Ejercicios: Funciones lógicas y tablas de verdad

Escribe la tabla de verdad de las tres operaciones básicas del álgebra de Boole ($f = a \cdot b$, $f = a + b$ y $f = \overline{a}$) y pon una frase de la vida cotidiana que se comporte como cada una.

El circuito de la figura combina dos puertas. Escribe la expresión lógica de su salida $f$ en función de las entradas $a$, $b$ y $c$, y razona qué combinaciones de entrada ponen la salida a $1$.

Completa la tabla de verdad de la función $f = a \cdot b + \overline{c}$ para las ocho combinaciones de las entradas $a$, $b$ y $c$, e indica en cuántas de ellas la salida vale $1$.

Escribe la tabla de verdad de la puerta XOR (o exclusiva) y explica su frase característica («la salida es 1 cuando las entradas son diferentes»). Pon un ejemplo cotidiano: el interruptor conmutado de una escalera, donde dos conmutadores encienden la misma luz.

La figura muestra dos montajes con interruptores y una lámpara. Explica qué función lógica realiza cada montaje (serie y paralelo), escribe su tabla de verdad tomando «interruptor cerrado = 1» y «lámpara encendida = 1», y razona por qué los contactos de relés permiten montar cualquier función lógica.

Explica qué es la forma canónica de una función lógica (suma de productos con todas las variables en cada término) y por qué cualquier tabla de verdad tiene una única forma canónica, aunque admita muchas expresiones simplificadas equivalentes.

Verifica razonándolo (sin tablas) estas propiedades del álgebra de Boole: $a + 1 = 1$, $a \cdot 0 = 0$, $a + a = a$, $a \cdot \overline{a} = 0$. ¿Qué significa físicamente cada una si $a$ es un interruptor?

Escribe la tabla de verdad de la puerta NOR y explica cómo se construye a partir de OR y NOT. Indica con una frase cuándo da salida $1$ («solo cuando ninguna entrada está activa»).

Una alarma de una nave se activa ($s = 1$) cuando se abre una puerta ($p = 1$) o se detecta movimiento ($m = 1$), pero solo si el sistema está armado ($a = 1$). Escribe la expresión lógica de $s$, construye su tabla de verdad completa y dibuja el circuito con puertas.

Demuestra con tablas de verdad las leyes de De Morgan: $\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$ y $\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$. Explica con tus palabras qué permiten hacer estas leyes al diseñar circuitos.

De esta tabla de verdad parcial se conocen las salidas: $f(0,0,0) = 0$, $f(0,0,1) = 1$, $f(0,1,0) = 0$, $f(0,1,1) = 1$, $f(1,0,0) = 0$, $f(1,0,1) = 0$, $f(1,1,0) = 1$, $f(1,1,1) = 1$. Obtén la función canónica como suma de productos (minterms) de las combinaciones que dan $1$ y simplifícala aplicando propiedades del álgebra de Boole.

Una puerta de garaje solo se abre ($f = 1$) si se recibe la señal del mando ($m = 1$) y no está puesto el cerrojo manual ($c = 0$), o si se pulsa el botón interior ($b = 1$) sin el cerrojo puesto. Escribe la expresión lógica, construye la tabla de verdad y dibuja el circuito con puertas.

Demuestra la ley de absorción $a + a \cdot b = a$ de dos formas: algebraicamente (sacando factor común) y con la tabla de verdad. Explica qué utilidad práctica tiene al simplificar circuitos: elimina entradas (y cableado) que no cambian el resultado.

Una función de dos variables debe valer $1$ solo cuando las entradas son iguales. Escribe su tabla de verdad, obtén su expresión canónica, simplifícala y explica su relación con la puerta XOR (es su negada: XNOR).

Simplifica $f = \overline{\overline{a} + b}$ aplicando De Morgan y la doble negación, paso a paso, indicando cada ley usada. Después dibuja el circuito original (NOT, OR, NOT) y el simplificado, y cuenta las puertas ahorradas.

Una comisión de tres personas vota a mano alzada; la propuesta sale adelante ($s = 1$) si hay mayoría. Escribe la tabla de verdad completa, obtén la función y simplifícala hasta una suma de tres productos de dos variables. Dibuja el circuito con dos niveles de puertas.

Un semáforo peatonal tiene un botón ($b$) y un sensor de presencia de coches ($c$). El disco verde para peatones ($v = 1$) solo se enciende si se pulsó el botón y no hay coches aproximándose, o si un temporizador interno ($t = 1$) indica cruce programado y tampoco hay coches. Diseña el sistema: tabla de verdad, función lógica simplificada y circuito de puertas.

Una función de tres variables debe dar $1$ cuando el número binario $abc$ (con $a$ como bit más significativo) vale $2$, $3$, $4$ o $5$. Escribe su tabla de verdad, obtén la función como suma de minterms y simplifícala por Boole hasta una expresión con el menor número posible de términos, indicando cada propiedad aplicada.

Solo dispones de puertas NAND de dos entradas. Explica que la puerta NAND es universal (permite construir NOT, AND y OR), dibuja cómo se construye cada una de las tres a partir de NAND y monta con ellas el circuito $f = a \cdot b + c$. ¿Cuántas puertas NAND has necesitado en total?

Diseña un comparador de dos bits $a$ y $b$ con dos salidas: $f_1 = 1$ si $a > b$ y $f_2 = 1$ si $a = b$. Escribe la tabla de verdad, las expresiones simplificadas de cada salida y el circuito completo con puertas.

Diseña un semisumador de dos bits $a$ y $b$ (suma $s$ y acarreo $c$): tabla de verdad aritmética, expresiones lógicas de $s$ y $c$ (identifícalas con puertas conocidas) y circuito. Explica qué le falta para sumar números de varios bits (la entrada de acarreo anterior: el sumador completo).

Diseña un multiplexor de dos entradas de datos $d_0$, $d_1$ y una de selección $s$: cuando $s = 0$ la salida copia $d_0$ y cuando $s = 1$ copia $d_1$. Escribe la tabla de verdad reducida, la expresión lógica y el circuito. Explica para qué sirve un multiplexor en un sistema digital (selección de datos por un único canal).

Un circuito comercial implementa $f = \overline{a} \cdot b + a \cdot \overline{b} + a \cdot b$ con seis puertas. Simplifica la función aplicando que $a \cdot \overline{b} + a \cdot b = a$ (o con un mapa) y rediseña el circuito con el mínimo de puertas. Cuenta puertas y entradas totales antes y después.

La luz de una escalera se gobierna con dos conmutadores (uno abajo, otro arriba): cambiar cualquiera de ellos cambia el estado de la luz. Demuestra que el sistema equivale a una puerta XOR, planteando la tabla de verdad con las posiciones de ambos conmutadores, y explica cómo se cablea en la práctica con dos conmutadores de escalera reales.