Spettri a righe e modello di Bohr
Accendi una lampada a incandescenza e osservi la luce con un prisma: ottieni un arcobaleno continuo. Fai lo stesso con una lampada a idrogeno, come quelle dei laboratori di fisica: compaiono solo poche righe colorate, sempre le stesse. Perché l'idrogeno emette soltanto certi colori? La risposta ci porta dentro l'atomo.
Spettri continui e spettri a righe
Un solido incandescente emette uno spettro continuo: tutte le lunghezze d'onda, senza buchi. Un gas rarefatto eccitato (da una scarica elettrica) emette invece uno spettro di emissione a righe: solo alcune lunghezze d'onda, caratteristiche dell'elemento.
Se la luce di una sorgente continua attraversa un gas più freddo, nello spettro compaiono righe scure proprio alle lunghezze d'onda che il gas emetterebbe: è lo spettro di assorbimento. Per questo nella luce del Sole si osservano righe scure, che permettono di riconoscere gli elementi presenti nella sua atmosfera.
Le righe di emissione e di assorbimento di un elemento cadono alle stesse lunghezze d'onda. Se l'atomo potesse avere qualsiasi energia, emetterebbe uno spettro continuo. Le righe indicano che l'atomo può emettere o assorbire solo certe energie: i suoi livelli di energia sono discreti.
Descrivi la differenza fra spettro continuo, spettro di emissione a righe e spettro di assorbimento. Che cosa ci dice uno spettro a righe sulla struttura dell'atomo?
Descrivi la differenza fra spettro continuo, spettro di emissione a righe e spettro di assorbimento. Che cosa ci dice uno spettro a righe sulla struttura dell'atomo?
I postulati di Bohr
Il modello planetario di Rutherford ha un problema: un elettrone che gira intorno al nucleo è accelerato, quindi per la fisica classica irradia energia e dovrebbe cadere sul nucleo in frazioni di secondo. Inoltre prevederebbe uno spettro continuo. Nel 1913 Niels Bohr propone tre postulati per l'atomo di idrogeno.
Il terzo postulato spiega le righe: a ogni coppia di livelli corrisponde una sola frequenza. Il secondo introduce la quantizzazione: solo certe orbite sono "permesse".
Enuncia i postulati del modello di Bohr: orbite stazionarie, quantizzazione del momento angolare $L=n\hbar$ ed emissione/assorbimento di un fotone con $h f=E_i-E_f$.
Enuncia i postulati del modello di Bohr: orbite stazionarie, quantizzazione del momento angolare $L=n\hbar$ ed emissione/assorbimento di un fotone con $h f=E_i-E_f$.
Livelli di energia e raggi
Imponendo come forza centripeta la forza di Coulomb e il secondo postulato si ottengono raggi ed energie:
$$r_n=n^2 a_0 \qquad a_0=5{,}29\cdot10^{-11}\ \text{m}$$ $$E_n=-\frac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$$L'energia è negativa perché l'elettrone è legato: lo zero corrisponde all'elettrone libero e fermo a distanza infinita. Lo stato $n=1$ è lo stato fondamentale; gli altri sono stati eccitati. L'energia di ionizzazione è quella che porta l'elettrone da $E_1$ a $0$: $13{,}6\ \text{eV}$.
Nel modello di Bohr dell'idrogeno l'energia del livello $n$ è $E_n=-\dfrac{13,6\ \text{eV}}{n^2}$. a) Calcola $E_1$, $E_2$ ed $E_3$. b) Calcola l'energia necessaria per…
Nel modello di Bohr dell'idrogeno l'energia del livello $n$ è $E_n=-\dfrac{13,6\ \text{eV}}{n^2}$.
- a) Calcola $E_1$, $E_2$ ed $E_3$.
- b) Calcola l'energia necessaria per ionizzare l'atomo dallo stato fondamentale.
Il raggio di Bohr è $a_0 = 5,29\cdot10^{-11}\ \text{m}$ e il raggio dell'orbita $n$ vale $r_n=n^2a_0$. a) Calcola il raggio per $n=1$ e $n=4$. b) Calcola il rapporto tra…
Il raggio di Bohr è $a_0 = 5,29\cdot10^{-11}\ \text{m}$ e il raggio dell'orbita $n$ vale $r_n=n^2a_0$.
- a) Calcola il raggio per $n=1$ e $n=4$.
- b) Calcola il rapporto tra le energie dei livelli $n=4$ e $n=1$.
- c) Calcola la lunghezza d'onda di de Broglie dell'elettrone se $v=2,19\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ per $n=1$, con $m_e=9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, e confrontala con la circonferenza dell'orbita.
Transizioni, fotoni e serie spettrali
Una transizione da $n_i$ a $nf Le transizioni verso $n_f=1$ formano la serie di Lyman (ultravioletto), verso $n_f=2$ la serie di Balmer (in parte visibile), verso $n_f=3$ quella di Paschen (infrarosso). Il fotone viene assorbito solo se la sua energia è esattamente uguale alla differenza fra due livelli. Se un atomo nello stato fondamentale assorbe $12{,}09\ \text{eV}$, arriva a $E=-13{,}6+12{,}09=-1{,}51\ \text{eV}$, cioè $n=3$. Diseccitandosi può tornare a $n=1$ direttamente ($3\to1$, un fotone) oppure in cascata ($3\to2$ e poi $2\to1$, due fotoni): in un insieme di atomi si osservano quindi tre righe. Un atomo di idrogeno passa dal livello $n=3$ al livello $n=2$. Un atomo di idrogeno nello stato fondamentale assorbe un fotone di energia $12,09\ \text{eV}$. Per l'idrogeno vale $\dfrac1\lambda=R_H\left(\dfrac1{n_f^2}-\dfrac1{n_i^2}\right)$ con $R_H=1,097\cdot10^{7}\ \text{m}^{-1}$. Un fascio di elettroni accelerati viene inviato su idrogeno atomico nello stato fondamentale, e un secondo fascio di fotoni.Un atomo di idrogeno passa dal livello $n=3$ al livello $n=2$. a) Calcola l'energia del fotone emesso in eV e in J ($1\ \text{eV}=1,60\cdot10^{-19}\ \text{J}$). b)…
Un atomo di idrogeno nello stato fondamentale assorbe un fotone di energia $12,09\ \text{eV}$. a) A quale livello arriva? b) Quali fotoni diversi può emettere nel…
Per l'idrogeno vale $\dfrac1\lambda=R_H\left(\dfrac1{n_f^2}-\dfrac1{n_i^2}\right)$ con $R_H=1,097\cdot10^{7}\ \text{m}^{-1}$. a) Calcola le lunghezze d'onda delle prime…
Un fascio di elettroni accelerati viene inviato su idrogeno atomico nello stato fondamentale, e un secondo fascio di fotoni. a) Quale energia cinetica minima serve a un…
Dedurre il modello e i suoi limiti
Per un'orbita circolare la forza di Coulomb è la forza centripeta:
$$\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{m v^2}{r}$$Da $m v r=n\hbar$ si ricava $v=n\hbar/(m r)$. Sostituendo:
$$r_n=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2 n^2}{m e^2}$$L'energia totale è $E=\tfrac12 m v^2-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}=-\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$. Con $r_n$ si ottiene
$$E_n=-\frac{m e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2 n^2}=-\frac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$$Con $n=1$ il raggio vale $a_0=5{,}29\cdot10^{-11}\ \text{m}$.
Collegamento con De Broglie. Dalla condizione $m v r=n\hbar$ segue $2\pi r=n\,h/(m v)=n\lambda$: l'orbita contiene un numero intero di lunghezze d'onda dell'elettrone, come un'onda stazionaria.
Limiti. Il modello funziona per l'idrogeno e per gli ioni con un solo elettrone, ma non per atomi più complessi. Non spiega l'intensità delle righe né la loro struttura fine. Contrasta con la fisica classica per le orbite senza irradiazione e per la quantizzazione di $L$; la meccanica quantistica lo sostituirà con gli orbitali, dove non esistono traiettorie definite.
Ricava, dal modello di Bohr con orbita circolare, forza di Coulomb come forza centripeta e $m v r=n\hbar$, l'espressione del raggio…
Ricava, dal modello di Bohr con orbita circolare, forza di Coulomb come forza centripeta e $m v r=n\hbar$, l'espressione del raggio $r_n=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2 n^2}{m e^2}$ e dell'energia totale $E_n=-\dfrac{m e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2 n^2}$. Indica quali ipotesi del modello contrastano con la fisica classica.
Vuoi tornare al gancio iniziale? Le poche righe dell'idrogeno sono i fotoni emessi nelle transizioni fra livelli discreti: solo certe differenze di energia, quindi solo certi colori.
In sintesi
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Spettro continuo: tutte le $\lambda$. Spettro a righe: solo $\lambda$ caratteristiche; le righe di assorbimento coincidono con quelle di emissione.
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Bohr: orbite stazionarie, $L=n\hbar$, $hf=|E_i-E_f|$.
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Idrogeno: $E_n=-13{,}6\ \text{eV}/n^2$, $r_n=n^2a_0$; ionizzazione da $n=1$: $13{,}6\ \text{eV}$.
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Serie spettrali: $1/\lambda=R_H(1/n_f^2-1/n_i^2)$; Balmer ($n_f=2$) in parte visibile.
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Un fotone è assorbito solo se la sua energia coincide con una differenza fra livelli; un elettrone può cedere anche solo una parte dell'energia.
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Limiti: postulati non spiegati classicamente; valido solo per atomi a un elettrone.