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Onde elettromagnetiche, livelli atomici e radiazione termica · Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche

Le equazioni di Maxwell

Quando il tuo smartphone si collega al Wi-Fi, nessun filo unisce il router al telefono. Eppure l'informazione arriva. Quali leggi permettono a un campo di «staccarsi» dalle cariche e viaggiare nello spazio? La risposta è nelle quattro equazioni di Maxwell, che riassumono tutto ciò che hai studiato su campi elettrici e magnetici.

Le quattro leggi dell'elettromagnetismo

Prima di Maxwell (1865) si conoscevano la legge di Gauss per $\vec E$ e per $\vec B$, la legge di Faraday–Neumann–Lenz e la legge di Ampère, valida solo per correnti stazionarie. Ognuna descrive una proprietà di $\vec E$ o di $\vec B$ con due grandezze: il flusso attraverso una superficie chiusa e la circuitazione lungo una linea chiusa.

Legge Forma integrale Che cosa afferma
Gauss per $\vec E$ $\Phi(\vec E)=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$ Le cariche sono le sorgenti di $\vec E$
Gauss per $\vec B$ $\Phi(\vec B)=0$ Le linee di $\vec B$ sono chiuse: non esistono monopoli magnetici
Faraday–Neumann–Lenz $\Gamma(\vec E)=-\dfrac{d\Phi(\vec B)}{dt}$ Un $\vec B$ variabile genera un $\vec E$ con circuitazione non nulla
Ampère–Maxwell $\Gamma(\vec B)=\mu_0\left(i+\varepsilon_0\dfrac{d\Phi(\vec E)}{dt}\right)$ Correnti e $\vec E$ variabile generano $\vec B$

Qui $\Phi$ è il flusso attraverso una superficie chiusa (prime due righe) e $\Gamma$ è la circuitazione lungo una linea chiusa (ultime due righe, con flusso attraverso una superficie che ha quella linea come bordo).

Linee di campo elettrico aperte che escono da una carica positiva e linee di campo magnetico chiuse attorno a un filo Linee di E: aperte Linee di B: chiuse

Il flusso di $\vec E$ esce da una carica positiva: le linee di $\vec E$ nascono sulle cariche positive e finiscono sulle cariche negative (o all'infinito). La figura è uno schema: mostra solo una carica positiva, da cui le linee escono, ma in generale le linee di $\vec E$ terminano sulle cariche negative o all'infinito. Il flusso totale attraverso una superficie chiusa dipende solo dalla carica racchiusa, $Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$. Il flusso di $\vec B$ è sempre nullo: ogni linea che entra in una superficie chiusa ne esce.

Esercitati★☆☆
Le quattro equazioni di Maxwell riassumono l'elettromagnetismo. a) Scrivi, in forma integrale, la legge di Gauss per il campo elettrico e spiega che cosa afferma. b)…

Le quattro equazioni di Maxwell riassumono l'elettromagnetismo.

  1. a) Scrivi, in forma integrale, la legge di Gauss per il campo elettrico e spiega che cosa afferma.
  2. b) Scrivi la legge di Gauss per il campo magnetico e spiega che cosa implica sull'esistenza dei monopoli magnetici.
Risolvi
Esercitati★☆☆
Associa a ciascuna affermazione l'equazione di Maxwell corrispondente (Gauss elettrica, Gauss magnetica, Faraday-Neumann-Lenz, Ampère-Maxwell): a) Un campo magnetico…

Associa a ciascuna affermazione l'equazione di Maxwell corrispondente (Gauss elettrica, Gauss magnetica, Faraday-Neumann-Lenz, Ampère-Maxwell):

  1. a) Un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico con circuitazione non nulla.
  2. b) Le linee del campo magnetico sono chiuse.
  3. c) Le cariche elettriche sono sorgenti del campo elettrico.
  4. d) Una corrente elettrica e un campo elettrico variabile generano un campo magnetico con circuitazione non nulla.
Risolvi

Il campo elettrico indotto

La legge di Faraday–Neumann–Lenz dice che un flusso magnetico variabile produce una f.e.m. Maxwell le dà un significato più profondo: un campo magnetico variabile genera nello spazio un campo elettrico, anche dove non c'è alcun filo.

$$\Gamma(\vec E)=\oint \vec E\cdot d\vec l=-\frac{d\Phi(\vec B)}{dt}$$

Questo campo $\vec E$ ha linee di forza chiuse (circonda la zona dove $\vec B$ varia), quindi la sua circuitazione non è nulla: non è conservativo. Il campo elettrostatico invece ha circuitazione nulla.

Per $r>R$ il flusso resta quello di tutta la regione, $\Phi=B\,\pi R^2$, e si ottiene $E=\dfrac{R^2}{2r}\dfrac{dB}{dt}$: il campo decresce come $1/r$. Il segno meno della legge indica, come nella legge di Lenz, che $\vec E$ circola in verso tale da opporsi alla variazione di $\vec B$.

Esercitati★★☆
In una regione cilindrica di raggio $R = 10\ \text{cm}$ il campo magnetico, parallelo all'asse, cresce uniformemente da $0$ a $0,50\ \text{T}$ in $2,0\ \text{s}$. a)…

In una regione cilindrica di raggio $R = 10\ \text{cm}$ il campo magnetico, parallelo all'asse, cresce uniformemente da $0$ a $0,50\ \text{T}$ in $2,0\ \text{s}$.

  1. a) Calcola la variazione del flusso magnetico in un cerchio di raggio $R$.
  2. b) Calcola il modulo del campo elettrico indotto a distanza $r = 5,0\ \text{cm}$ dall'asse.
  3. c) Il campo elettrico indotto è conservativo? Motiva.
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Esercitati★★★
Un solenoide lungo ha raggio $a = 4,0\ \text{cm}$ e il campo al suo interno varia come $B(t)=B_0\sin(\omega t)$, con $B_0 = 0,20\ \text{T}$ e…

Un solenoide lungo ha raggio $a = 4,0\ \text{cm}$ e il campo al suo interno varia come $B(t)=B_0\sin(\omega t)$, con $B_0 = 0,20\ \text{T}$ e $\omega = 2\pi\cdot50\ \text{rad/s}$.

  1. a) Ricava l'espressione del campo elettrico indotto all'esterno, a distanza $r>a$ dall'asse.
  2. b) Calcola il valore massimo del campo elettrico a $r = 10\ \text{cm}$.
  3. c) Spiega perché le linee di $\vec E$ sono chiuse e che cosa questo comporta per la sua circuitazione.
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La corrente di spostamento

Carichiamo un condensatore con una corrente $i$. Nel filo passa carica, ma tra le armature c'è il vuoto: nessuna carica attraversa lo spazio. Eppure il teorema di Ampère dà risultati diversi a seconda della superficie scelta, a parità di bordo.

Condensatore in carica: la superficie S1 è attraversata dal filo, la superficie S2 passa tra le armature S₁ S₂ E i

Con la curva che circonda il filo, la superficie $S_1$ è attraversata da $i$ e $\Gamma(\vec B)=\mu_0 i$. La superficie $S_2$, che passa tra le armature, non è attraversata da nessuna corrente, e darebbe $\Gamma(\vec B)=0$: ma il bordo è lo stesso! Maxwell risolve la contraddizione: tra le armature il campo $\vec E$ cresce, e questa variazione si comporta come una corrente.

Il teorema di Ampère–Maxwell diventa

$$\Gamma(\vec B)=\mu_0\,(i+i_s)$$

In un condensatore piano, con $\Phi(\vec E)=EA$ e $E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}$, si ha

$$i_s=\varepsilon_0 A\frac{dE}{dt}=\frac{dQ}{dt}=i$$

cioè la corrente di spostamento tra le armature è uguale alla corrente di conduzione nel circuito: la corrente totale è «continua».

Per $r>R$ il flusso di $\vec E$ è quello di tutta l'armatura, $i_s=i$, e si ha $B=\dfrac{\mu_0 i}{2\pi r}$, cioè il campo di un filo. In $r=R$ le due espressioni coincidono: $B=\dfrac{\mu_0 i}{2\pi R}$.

Esercitati★☆☆
Un condensatore piano viene caricato con una corrente $i = 2,0\ \text{A}$. a) Che cosa è la corrente di spostamento? Scrivi la sua definizione in termini di flusso di…

Un condensatore piano viene caricato con una corrente $i = 2,0\ \text{A}$.

  1. a) Che cosa è la corrente di spostamento? Scrivi la sua definizione in termini di flusso di $\vec E$.
  2. b) Quanto vale la corrente di spostamento fra le armature durante la carica? Giustifica la risposta.
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Esercitati★★☆
Un condensatore piano a armature circolari di raggio $R = 5,0\ \text{cm}$ è collegato a un generatore che lo carica con una corrente costante $i = 0,40\ \text{A}$. a)…

Un condensatore piano a armature circolari di raggio $R = 5,0\ \text{cm}$ è collegato a un generatore che lo carica con una corrente costante $i = 0,40\ \text{A}$.

  1. a) Calcola la variazione nel tempo $\dfrac{dE}{dt}$ del campo elettrico fra le armature.
  2. b) Calcola il campo magnetico a distanza $r = 3,0\ \text{cm}$ dall'asse, all'interno del condensatore, usando il teorema di Ampère-Maxwell.
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Esercitati★★☆
Un condensatore piano ha armature di area $A = 100\ \text{cm}^2$ e distanza $d = 2,0\ \text{mm}$ nel vuoto. La tensione fra le armature varia con rapidità…

Un condensatore piano ha armature di area $A = 100\ \text{cm}^2$ e distanza $d = 2,0\ \text{mm}$ nel vuoto. La tensione fra le armature varia con rapidità $\dfrac{dV}{dt} = 5,0\cdot10^{3}\ \text{V/s}$.

  1. a) Calcola la corrente di spostamento fra le armature.
  2. b) Calcola la capacità del condensatore e la corrente di conduzione nel circuito esterno. Confronta con il risultato di a).
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Esercitati★★★
Un condensatore piano a armature circolari di raggio $R$ è in carica con corrente $i$. a) Dimostra che il campo magnetico all'interno, a distanza $r<R$ dall'asse, vale…

Un condensatore piano a armature circolari di raggio $R$ è in carica con corrente $i$.

  1. a) Dimostra che il campo magnetico all'interno, a distanza $r
  2. b) Ricava il campo magnetico per $r>R$ e verifica la continuità in $r=R$.
  3. c) Spiega perché, senza il termine di Maxwell, il teorema di Ampère darebbe risultati contraddittori scegliendo superfici diverse con lo stesso bordo.
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Maxwell nel vuoto e le onde

Nel vuoto, senza cariche né correnti ($Q_{\text{int}}=0$, $i=0$), le equazioni diventano molto simmetriche:

$$\Phi(\vec E)=0\qquad \Phi(\vec B)=0$$ $$\Gamma(\vec E)=-\frac{d\Phi(\vec B)}{dt}\qquad \Gamma(\vec B)=\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}$$

Le ultime due dicono che un campo magnetico variabile genera un campo elettrico, e un campo elettrico variabile genera un campo magnetico. Le due leggi accoppiano i campi: ciascuno, variando nel tempo, genera l'altro.

Immagina un $\vec E$ che varia: produce un $\vec B$ variabile attorno a sé; questo a sua volta produce un nuovo $\vec E$ variabile poco più lontano, e così via. La perturbazione si propaga anche senza cariche e senza mezzo materiale: è un'onda elettromagnetica. Maxwell trovò che la sua velocità vale

$$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\approx3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}$$

uguale alla velocità della luce misurata: la luce è un'onda elettromagnetica. Le onde furono poi osservate da Hertz (1887) e sfruttate da Marconi per la radio.

Esercitati★★★
Nel vuoto, senza cariche né correnti, le equazioni di Maxwell assumono una forma molto simmetrica. a) Scrivi le quattro equazioni integrali in questo caso. b) Spiega…

Nel vuoto, senza cariche né correnti, le equazioni di Maxwell assumono una forma molto simmetrica.

  1. a) Scrivi le quattro equazioni integrali in questo caso.
  2. b) Spiega come la simmetria fra la legge di Faraday e il termine di Maxwell permetta a un campo elettrico variabile e a un campo magnetico variabile di sostenersi a vicenda.
  3. c) Spiega perché questo porta a prevedere l'esistenza di onde elettromagnetiche.
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Mettiti alla prova! 9 esercizi in questa sezione
★☆☆ Le quattro equazioni di Maxwell riassumono l'elettromagnetismo. a) Scrivi, in forma…★☆☆ Associa a ciascuna affermazione l'equazione di Maxwell corrispondente (Gauss elettrica,…★☆☆ Un condensatore piano viene caricato con una corrente $i = 2,0\ \text{A}$. a) Che cosa è…

Vuoi chiudere il cerchio con il Wi-Fi iniziale? Il router fa oscillare cariche, generando $\vec E$ e $\vec B$ variabili; questi si sostengono a vicenda e viaggiano fino al tuo telefono alla velocità $c$.

In sintesi

  • Le quattro equazioni di Maxwell: Gauss per $\vec E$ (cariche = sorgenti), Gauss per $\vec B$ ($\Phi(\vec B)=0$, niente monopoli), Faraday–Neumann–Lenz, Ampère–Maxwell.

  • Un $\vec B$ variabile genera un $\vec E$ a linee chiuse, non conservativo: $\Gamma(\vec E)=-d\Phi(\vec B)/dt$.

  • La corrente di spostamento $i_s=\varepsilon_0\,d\Phi(\vec E)/dt$ completa la legge di Ampère: $\Gamma(\vec B)=\mu_0(i+i_s)$.

  • In un condensatore in carica $i_s=i$ e $B=\dfrac{\mu_0 i\,r}{2\pi R^2}$ per $r

  • Nel vuoto $\vec E$ e $\vec B$ variabili si generano a vicenda: nascono le onde elettromagnetiche, con $c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$.

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