Efectos del campo gravitacional: peso, peso aparente e ingravidez

Un astronauta de $70\ \text{kg}$ está sobre la superficie de la Luna, donde el campo gravitatorio vale $g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá su peso en la Luna.
2. b) Calculá su peso en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) ¿Cuántas veces menos pesa en la Luna? ¿Cambió su masa? Razoná la diferencia entre masa y peso.

El vehículo explorador Perseverance, de $1025\ \text{kg}$, trabaja sobre la superficie de Marte, donde $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá su peso en Marte.
2. b) Calculá cuánto pesaba en la Tierra antes del lanzamiento ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Razoná por qué un vehículo así puede llevar ruedas y suspensiones más livianas en Marte que en la Tierra.

Un satélite de $500\ \text{kg}$ orbita en una región donde el campo gravitatorio terrestre vale $g = 8,7\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él.
2. b) Indicá la dirección y el sentido de esa fuerza.
3. c) Según la ley de acción y reacción, ¿qué fuerza ejerce el satélite sobre la Tierra?

La cima del Everest está a $8848\ \text{m}$ sobre el nivel del mar.

1. a) Calculá el campo gravitatorio en la cima aplicando $g = G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2}$ y suponiendo la Tierra esférica ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Compará el resultado con $9,8\ \text{m/s}^2$: apenas cambia. Explicá a qué se debe.

El módulo de mando del Apolo 11 permaneció en órbita lunar a $110\ \text{km}$ de altura mientras dos astronautas descendían a la superficie.

1. a) Calculá el campo gravitatorio lunar en esa órbita ($M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calculá la fuerza gravitatoria sobre el módulo, de $5500\ \text{kg}$.
3. c) Compará esa fuerza con el peso del módulo en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

Una sonda sale de la Tierra hacia el espacio profundo.

1. a) Calculá a qué altura sobre la superficie el peso de la sonda es la mitad que en el lanzamiento: planteá $G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2} = \frac{g_0}{2}$, observá que $G$ y $M_T$ se cancelan, y despejá $h$ en función de $R_T$ ($R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$).
2. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra el peso sería la décima parte?
3. c) Expresá ambos resultados en radios terrestres y comentá qué implica la rapidez con que decrece el campo sobre la validez de tomar $g$ constante en los problemas de proyectiles.

Para alturas pequeñas frente al radio terrestre se usa la aproximación $g \approx g_0\cdot\left(1 - \frac{2\cdot h}{R_T}\right)$, que proviene de $(1 + x)^{-2} \approx 1 - 2\cdot x$ cuando $x \ll 1$.

1. a) Partiendo de $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$, justificá esa aproximación.
2. b) Aplicala a la cima del Everest ($h = 8848\ \text{m}$, $g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$) y compará con el cálculo exacto.
3. c) Estimá a partir de qué altura el error de la aproximación supera el 1 % (pista: el término despreciado es del orden de $3\cdot x^2$) y decidí si la aproximación sirve para la órbita de la Estación Espacial ($h = 400\ \text{km}$).

Un reloj de péndulo se calibra a nivel del mar, donde su período es $T_0 = 2,00\ \text{s}$ con $g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, y se sube después a la cima del Everest, donde $g = 9,78\ \text{m/s}^2$. El período de un péndulo simple es $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{L}{g}}$.

1. a) Sin cambiar la longitud del péndulo, razoná si el reloj se adelanta o se atrasa en la cima.
2. b) Calculá el nuevo período.
3. c) Calculá cuánto se atrasa el reloj en un día completo.

En el interior de un planeta de densidad uniforme, el campo gravitatorio crece linealmente con la distancia al centro, de modo que a una profundidad $d$ vale $g = g_0\cdot\left(1 - \frac{d}{R_T}\right)$. La gráfica muestra cómo varía $g$ con la distancia $r$ al centro:

1. a) Calculá $g$ a $3000\ \text{m}$ de profundidad, en el fondo de una mina ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calculá el peso allí de un ascensor de mina cargado, de $800\ \text{kg}$, y la diferencia con su peso en superficie.
3. c) Al subir $3000\ \text{m}$ de altura, la variación relativa de $g$ es el doble que al bajar $3000\ \text{m}$: comprobalo con la aproximación $g \approx g_0\cdot\left(1 - \frac{2\cdot h}{R_T}\right)$ y explicá físicamente por qué al bajar el efecto es menor (pensá en la masa que queda «por encima»).

Una persona está de pie sobre una balanza dentro de un ascensor.

1. a) Con el ascensor en reposo, la balanza marca $700\ \text{N}$: ¿cuánto vale el peso de la persona?
2. b) El ascensor arranca y acelera hacia arriba: razoná si la balanza marcará más, menos o lo mismo, ayudándote de un dibujo de fuerzas en tu cuaderno.
3. c) ¿Y si el ascensor baja frenando, es decir, acelerando también hacia arriba? Justificá la respuesta.

Una persona de $60\ \text{kg}$ se pesa con una balanza dentro de un ascensor ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) El ascensor sube con aceleración constante de $2,0\ \text{m/s}^2$: dibujá las fuerzas en tu cuaderno, aplicá $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ y calculá lo que marca la balanza (la fuerza normal).
2. b) Repetí el cálculo cuando el ascensor baja con aceleración de $2,0\ \text{m/s}^2$.
3. c) ¿En qué caso se siente la persona más pesada? ¿Coincide con lo que notás en los viajes en ascensor?

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una persona de $70\ \text{kg}$ viaja en un ascensor de pie sobre una balanza ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El viaje de subida tiene tres tramos: arranque con aceleración de $1,5\ \text{m/s}^2$ hacia arriba, tramo central a velocidad constante y frenado final con aceleración de $1,5\ \text{m/s}^2$ dirigida hacia abajo.

1. a) Calculá la lectura de la balanza en cada uno de los tres tramos.
2. b) Dibujá en tu cuaderno el gráfico de la lectura en función del tiempo y señalá en qué tramo la persona se siente más pesada y en cuál más ligera.
3. c) ¿Qué marcaría la balanza durante todo el viaje si el cable se rompiese justo al arrancar? Justificalo.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En los videos de la Estación Espacial Internacional los astronautas «flotan». Sin embargo, a los $400\ \text{km}$ de altura a los que orbitan, el campo gravitatorio terrestre vale unos $8,7\ \text{m/s}^2$, casi como en la superficie.

1. a) Explicá por qué se dice que los astronautas y la estación están en «caída libre» permanente alrededor de la Tierra.
2. b) Razoná por qué, en esas condiciones, el peso aparente dentro de la estación es nulo aunque el peso real no lo sea.

La Estación Espacial Internacional orbita a $400\ \text{km}$ sobre la superficie terrestre.

1. a) Calculá el campo gravitatorio terrestre a esa altura ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calculá la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre un astronauta de $75\ \text{kg}$ dentro de la estación.
3. c) Si la Tierra tira de él con esa fuerza, ¿por qué el astronauta flota dentro de la estación? Dá una explicación detallada usando los conceptos de caída libre y peso aparente.

Los aviones de vuelos parabólicos se emplean para entrenar astronautas y ensayar experimentos médicos en ingravidez. El esquema muestra un perfil de vuelo de este tipo:

1. a) Explicá cómo debe moverse el avión durante la parábola para que los pasajeros tengan peso aparente nulo: ¿cuánto debe valer su aceleración?
2. b) ¿Cuánto vale el peso aparente de una investigadora de $65\ \text{kg}$ durante la fase de ingravidez? ¿Y su peso real ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) ¿Por qué creés que la medicina espacial utiliza estos vuelos antes de enviar sus experimentos a la Estación Espacial?

El módulo de ascenso del Apolo 11, de $4700\ \text{kg}$, despegó de la superficie lunar ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calculá el empuje mínimo que tuvo que dar su motor para elevarse verticalmente con una aceleración de $2,0\ \text{m/s}^2$ (aplicá $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ en la vertical).
2. b) Calculá el empuje que haría falta para realizar la misma maniobra desde la superficie terrestre ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) A la vista de los dos resultados, explicá por qué el módulo lunar pudo despegar con un motor pequeño mientras que el cohete Saturno V necesitó un empuje de $3,4\cdot10^{7}\ \text{N}$.

Un astronauta entrena saltos verticales con una velocidad inicial de $3,0\ \text{m/s}$.

1. a) Calculá la altura máxima que alcanzaría en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$) usando $h = \frac{v_0^2}{2\cdot g}$.
2. b) Calculá la altura máxima en la Luna ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).
3. c) Calculá el tiempo total de vuelo (subida y bajada) en ambos lugares con $t = \frac{2\cdot v_0}{g}$.
4. d) Razoná, a partir de las dos fórmulas, por qué tanto la altura como el tiempo de vuelo se multiplican por el mismo factor al cambiar de planeta, y calculá ese factor.

En una torre de caída de un parque de diversiones, la cabina con una pasajera de $60\ \text{kg}$ cae libremente durante $2,0\ \text{s}$ y después frena con aceleración constante hasta detenerse ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) ¿Cuánto vale el peso aparente de la pasajera durante la caída libre? Justificalo.
2. b) La frenada se realiza con una aceleración de módulo $2\cdot g$ dirigida hacia arriba: calculá el peso aparente en esa fase y comparalo con el peso real.
3. c) Calculá la velocidad al final de la caída libre y la distancia recorrida durante la frenada.