Principi della relatività ristretta

Albert Einstein pubblicò nel 1905 la teoria della relatività ristretta a partire da due postulati.

1. a) Enuncia con parole tue il primo postulato, noto come principio di relatività.
2. b) Enuncia il secondo postulato, relativo alla velocità della luce nel vuoto.
3. c) Indica a quale tipo di sistemi di riferimento si applica la teoria della relatività ristretta.

Indica quali dei seguenti sistemi di riferimento possono essere considerati inerziali e giustifica ogni risposta:

1. a) Un treno che frena entrando in stazione.
2. b) Una sonda che si muove nello spazio profondo a velocità costante.
3. c) Una centrifuga da laboratorio che ruota con velocità angolare costante.
4. d) Una stazione ferroviaria ferma rispetto al suolo.

L'esperimento di Michelson e Morley (1887) intendeva misurare la velocità della Terra rispetto all'«etere», il mezzo nel quale si supponeva si propagasse la luce, confrontando la velocità della luce in direzioni perpendicolari. Lo schema mostra l'interferometro utilizzato.

1. a) Quale risultato ottennero?
2. b) Perché quel risultato è incompatibile con la somma classica delle velocità?
3. c) Quale postulato di Einstein lo recepisce e che ne fu dell'ipotesi dell'etere?

Un passeggero di un treno che viaggia a $30\ \text{m/s}$ lancia una palla in avanti a $10\ \text{m/s}$ rispetto al treno.

1. a) Secondo la trasformazione di Galileo, con quale velocità vede la palla un osservatore sul binario?
2. b) Scrivi la regola di addizione delle velocità della fisica classica che hai utilizzato.

Un'astronave si allontana dalla Terra a $0,6c$, cioè $1,8 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, e accende un faro di prua (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). Lo schema riassume la situazione.

1. a) Quale velocità prevederebbe la fisica classica per la luce del faro misurata dalla Terra?
2. b) Quale velocità misura realmente un osservatore terrestre?
3. c) Quale velocità misurerebbe lo stesso osservatore se il faro fosse a poppa, puntato verso la Terra? Giustificalo con il secondo postulato.

La composizione relativistica delle velocità è $u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' \cdot v}{c^2}}$, dove $u'$ è la velocità di un oggetto rispetto a un corpo in moto e $v$ la velocità del corpo in moto rispetto a terra. Un'astronave si allontana dalla Terra a $v = 0,8c$ e lancia in avanti una sonda a $u' = 0,5c$ rispetto all'astronave.

1. a) Calcola la velocità della sonda misurata dalla Terra con la formula classica di Galileo.
2. b) Calcolala con la formula relativistica (puoi lavorare direttamente in unità di $c$).
3. c) Verifica che il risultato relativistico è minore di $c$ e dimostra, sostituendo $u' = c$ nella formula, che se la sonda si muovesse alla velocità della luce rispetto all'astronave, verrebbe misurata a $c$ anche dalla Terra.

I muoni si creano nell'alta atmosfera per effetto della radiazione cosmica e la loro vita media a riposo è $2,2\ \mu\text{s}$. Se il tempo fosse assoluto, quasi nessuno arriverebbe alla superficie terrestre, ma i rivelatori a terra ne registrano un gran numero.

1. a) Quale effetto relativistico spiega che tanti muoni arrivino al suolo?
2. b) Quale grandezza smette di essere assoluta in questa spiegazione?

Un treno velocissimo passa davanti a un binario con banchina. Nell'istante in cui il centro del treno si allinea con un osservatore sulla banchina, questi vede due lampi simultanei emessi dagli estremi del treno.

1. a) Li vedrà simultanei anche una viaggiatrice seduta al centro del treno?
2. b) Motiva la risposta tenendo conto che il treno avanza verso uno dei lampi e che la luce di entrambi viaggia a $c$ anche per la viaggiatrice.

Esperimento mentale di Einstein: due fulmini colpiscono gli estremi di un vagone proprio quando il suo centro passa davanti a un osservatore sul binario, che vede i due impatti nello stesso istante. Una viaggiatrice è in piedi al centro del vagone. Lo schema rappresenta la situazione.

1. a) Descrivi che cosa vede la viaggiatrice e spiega perché, usando il fatto che per lei la luce di entrambi gli impatti viaggia anch'essa a $c$ mentre lei avanza verso uno di essi.
2. b) Come si chiama questo fenomeno per cui due eventi simultanei per un osservatore non lo sono per un altro?
3. c) Trai una conclusione sull'esistenza di un «adesso» universale valido per tutta la galassia.

Può un corpo dotato di massa raggiungere la velocità della luce nel vuoto? Rispondi e giustifica tenendo conto del secondo postulato e del fatto che l'energia necessaria per continuare ad accelerare il corpo crescerebbe senza limite al avvicinarsi della sua velocità a $c$.

Nel Large Hadron Collider (LHC) i protoni raggiungono velocità di $0,9999c$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcola la velocità del protone in $\text{m/s}$.
2. b) Calcola quanti $\text{m/s}$ gli mancano per raggiungere $c$.
3. c) L'acceleratore continua a fornire energia al protone e, tuttavia, questo non raggiunge mai $c$. Spiega perché e in che cosa si manifesta quell'energia in più.

Gli aerei supersonici superano la velocità del suono nell'aria, ma nessun oggetto dotato di massa può raggiungere né superare la velocità della luce nel vuoto.

1. a) In che cosa si differenzia fisicamente la barriera del suono dalla barriera della luce? Pensa in quale mezzo si propaga ciascun segnale e su quale postulato si fonda una delle due.
2. b) Giustifica, in termini di energia, perché raggiungere $c$ è impossibile per un corpo dotato di massa e non si tratta solo di una difficoltà tecnica come lo fu la barriera del suono.