Contracción de la longitud, dilatación del tiempo y energía relativista

La contracción de la longitud es $L = \frac{L_0}{\gamma}$. Una nave mide $L_0 = 100\ \text{m}$ en reposo y viaja con $\gamma = 2$. ¿Qué longitud mide un observador en la Tierra?

El factor de Lorentz es $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, de donde $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$.

1. a) Calculá la velocidad de una nave que viaja con $\gamma = 2$, expresada como fracción de $c$.
2. b) Expresá esa velocidad en $\text{m/s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

Un fenómeno dura $\Delta t_0 = 10\ \text{s}$ medido en su propio sistema de referencia. Para un observador que lo ve pasar a gran velocidad, el factor de Lorentz vale $\gamma = 2$. Sabiendo que la dilatación del tiempo es $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, ¿cuánto dura el fenómeno para ese observador?

Un astronauta viaja en una nave con $\gamma = 1,25$. Desde la Tierra se mide que el viaje dura $8$ años.

1. a) Usando $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, ¿cuántos años envejece el astronauta?
2. b) Si partió con $30$ años, ¿qué edad tiene al regresar y qué edad tiene su hermano gemelo, que se quedó en la Tierra?

Un muón se crea a $15\ \text{km}$ de altura, viaja a $v = 0,9995c$ con $\gamma = 31,6$ y su vida media propia es $2,2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). La figura compara los dos puntos de vista.

1. a) Calculá su vida media vista desde la Tierra ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$).
2. b) Calculá la distancia media que recorre según la Tierra y concluí si puede llegar a la superficie.
3. c) Desde el punto de vista del muón, su vida es de $2,2\ \mu\text{s}$ pero la atmósfera se contrae: calculá el espesor de atmósfera que atraviesa ($L = \frac{L_0}{\gamma}$) y la distancia que recorre en su vida propia, y comprobá que llegás a la misma conclusión que en b).
4. d) Explicá por qué ambos observadores están de acuerdo en el resultado final (el muón llega al suelo) aunque lo expliquen de forma distinta.

Una varilla tiene una longitud propia de $2\ \text{m}$ y se mueve respecto al laboratorio con $\gamma = 1,25$. Usando $L = \frac{L_0}{\gamma}$, calculá su longitud medida desde el laboratorio.

La contracción de la longitud solo afecta a la dimensión paralela al movimiento. Una nave de $50\ \text{m}$ de largo propio y $20\ \text{m}$ de alto viaja horizontalmente con $\gamma = 1,25$. La figura muestra sus dimensiones propias.

1. a) ¿Qué longitud mide desde la Tierra ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) ¿Qué altura mide desde la Tierra? Justificalo.

Una nave de longitud propia $L_0 = 120\ \text{m}$ viaja con $\gamma = 1,5$.

1. a) ¿Qué longitud mide un observador terrestre ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Si el viaje dura $10$ años para la Tierra, ¿cuánto dura para la tripulación ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) Razoná cuál de los dos observadores mide el tiempo propio del viaje y por qué.

Próxima Centauri, la estrella más cercana al Sol, está a $4,2$ años luz medidos desde la Tierra. Una nave viaja hacia allí con $\gamma = 2$, lo que corresponde a $v = 0,866c$ (se obtiene de $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$). Recordá que un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. El esquema resume el viaje.

1. a) ¿Cuánto dura el viaje para los observadores terrestres?
2. b) ¿Cuánto dura para la tripulación ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) ¿Qué distancia Tierra-estrella mide la tripulación ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
4. d) Comprobá la coherencia de los resultados: la tripulación debe recorrer la distancia contraída del apartado c) a la velocidad $0,866c$ en el tiempo del apartado b). Verificalo numéricamente.

Una nave de longitud propia $100\ \text{m}$ atraviesa una estación espacial con $\gamma = 7,09$. La estación dispone de un hangar de $15\ \text{m}$. El esquema representa la situación.

1. a) ¿Qué longitud mide el personal de la estación para la nave ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)? ¿Cabe la nave entera dentro del hangar, aunque sea durante un instante, según ellos?
2. b) Para el piloto es la estación la que se mueve: ¿qué longitud mide el piloto para el hangar? ¿Cabe la nave según él?
3. c) La contradicción aparente se disuelve porque «la nave está entera dentro a la vez» no significa lo mismo para ambos observadores. Nombrá y explicá el concepto relativista que resuelve la paradoja.

Una agencia espacial estudia que una nave de $50\ \text{m}$ de longitud propia mida solo $10\ \text{m}$ desde la Tierra.

1. a) ¿Qué factor $\gamma$ hace falta para ello ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Calculá la velocidad correspondiente con $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$ y expresala como fracción de $c$.
3. c) Con ese factor $\gamma$, ¿cuántos años transcurrirían en la Tierra por cada año que envejece la tripulación ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
4. d) Valorá, a la vista de los resultados, qué tendría el viaje interestelar a esas velocidades de ventaja y de problema para la exploración humana.

La energía asociada a una masa en reposo es $E = m \cdot c^2$, con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Calculá la energía correspondiente a $1\ \text{kg}$ de masa y expresala en notación científica.

Calculá la energía de la masa en reposo de un electrón, $m = 9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$, usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Expresá el resultado en notación científica con dos cifras significativas.

Un kilovatio-hora, la unidad de energía de las facturas de electricidad, equivale a $3,6 \cdot 10^{6}\ \text{J}$.

1. a) Usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calculá a qué masa equivale $1\ \text{kW} \cdot \text{h}$ de energía.
2. b) Compará esa masa con la de un grano de arena ($10^{-5}\ \text{kg}$): ¿cuántas veces mayor es el grano de arena? Comentá el resultado.

El Sol radia una potencia de $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convirtiendo parte de su masa en energía.

1. a) Calculá la energía que emite cada segundo.
2. b) Usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calculá la masa que el Sol convierte en energía cada segundo.
3. c) Expresá el resultado en toneladas ($1\ \text{t} = 10^{3}\ \text{kg}$).

Un kilogramo de nafta libera al quemarse $4,6 \cdot 10^{7}\ \text{J}$ ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calculá la energía correspondiente a la masa en reposo de $1\ \text{kg}$ según $E = m \cdot c^2$.
2. b) ¿A cuántos kilogramos de nafta equivaldría esa energía?
3. c) ¿Qué fracción de su masa en reposo convierte la nafta en energía al arder?
4. d) A la vista del resultado, explicá por qué la equivalencia masa-energía pasa desapercibida en las reacciones químicas y qué tipo de procesos sí convierten una fracción apreciable de masa en energía.

En una tomografía por emisión de positrones (PET), un positrón emitido por un trazador radiactivo se aniquila con un electrón del tejido y toda su masa se convierte en energía, emitida en dos fotones gamma. La masa de cada partícula es $9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). El esquema representa el proceso.

1. a) Calculá la masa total que se aniquila en el evento.
2. b) Calculá la energía liberada ($E = m \cdot c^2$).
3. c) ¿Qué energía lleva cada fotón, si los dos se reparten la energía por igual?
4. d) Explicá por qué la aniquilación materia-antimateria es el proceso de conversión de masa en energía más eficiente posible y compará con la fusión solar, que convierte menos del $1\ \%$ de la masa.