El principio de incertidumbre

En $1927$, Heisenberg enunció el principio de incertidumbre.

1. a) Enunciálo con tus palabras.
2. b) ¿Qué par de magnitudes relaciona? Escribí su expresión matemática.
3. c) Explicá qué significan $\Delta x$ y $\Delta p$ en esa expresión: ¿qué representa cada incertidumbre?

Un compañero afirma: «El principio de incertidumbre se debe a que nuestros instrumentos de medida son imperfectos; con aparatos mejores desaparecería».

1. a) Explicá si esa afirmación es correcta: ¿es el principio una limitación tecnológica o una propiedad intrínseca de la naturaleza?
2. b) Señalá la diferencia entre la incertidumbre cuántica $\Delta x$ y el error de medida ordinario de una regla o de un cronómetro.

Partí de la expresión $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ y razoná sin calculadora:

1. a) Si la incertidumbre en la posición se reduce a la mitad, ¿qué le pasa a la incertidumbre mínima del momento?
2. b) ¿Y si $\Delta x$ se multiplica por diez?
3. c) Resumí la relación entre ambas incertidumbres: ¿pueden ser las dos arbitrariamente pequeñas a la vez?

Heisenberg imaginó un microscopio capaz de localizar un electrón: para «verlo» con una resolución $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ hay que iluminarlo con fotones de longitud de onda comparable, $\lambda = 10^{-10}\ \text{m}$, cuyo momento es $p_{fotón} = \frac{h}{\lambda}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. Observá el esquema del experimento mental:

1. a) Calculá el momento del fotón utilizado.
2. b) Si en el choque el fotón cede al electrón un momento de ese orden, calculá la incertidumbre en la velocidad que se induce en el electrón.
3. c) Explicá la idea del experimento mental: cuanto mejor se mide la posición, más se perturba el momento. Matizá después que el principio de incertidumbre es aún más profundo que una simple perturbación de la medida: ¿qué afirma sobre la naturaleza de la partícula antes de medirla?

Reto del tema. ¿Cómo se manifiesta la cuántica en tu entorno cotidiano? Investigá la dualidad onda-corpúsculo y el límite cuántico analizando un dispositivo solar y un patrón óptico casero.

1. Medida casera y dualidad: Proyectá la luz de un puntero láser de baja potencia (nunca lo dirijas a los ojos ni a superficies reflectantes) sobre un cabello fijado verticalmente frente a una pared situada a una distancia $L$ que medirás con incertidumbre $\pm 0,01\text{ m}$ (empezá en $L \approx 1,50\text{ m}$). Medí con una regla el ancho del máximo central (distancia entre los dos mínimos de primer orden) para 4 distancias $L$ distintas, elaborá una tabla con incertidumbres y graficá los datos para deducir, conocido el grosor $a$ del cabello (medilo o estimalo con su incertidumbre), la longitud de onda $\lambda$ y el momento lineal del fotón ($p = h/\lambda$). Justificá qué masa debería tener una partícula con esa misma longitud de onda según De Broglie, en función de su velocidad $v$ (no relativista).

2. Efecto fotoeléctrico: Medí la superficie de una pequeña placa o calculadora solar. Consultá en el INUMET la radiación global de tu zona ($W/\text{m}^2$) y, suponiendo una energía media de los fotones solares de $\approx 1,5\text{--}2\text{ eV}$, estimá cuántos fotones por segundo superan la energía umbral del silicio ($W_0 = 1,12\text{ eV}$) para liberar electrones.

3. Principio de incertidumbre: Asumí el grosor del cabello como la indeterminación en la posición del fotón ($\Delta x$). Aplicá $\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \hbar/2$ para calcular la indeterminación teórica de su momento y reflexioná sobre por qué este efecto no se aprecia a escala macroscópica.

4. Producto final: Presentá un informe breve (dos páginas) con tabla, gráfica, cálculos y conclusiones.

Se valorará:

• Rigor en la medición experimental casera, tratamiento de incertidumbres y representación gráfica.

• Corrección analítica en la aplicación de las leyes de De Broglie, Einstein y Heisenberg.

• Uso e interpretación de los datos reales de radiación solar.

Un electrón está confinado en una región de tamaño $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ (el tamaño de un átomo). El principio de incertidumbre establece $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$, con $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calculá la incertidumbre mínima de su momento lineal, $\Delta p$.
2. b) Si el electrón estuviera confinado en una región diez veces menor, $\Delta x = 10^{-11}\ \text{m}$, ¿cuánto valdría $\Delta p$? Razoná la proporcionalidad.

En un experimento, el momento lineal de un protón se conoce con una incertidumbre $\Delta p = 10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Despejá $\Delta x$ de la expresión $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ y calculá la incertidumbre mínima de su posición.
2. b) Compará ese tamaño con el de un átomo ($10^{-10}\ \text{m}$): ¿está el protón mejor o peor localizado que el tamaño de un átomo?

Un electrón tiene una incertidumbre en su momento lineal de $\Delta p = 5,3\cdot10^{-25}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Dato: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá la incertidumbre en su velocidad, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
2. b) Compará el resultado con la velocidad típica de un electrón en un átomo, del orden de $10^{6}\ \text{m/s}$ (dato), y comentá qué implica esa comparación.

Un electrón está confinado en un átomo, de tamaño $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá la incertidumbre mínima de su momento lineal, $\Delta p$.
2. b) Calculá la incertidumbre en su velocidad, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
3. c) La velocidad típica del electrón en el átomo es del orden de $10^{6}\ \text{m/s}$ (dato): compará $\Delta v$ con esa velocidad y explicá por qué no tiene sentido asignar al electrón una órbita precisa.

En un acelerador, un protón se mueve a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, velocidad medida con una incertidumbre $\Delta v = 10^{4}\ \text{m/s}$. Datos: $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ y $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calculá el momento lineal del protón, $p = m_p\cdot v$.
2. b) Calculá la incertidumbre del momento, $\Delta p = m_p\cdot\Delta v$.
3. c) Aplicá el principio de incertidumbre y calculá la incertidumbre mínima de su posición.
4. d) Calculá la incertidumbre relativa $\frac{\Delta v}{v}$ en porcentaje.

En nanotecnología se confinan electrones en «cajas cuánticas» de distinto tamaño. Considerá dos casos: caja A, con $\Delta x_A = 1\ \text{nm}$, y caja B, con $\Delta x_B = 0,1\ \text{nm}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. La figura compara las dos cajas.

1. a) Calculá la incertidumbre mínima del momento lineal en cada caja.
2. b) Calculá el cociente $\frac{\Delta p_B}{\Delta p_A}$.
3. c) Explicá, a partir de la fórmula del principio de incertidumbre, la relación inversa entre el tamaño del confinamiento y la incertidumbre del momento.

Un electrón y un protón están confinados cada uno en una región del mismo tamaño, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ y $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor incertidumbre mínima en el momento lineal? Justificalo mirando la fórmula: ¿aparece la masa en ella?
2. b) Calculá la incertidumbre en la velocidad de cada partícula.
3. c) Explicá por qué la masa no influye en $\Delta p$ pero sí en $\Delta v$, y qué consecuencia tiene eso para la partícula más pesada.

En un chip moderno, un electrón queda confinado en un transistor de $10\ \text{nm}$ de anchura. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá la incertidumbre mínima de su momento lineal.
2. b) Calculá la incertidumbre de su velocidad.
3. c) Si la industria reduce la escala del transistor a $1\ \text{nm}$, ¿qué le ocurre a $\Delta v$? Comentá qué reto supone esto para la miniaturización de la electrónica.

Una pelota de fútbol se mueve por la cancha y, en principio, también está sometida al principio de incertidumbre.

1. a) Explicá, apoyándote en el valor de $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, por qué el principio no tiene consecuencias prácticas en los objetos cotidianos.
2. b) ¿Qué dos características de los objetos macroscópicos (masa y tamaño) hacen que las incertidumbres cuánticas sean despreciables frente a las medidas ordinarias?

Una bala de $10\ \text{g}$ atraviesa un detector que determina su posición con una incertidumbre $\Delta x = 10^{-5}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calculá la incertidumbre mínima del momento lineal de la bala.
2. b) Calculá la incertidumbre de su velocidad.
3. c) La bala lleva una velocidad de $400\ \text{m/s}$: calculá el cociente $\frac{\Delta v}{v}$ y concluí si la incertidumbre cuántica es apreciable en esta medida.

Un grano de polvo de masa $10^{-6}\ \text{kg}$ se observa con un microscopio que determina su posición con una incertidumbre $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calculá la incertidumbre mínima de su momento lineal.
2. b) Calculá la incertidumbre de su velocidad.
3. c) El grano se mueve a $10^{-3}\ \text{m/s}$: razoná si la incertidumbre cuántica tiene alguna relevancia para describir su movimiento.

Confinamos en la misma región, $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$, una mota de polvo de $10^{-15}\ \text{kg}$ y un electrón. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá la incertidumbre mínima del momento lineal: ¿es la misma para ambos? Justificalo.
2. b) Calculá la incertidumbre de la velocidad de la mota de polvo y la del electrón.
3. c) Razoná, a la vista de los resultados, qué magnitud decide si los efectos cuánticos son relevantes para un objeto: su tamaño de confinamiento, su masa o ambas.
4. d) Extrapolá: explicá por qué ningún experimento de laboratorio ha observado jamás incertidumbre cuántica apreciable en objetos visibles a simple vista.

Imaginá un universo donde la constante de Planck fuera mucho mayor. En este ejercicio trabajaremos con una pelota de $0,15\ \text{kg}$ localizada con una incertidumbre $\Delta x = 10^{-3}\ \text{m}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calculá, con el valor real de $h$, la incertidumbre mínima de la velocidad de la pelota.
2. b) Despejá $h$ de la expresión del principio de incertidumbre y calculá qué valor debería tener para que, con el mismo $\Delta x$, la incertidumbre de la velocidad fuera apreciable, por ejemplo $\Delta v = 0,01\ \text{m/s}$.
3. c) ¿Cuántos órdenes de magnitud mayor que la constante real sería ese valor?
4. d) Imaginá las consecuencias en ese universo: describí razonadamente cómo cambiaría el movimiento de los objetos cotidianos si el principio de incertidumbre se notara a escala humana.

En mecánica clásica, una partícula sigue una trayectoria: en cada instante tiene una posición y una velocidad exactas. En mecánica cuántica se habla de probabilidades y de orbitales.

1. a) Explicá, usando el principio de incertidumbre, por qué el concepto de trayectoria exacta pierde sentido para un electrón.
2. b) ¿Qué información da un orbital sobre el electrón, en lugar de su trayectoria?
3. c) Relacioná lo anterior con el paso del modelo de Bohr (órbitas) al modelo cuántico actual (orbitales).

Antes de descubrirse el neutrón se pensó que el núcleo podía contener electrones. Comprobá con el principio de incertidumbre qué pasaría si un electrón estuviera confinado en un núcleo de tamaño $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ y $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calculá la incertidumbre mínima del momento lineal del electrón.
2. b) Calculá la incertidumbre de su velocidad.
3. c) Compará $\Delta v$ con la velocidad de la luz y extraé la conclusión: ¿puede un electrón estar confinado de forma estable en el núcleo?

El modelo de Bohr dibuja el electrón en una órbita circular de radio $r = 5,3\cdot10^{-11}\ \text{m}$. Supongamos que quisiéramos seguir esa trayectoria conociendo su posición con una incertidumbre del $10\%$ del radio, $\Delta x = 5,3\cdot10^{-12}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. La figura muestra la órbita con la incertidumbre supuesta.

1. a) Calculá la incertidumbre mínima del momento lineal que impone el principio de incertidumbre.
2. b) Calculá la incertidumbre en la velocidad.
3. c) La velocidad del electrón en la primera órbita de Bohr es $2,2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ (dato): comparala con $\Delta v$ y concluí si la imagen de una órbita exacta es compatible con la mecánica cuántica.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El principio de incertidumbre permite estimar la energía mínima de una partícula confinada: si el momento es del orden de $\Delta p$, su energía cinética es del orden de $E_c \approx \frac{\Delta p^2}{2\cdot m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Estimá la energía cinética mínima de un electrón confinado en un átomo, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$, y expresala en electronvoltios. Compará con las energías típicas de los enlaces químicos, de unos pocos electronvoltios (dato).
2. b) Estimá la energía cinética mínima de un protón confinado en un núcleo, $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$, y expresala en $\text{MeV}$ ($1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Concluí: explicá cómo el principio de incertidumbre justifica que las energías de los procesos nucleares sean millones de veces mayores que las de los procesos atómicos.

Un alumno escribe en un escrito: «Con un instrumento de medida perfecto podría conocer simultáneamente la posición y el momento de un electrón con la precisión que quisiera; el principio de incertidumbre solo refleja la mala calidad de los aparatos actuales». Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Señalá el error conceptual de la afirmación y corregila.
2. b) Apoyate en números: si el «instrumento perfecto» mejora la medida de posición desde $\Delta x = 10^{-9}\ \text{m}$ hasta $\Delta x = 10^{-12}\ \text{m}$, calculá en qué factor aumenta la incertidumbre mínima del momento.
3. c) ¿Existe algún valor de $\Delta x$ para el que $\Delta p$ deje de crecer o pueda hacerse cero? Razoná la respuesta a partir de la expresión $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$.

Un haz de electrones con velocidad $v = 10^{7}\ \text{m/s}$ atraviesa una rendija estrecha de anchura $\Delta y = 10^{-7}\ \text{m}$. Al pasar, la posición vertical de cada electrón queda determinada con esa incertidumbre, lo que abre el haz. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. La figura muestra la geometría del montaje.

1. a) Calculá la incertidumbre mínima de la componente vertical del momento, $\Delta p_y$.
2. b) Calculá el momento lineal del electrón, $p = m_e\cdot v$, y estimá el ángulo de apertura del haz, $\theta \approx \frac{\Delta p_y}{p}$, en radianes.
3. c) Estimá la anchura del haz en una pantalla situada a $L = 1\ \text{m}$, como $2\cdot L\cdot\theta$, y expresala en milímetros.
4. d) Predecí qué ocurre si la rendija se estrecha a $10^{-8}\ \text{m}$ y relacioná este resultado con la difracción: ¿por qué una abertura menor dispersa más el haz?

La mecánica de Newton es determinista: si en un instante se conocen con exactitud la posición y el momento de todas las partículas de un sistema, las ecuaciones del movimiento predicen todo su futuro. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Usá el principio de incertidumbre para argumentar que ese «estado inicial exacto» no puede existir: calculá la incertidumbre mínima del momento de un electrón cuya posición se conociera con $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ y la correspondiente incertidumbre en su velocidad.
2. b) Si no se puede conocer el estado inicial con exactitud, ¿qué clase de predicciones hace la física cuántica sobre el resultado de una medida?
3. c) Explicá por qué la mecánica de Newton, a pesar de todo, funciona tan bien para una pelota, un auto o un planeta, apoyándote en el valor de $h$ y en las masas de esos objetos.