Notazione scientifica e cifre significative
La luce viaggia a $300\,000\,000\ \text{m/s}$ e un globulo rosso misura appena $0,000008\ \text{m}$. Scrivere tanti zeri è scomodo e ci si sbaglia facilmente: per questo gli scienziati usano la notazione scientifica, un modo breve di scrivere i numeri molto grandi o molto piccoli. Alla fine della pagina saprai anche perché in un temporale vedi il lampo prima di sentire il tuono.
Numeri molto grandi e molto piccoli
Le potenze di 10 con esponente positivo sono facili: $10^{3} = 1000$, $10^{6} = 1\,000\,000$. L'esponente dice quanti zeri compaiono dopo l'1. Per i numeri molto piccoli si usa l'esponente negativo: $10^{-3} = 0,001$ (un millesimo). Per ora concentrati sui numeri grandi; i numeri piccoli sono un'ampliazione.
La luce viaggia a $300\,000\,000\ \text{m/s}$. Scrivi quella velocità in notazione scientifica.
La luce viaggia a $300\,000\,000\ \text{m/s}$. Scrivi quella velocità in notazione scientifica.
Un globulo rosso misura circa $0,000008\ \text{m}$ di diametro. Esprimi quella lunghezza in notazione scientifica.
Un globulo rosso misura circa $0,000008\ \text{m}$ di diametro. Esprimi quella lunghezza in notazione scientifica.
Un giorno ha $86\,400$ secondi. Scrivilo in notazione scientifica.
Un giorno ha $86\,400$ secondi. Scrivilo in notazione scientifica.
Come scrivere correttamente in notazione scientifica
Scrivi con tutte le sue cifre il numero $4,5\cdot10^{3}$.
Scrivi con tutte le sue cifre il numero $4,5\cdot10^{3}$.
Una portaerei ha una massa di circa $9,7\cdot10^{7}\ \text{kg}$. Scrivi quella massa con tutte le sue cifre.
Una portaerei ha una massa di circa $9,7\cdot10^{7}\ \text{kg}$. Scrivi quella massa con tutte le sue cifre.
Tra questi tre modi di scrivere lo stesso numero, solo uno è una notazione scientifica corretta. Di' quale e spiega che cosa non va negli altri due: a) $25\cdot10^{4}$…
Tra questi tre modi di scrivere lo stesso numero, solo uno è una notazione scientifica corretta. Di' quale e spiega che cosa non va negli altri due:
- a) $25\cdot10^{4}$
- b) $2,5\cdot10^{5}$
- c) $0,25\cdot10^{6}$
Completa gli spazi vuoti: $6\,000 = 6\cdot10^{\dots}$ e $0,003 = 3\cdot10^{\dots}$.
Completa gli spazi vuoti: $6\,000 = 6\cdot10^{\dots}$ e $0,003 = 3\cdot10^{\dots}$.
Confrontare e calcolare con le potenze di 10
Un elefante pesa migliaia di chilogrammi, una formica pochi milligrammi. Come si confrontano rapidamente numeri così diversi? Basta guardare l'esponente.
L'ordine di grandezza
L'ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina a esso. Serve per stimare e confrontare. Se $a$ è minore di $5$, l'ordine di grandezza è $10^{n}$; se $a$ è maggiore o uguale a $5$, è $10^{n+1}$. Per esempio $6\cdot10^{3}$ ha ordine di grandezza $10^{4}$, mentre $2\cdot10^{3}$ ha ordine $10^{3}$. Nota: è una convenzione scolastica semplice, che usa il valore $5$ come soglia (altri testi usano una soglia leggermente diversa, circa $3,16$).
Confrontare gli ordini di grandezza dice «di quante potenze di dieci» differiscono due grandezze: la luce ($10^{8}\ \text{m/s}$) e il suono ($10^{2}\ \text{m/s}$) differiscono di circa sei ordini di grandezza.
Quale è maggiore: $2\cdot10^{5}$ o $3\cdot10^{4}$? Scrivili con tutte le loro cifre e confrontali.
Quale è maggiore: $2\cdot10^{5}$ o $3\cdot10^{4}$? Scrivili con tutte le loro cifre e confrontali.
Ordina dal minore al maggiore questi numeri scritti in notazione scientifica: $3,2\cdot10^{4}$; $9,8\cdot10^{3}$; $1,5\cdot10^{5}$; $4\cdot10^{4}$. Spiega che cosa…
Ordina dal minore al maggiore questi numeri scritti in notazione scientifica: $3,2\cdot10^{4}$; $9,8\cdot10^{3}$; $1,5\cdot10^{5}$; $4\cdot10^{4}$. Spiega che cosa guardi per primo per confrontarli: le cifre davanti o gli esponenti.
La massa di una formica è di circa $3\cdot10^{-3}\ \text{g}$ e quella di un elefante, di circa $6\cdot10^{3}\ \text{kg}$. a) Esprimi la massa dell'elefante in grammi, in…
La massa di una formica è di circa $3\cdot10^{-3}\ \text{g}$ e quella di un elefante, di circa $6\cdot10^{3}\ \text{kg}$. a) Esprimi la massa dell'elefante in grammi, in notazione scientifica. b) Con le due masse già in grammi, quale ha l'esponente maggiore? Quale dei due animali ha più massa?
Quante volte è maggiore $6\cdot10^{8}$ di $2\cdot10^{5}$? Fallo dividendo le potenze di dieci e dai il risultato in notazione scientifica.
Quante volte è maggiore $6\cdot10^{8}$ di $2\cdot10^{5}$? Fallo dividendo le potenze di dieci e dai il risultato in notazione scientifica.
Calcola $(3\cdot10^{4})\cdot(2\cdot10^{3})$ ed esprimi il risultato in notazione scientifica.
Calcola $(3\cdot10^{4})\cdot(2\cdot10^{3})$ ed esprimi il risultato in notazione scientifica.
Cifre significative
Tre compagni misurano la stessa agenda con righelli diversi e scrivono $21\ \text{cm}$, $21,0\ \text{cm}$ e $21,03\ \text{cm}$. Le tre scritture dicono la stessa cosa? No: più cifre scrivi, più dichiari di aver misurato con precisione.
Arrotondare
Per arrotondare a $n$ cifre significative guardi la cifra successiva: se è $5$ o più, aumenti di una unità l'ultima cifra che tieni; se è minore di $5$, la lasci com'è. Per esempio $7,8462$ a due cifre diventa $7,8$ (la cifra dopo è $4$), a tre cifre diventa $7,85$ (la cifra dopo è $6$).
Un risultato non può essere più preciso del dato meno preciso che hai usato. Nelle moltiplicazioni e divisioni tra misure la regola è semplice: il risultato si arrotonda al numero di cifre significative del dato che ne ha di meno. Se moltiplichi un dato con tre cifre significative per uno con due, il risultato si dà con due.
Le cifre significative si vedono bene in notazione scientifica: $2,50\cdot10^{2}\ \text{m}$ ha tre cifre significative, quelle di $2,50$; la potenza di 10 serve solo a collocare la virgola. Per questo si arrotonda così: $47\,615\,034 \approx 4,76\cdot10^{7}$ (tre cifre).
Quante cifre significative ha ciascuna di queste misure? Spiega il criterio che hai seguito in ogni caso. a) $2,50\ \text{cm}$ b) $0,034\ \text{kg}$ c) $1,02\ \text{L}$
Quante cifre significative ha ciascuna di queste misure? Spiega il criterio che hai seguito in ogni caso.
- a) $2,50\ \text{cm}$
- b) $0,034\ \text{kg}$
- c) $1,02\ \text{L}$
La calcolatrice di Vera mostra $7,8462$ come risultato di una misura. Arrotondalo a due cifre significative e poi a tre.
La calcolatrice di Vera mostra $7,8462$ come risultato di una misura. Arrotondalo a due cifre significative e poi a tre.
Con il righello del tuo astuccio misuri lo spessore di una moneta e ottieni $0,2\ \text{cm}$. a) Quante cifre significative ha quella misura? b) Perché non ha senso…
Con il righello del tuo astuccio misuri lo spessore di una moneta e ottieni $0,2\ \text{cm}$. a) Quante cifre significative ha quella misura? b) Perché non ha senso scrivere $0,2000\ \text{cm}$ se il righello segna solo i millimetri?
La popolazione dell'Italia è di circa $47\,615\,034$ abitanti. Scrivila in notazione scientifica arrotondata a tre cifre significative.
La popolazione dell'Italia è di circa $47\,615\,034$ abitanti. Scrivila in notazione scientifica arrotondata a tre cifre significative.
L'insegnante scrive alla lavagna: «massa della Terra: $5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$». a) Quante cifre significative ha quel dato? b) Scrivilo arrotondato a una sola…
L'insegnante scrive alla lavagna: «massa della Terra: $5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$». a) Quante cifre significative ha quel dato? b) Scrivilo arrotondato a una sola cifra significativa. c) Che cosa si perde arrotondando così? Spiega in quali situazioni ha senso farlo.
Ximena calcola la densità di un sasso e la calcolatrice mostra $2,68473\ \text{g/cm}^3$. La bilancia che ha usato misurava con tre cifre significative e il cilindro…
Ximena calcola la densità di un sasso e la calcolatrice mostra $2,68473\ \text{g/cm}^3$. La bilancia che ha usato misurava con tre cifre significative e il cilindro graduato, solo con due. a) Sapendo che un risultato non può essere più preciso del dato meno preciso, con quante cifre significative deve dare Ximena il suo risultato? b) Scrivilo correttamente arrotondato.
Usare la notazione scientifica per stimare
Ora puoi chiudere la domanda iniziale: perché vedi il lampo prima di sentire il tuono? La luce viaggia a $3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, il suono a $3,4\cdot10^{2}\ \text{m/s}$. Il rapporto è circa $\dfrac{3\cdot10^{8}}{3,4\cdot10^{2}} \approx 8,8\cdot10^{5} \approx 9\cdot10^{5}$: la luce è quasi un milione di volte più veloce. Il lampo ti arriva praticamente subito; il tuono, anche da pochi chilometri, impiega alcuni secondi.
Quando devi calcolare con unità diverse, trasforma prima tutto nella stessa unità (per esempio i metri), poi scrivi in notazione scientifica e confronta gli esponenti. Esempio: $1,8\cdot10^{2}\ \text{km} = 1,8\cdot10^{5}\ \text{m}$, perché $1\ \text{km} = 10^{3}\ \text{m}$.
La luce del Sole impiega circa $8\ \text{min}$ e $20\ \text{s}$ ad arrivare sulla Terra. a) Trasforma quel tempo in secondi. b) Con la velocità della luce,…
La luce del Sole impiega circa $8\ \text{min}$ e $20\ \text{s}$ ad arrivare sulla Terra. a) Trasforma quel tempo in secondi. b) Con la velocità della luce, $3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, calcola la distanza del Sole dalla Terra in metri, in notazione scientifica. c) Esprimila anche in chilometri.
Un nanometro è la miliardesima parte di un metro: $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$. Il capello di Nora ha uno spessore di $5\cdot10^{-5}\ \text{m}$. a) Quanti…
Un nanometro è la miliardesima parte di un metro: $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$. Il capello di Nora ha uno spessore di $5\cdot10^{-5}\ \text{m}$. a) Quanti nanometri misura? b) Quante volte è più spesso di una molecola d'acqua, che misura circa $3\cdot10^{-10}\ \text{m}$? Dai il risultato arrotondato a una cifra significativa.
Ordina queste tre distanze dalla minore alla maggiore, trasformandole prima tutte in metri e in notazione scientifica: a) Un grande ponte di $4\cdot10^{6}\ \text{mm}$.…
Ordina queste tre distanze dalla minore alla maggiore, trasformandole prima tutte in metri e in notazione scientifica:
- a) Un grande ponte di $4\cdot10^{6}\ \text{mm}$.
- b) Una tappa ciclistica di $1,8\cdot10^{2}\ \text{km}$.
- c) Un volo di $9\cdot10^{5}\ \text{m}$.
Quanti secondi ha un anno? a) Calcolalo sapendo che un anno ha $365$ giorni, un giorno $24\ \text{h}$, un'ora $60\ \text{min}$ e un minuto $60\ \text{s}$. b) Esprimi il…
Quanti secondi ha un anno? a) Calcolalo sapendo che un anno ha $365$ giorni, un giorno $24\ \text{h}$, un'ora $60\ \text{min}$ e un minuto $60\ \text{s}$. b) Esprimi il risultato in notazione scientifica con due cifre significative.
Una scheda di memoria da $256\ \text{GB}$ contiene circa $2,56\cdot10^{11}$ byte e ogni foto del cellulare occupa circa $4\cdot10^{6}$ byte. a) Quante foto entrano nella…
Una scheda di memoria da $256\ \text{GB}$ contiene circa $2,56\cdot10^{11}$ byte e ogni foto del cellulare occupa circa $4\cdot10^{6}$ byte. a) Quante foto entrano nella scheda? b) Esprimi il risultato arrotondato a una cifra significativa. c) Spiega perché qui ha senso dare una cifra significativa e non sei.
Il suono viaggia nell'aria a $3,4\cdot10^{2}\ \text{m/s}$ e la luce, a $3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. a) Quante volte è più veloce la luce del suono? Arrotonda a una cifra…
Il suono viaggia nell'aria a $3,4\cdot10^{2}\ \text{m/s}$ e la luce, a $3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. a) Quante volte è più veloce la luce del suono? Arrotonda a una cifra significativa. b) Usa quel risultato per spiegare perché in un temporale vedi prima il lampo e senti dopo il tuono.