdujo como un truco matemático; Einstein, en 1905, mostró que la luz misma viaja en cuantos: los fotones.
La física clásica predecía que un cuerpo negro debía emitir una cantidad de energía que crecía sin límite a medida que aumentaba la frecuencia (la llamada «catástrofe…
La física clásica predecía que un cuerpo negro debía emitir una cantidad de energía que crecía sin límite a medida que aumentaba la frecuencia (la llamada «catástrofe ultravioleta»). Indicá qué suposición introdujo Planck para resolver esta contradicción y escribí la expresión que relaciona la energía de un cuanto con su frecuencia.
Energía del fotón y cantidad de fotones
Como $c = \lambda \cdot f$, la energía del fotón también se escribe
$$E = \frac{h\,c}{\lambda}$$Fotones de longitud de onda corta (azul, ultravioleta) son más energéticos que los de longitud de onda larga (rojo). En física atómica se usa mucho el electronvoltio: $1\ \text{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.
La potencia de una fuente es energía por segundo. Si cada fotón tiene energía $E$ y la fuente emite $N$ fotones por segundo:
$$P = N \cdot E \quad\Rightarrow\quad N = \frac{P}{E}$$Un fotón de luz tiene frecuencia $f = 6{,}0 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}$. Usando la constante de Planck $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J s}$, calculá la energía de ese…
Un fotón de luz tiene frecuencia $f = 6{,}0 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}$. Usando la constante de Planck $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J s}$, calculá la energía de ese fotón en joules.
Un puntero láser emite luz de longitud de onda $\lambda = 650\ \text{nm}$ con una potencia de $5{,}0\ \text{mW}$. Con $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ y…
Un puntero láser emite luz de longitud de onda $\lambda = 650\ \text{nm}$ con una potencia de $5{,}0\ \text{mW}$. Con $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ y $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J s}$:
- a) Calculá la energía de cada fotón.
- b) Estimá cuántos fotones emite el puntero por segundo.
Medir h con LED
Un LED emite luz cuando los electrones pasan de un lado al otro de una unión semiconductora. Un electrón que atraviesa una tensión $V$ gana energía $eV$. En el umbral de encendido, esa energía se convierte en un fotón:
$$e\,V = h f = \frac{h\,c}{\lambda} \quad\Rightarrow\quad h = \frac{e\,V\,\lambda}{c}$$Si graficás $V$ en función de $1/\lambda$, los puntos quedan sobre una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es $hc/e$. Es una forma sencilla de verificar que la energía del fotón depende solo de su color.
Valentina quiere determinar experimentalmente la constante de Planck con LED de distintos colores. Mide la tensión mínima $V$ a partir de la cual cada LED empieza a…
Valentina quiere determinar experimentalmente la constante de Planck con LED de distintos colores. Mide la tensión mínima $V$ a partir de la cual cada LED empieza a encender y registra su longitud de onda $\lambda$:
| LED | $\lambda$ (nm) | $V$ (V) |
|---|---|---|
| Rojo | 630 | 1,95 |
| Verde | 530 | 2,35 |
| Azul | 470 | 2,65 |
Suponé que la energía de un electrón al atravesar la tensión, $eV$, es igual a la energía del fotón emitido. Con $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$ y $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calculá $h$ usando los datos del LED azul y comparalo con el valor aceptado $6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J s}$.
Efecto Compton
En 1923, Arthur Compton hizo incidir rayos X sobre un blanco de grafito. La radiación dispersada tenía, además de la longitud de onda original, otra mayor. Un modelo ondulatorio clásico predice que la onda dispersada tiene la misma longitud de onda que la incidente. Compton lo explicó tratando al fotón como una partícula con energía $hf$ y cantidad de movimiento $p = h/\lambda$ que choca con un electrón casi en reposo.
En la colisión valen la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento. El electrón sale con energía cinética, que sale del fotón; el fotón queda con menos energía, es decir, con mayor longitud de onda.
El corrimiento es máximo a $\theta = 180^\circ$ y nulo a $0^\circ$. Solo se nota con rayos X (λ del orden de $10^{-11}$ m): con luz visible, $\Delta\lambda$ es despreciable frente a $\lambda$.
En un experimento de efecto Compton, un fotón de rayos X choca con un electrón en reposo y sale dispersado con una longitud de onda mayor que la inicial. Explicá, usando…
En un experimento de efecto Compton, un fotón de rayos X choca con un electrón en reposo y sale dispersado con una longitud de onda mayor que la inicial. Explicá, usando conservación de la energía y el modelo de fotón, por qué aumenta la longitud de onda. Indicá además qué le ocurre al electrón en la colisión.
El corrimiento Compton está dado por $\Delta\lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$, donde $\theta$ es el ángulo de dispersión del fotón. Con…
El corrimiento Compton está dado por $\Delta\lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$, donde $\theta$ es el ángulo de dispersión del fotón. Con $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J s}$, $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$ y $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$:
- a) Calculá $\Delta\lambda$ para $\theta = 90^\circ$.
- b) Un fotón incidente tiene $\lambda = 0{,}0500\ \text{nm}$ y se dispersa a $90^\circ$. Calculá la longitud de onda y la energía del fotón dispersado, y la energía cinética que gana el electrón.
- c) Explicá por qué el efecto Compton no se puede explicar con un modelo ondulatorio clásico de la luz.
Resumen
Volvé al principio: la resistencia de la estufa cambia de color porque, al subir $T$, el máximo de su emisión se corre hacia longitudes de onda menores; y esa forma de la curva solo se explica si la energía se emite en cuantos.