Espectros atómicos y átomo de hidrógeno
Una lámpara incandescente y un letrero de neón alumbran, pero si miramos su luz a través de un prisma, vemos cosas muy distintas: la primera da todos los colores del arcoíris; el segundo, unas pocas rayas brillantes. ¿Por qué un gas solo emite ciertos colores? ¿Y cómo se puede saber de qué está hecha una estrella a millones de kilómetros? Al final de la página volvemos a esta pregunta.
Espectro continuo y espectro de líneas
Al descomponer la luz con un prisma o una red de difracción, obtenemos su espectro. Hay tres casos:
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Continuo: todos los colores, sin saltos. Lo emiten los sólidos y líquidos calientes (el filamento de una lamparita incandescente, el Sol visto en conjunto).
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De emisión de líneas: unas pocas rayas brillantes sobre fondo oscuro. Lo emite un gas a baja presión excitado (por una descarga eléctrica o por calor).
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De absorción: espectro continuo cruzado por rayas oscuras. Aparece cuando la luz continua atraviesa un gas más frío: el gas absorbe justo las longitudes de onda que emitiría.
Diferenciá un espectro continuo de un espectro de líneas. Indicá cuál de los dos emite una lámpara incandescente y cuál emite un gas de hidrógeno a baja presión excitado…
Diferenciá un espectro continuo de un espectro de líneas. Indicá cuál de los dos emite una lámpara incandescente y cuál emite un gas de hidrógeno a baja presión excitado por una descarga eléctrica.
Niveles de energía: el modelo de Bohr
La física clásica no podía explicar las líneas: un electrón orbitando debería irradiar de forma continua y caer al núcleo. En 1913 Bohr propuso un modelo para el hidrógeno con estas ideas:
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El electrón solo puede estar en ciertos estados estables, de energía bien definida: los niveles de energía. No irradia mientras permanece en uno.
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Los niveles están cuantizados: se numeran con $n = 1, 2, 3, \dots$
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El electrón cambia de nivel absorbiendo o emitiendo un fotón cuya energía es exactamente la diferencia entre los niveles.
¿Por qué $1/n^2$? Es el resultado de cuantizar el movimiento del electrón en el campo de Coulomb del protón; a vos te alcanza usar la fórmula. Observá que los niveles se van juntando a medida que $n$ crece.
Ejemplo: la energía en los primeros niveles.
En el modelo de Bohr, los niveles de energía del átomo de hidrógeno son $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$. Calculá la energía del electrón en los niveles $n = 1$,…
En el modelo de Bohr, los niveles de energía del átomo de hidrógeno son $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$. Calculá la energía del electrón en los niveles $n = 1$, $n = 2$ y $n = 3$.
Fotones emitidos y absorbidos
Cuando el electrón baja de un nivel $n_i$ a uno $n_f$ ($n_i > n_f$), el átomo emite un fotón:
Para absorber, el fotón debe tener justo la energía $E_f - E_i$ para subir. Si no coincide con ninguna diferencia entre niveles, el átomo no lo absorbe (el electrón no puede quedar «entre» niveles).
Un electrón de un átomo de hidrógeno pasa del nivel $n = 3$ al nivel $n = 2$. Con $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$,…
Un electrón de un átomo de hidrógeno pasa del nivel $n = 3$ al nivel $n = 2$. Con $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$, $1\ \text{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$, $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J s}$ y $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$:
- a) Calculá la energía del fotón emitido.
- b) Calculá su longitud de onda e indicá si pertenece a la región visible (entre unos $400\ \text{nm}$ y $700\ \text{nm}$).
Un átomo de hidrógeno en su estado fundamental ($n = 1$) absorbe un fotón y pasa al nivel $n = 3$. a) Calculá la energía que debe tener el fotón, en eV. b) Explicá por…
Un átomo de hidrógeno en su estado fundamental ($n = 1$) absorbe un fotón y pasa al nivel $n = 3$.
- a) Calculá la energía que debe tener el fotón, en eV.
- b) Explicá por qué un fotón de $11{,}0\ \text{eV}$ no puede ser absorbido por ese átomo para producir una transición entre niveles.
Series espectrales y fórmula de Balmer–Rydberg
Antes de Bohr, Balmer y Rydberg habían encontrado una fórmula empírica para las longitudes de onda del hidrógeno:
$$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right),\qquad R = 1{,}097 \cdot 10^{7}\ \text{m}^{-1}$$El modelo de Bohr la explica: sale de $E_i - E_f = hc/\lambda$ con los niveles $-13{,}6/n^2$. Según el nivel final se forman series:
| Serie | Nivel final | Región |
|---|---|---|
| Lyman | $n_f = 1$ | ultravioleta |
| Balmer | $n_f = 2$ | visible (y UV cercano) |
| Paschen | $n_f = 3$ | infrarrojo |
La serie de Balmer del hidrógeno corresponde a transiciones que terminan en $n = 2$. Calculá las longitudes de onda de las transiciones $n = 4 \to 2$ y $n = 5 \to 2$…
La serie de Balmer del hidrógeno corresponde a transiciones que terminan en $n = 2$. Calculá las longitudes de onda de las transiciones $n = 4 \to 2$ y $n = 5 \to 2$ usando $\dfrac{1}{\lambda} = R\left(\dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{n^2}\right)$ con $R = 1{,}097 \cdot 10^{7}\ \text{m}^{-1}$. Ordená las dos líneas de menor a mayor energía y justificá el orden.
Un grupo de estudiantes de 3.° de bachillerato analiza el espectro de una lámpara de hidrógeno y mide tres líneas visibles, de longitudes de onda $656\ \text{nm}$,…
Un grupo de estudiantes de 3.° de bachillerato analiza el espectro de una lámpara de hidrógeno y mide tres líneas visibles, de longitudes de onda $656\ \text{nm}$, $486\ \text{nm}$ y $434\ \text{nm}$.
- a) Mostrá que estas tres líneas son compatibles con transiciones hacia $n = 2$, identificando el nivel de partida de cada una. Usá $\dfrac{1}{\lambda} = R\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{n^2}\right)$ con $R = 1{,}097 \cdot 10^{7}\ \text{m}^{-1}$.
- b) Calculá la energía en eV del fotón de $486\ \text{nm}$ y verificá que coincide con la diferencia entre los niveles correspondientes del modelo de Bohr. Usá $hc = 1240\ \text{eV nm}$.
- c) Explicá por qué en el espectro aparecen solo líneas y no una banda continua.
Identificar elementos: huellas digitales de la luz
Cada elemento tiene niveles de energía propios (por su carga nuclear y sus electrones). Por eso las diferencias entre niveles, y entonces las longitudes de onda de sus líneas, son únicas: una huella dactilar del elemento.
Aplicaciones:
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Llamas coloreadas: el sodio da un amarillo intenso (≈ 589 nm); el cobre, verde-azulado. Es el color de los fuegos artificiales.
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Estrellas: el espectro de absorción de la luz estelar tiene rayas de los gases de su atmósfera. Así se supo que el Sol contiene hidrógeno y helio, sin ir nunca allí.
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Análisis en laboratorio: un espectroscopio compara las líneas de una muestra con tablas.
Explicá por qué los átomos de cada elemento emiten un conjunto característico de líneas espectrales y por qué esto permite identificar elementos, por ejemplo en la luz…
Explicá por qué los átomos de cada elemento emiten un conjunto característico de líneas espectrales y por qué esto permite identificar elementos, por ejemplo en la luz de una estrella o en una llama coloreada.
Un láser de helio-neón emite luz roja de $632{,}8\ \text{nm}$ cuando los átomos de neón pasan de un nivel excitado a otro de menor energía. En un laboratorio de un liceo…
Un láser de helio-neón emite luz roja de $632{,}8\ \text{nm}$ cuando los átomos de neón pasan de un nivel excitado a otro de menor energía. En un laboratorio de un liceo de Montevideo se compara este láser con la línea $H_\alpha$ del hidrógeno ($656\ \text{nm}$).
- a) Calculá la energía de los fotones de cada una de las dos radiaciones, en eV, con $hc = 1240\ \text{eV nm}$.
- b) Explicá qué es la emisión estimulada y por qué la luz láser es coherente y de una sola longitud de onda, mientras que la lámpara de hidrógeno emite varias líneas en todas direcciones.
- c) Proponé cómo usarías un espectroscopio para decidir si una muestra desconocida contiene hidrógeno, y qué observarías si así fuera.
Volviendo al principio: el filamento incandescente emite continuo porque es un sólido caliente; el neón emite líneas porque sus átomos solo pueden saltar entre niveles fijos, y cada salto libera un fotón de color preciso. Esos colores permiten identificar los elementos de una estrella.
Resumen
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Sólidos calientes dan espectro continuo; gases excitados, espectro de líneas; un gas frío ante luz continua da líneas de absorción en los mismos lugares.
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Bohr: $E_n = -13{,}6\ \text{eV}/n^2$; el electrón solo ocupa niveles discretos.
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Un salto entre niveles emite o absorbe un fotón con $E = |E_i - E_f| = hc/\lambda$ ($hc = 1240\ \text{eV nm}$).
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Fórmula de Balmer–Rydberg: $1/\lambda = R(1/n_f^2 - 1/n_i^2)$; Balmer termina en $n = 2$ (visible).
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Cada elemento tiene sus líneas: así se identifican en laboratorio, llamas y estrellas.