Il principio di indeterminazione

Nel $1927$, Heisenberg enunciò il principio di indeterminazione.

1. a) Enunciarlo con parole tue.
2. b) Quale coppia di grandezze mette in relazione? Scrivi la sua espressione matematica.
3. c) Spiega che cosa significano $\Delta x$ e $\Delta p$ in quell'espressione: che cosa rappresenta ciascuna incertezza?

Un compagno afferma: «Il principio di indeterminazione è dovuto al fatto che i nostri strumenti di misura sono imperfetti; con apparecchi migliori scomparirebbe».

1. a) Spiega se quell'affermazione è corretta: il principio è una limitazione tecnologica o una proprietà intrinseca della natura?
2. b) Indica la differenza tra l'indeterminazione quantistica $\Delta x$ e il normale errore di misura di un righello o di un cronometro.

Parti dall'espressione $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ e ragiona senza calcolatrice:

1. a) Se l'indeterminazione sulla posizione si dimezza, che cosa accade all'indeterminazione minima della quantità di moto?
2. b) E se $\Delta x$ si moltiplica per dieci?
3. c) Riassumi la relazione tra le due indeterminazioni: possono essere entrambe arbitrariamente piccole contemporaneamente?

Un elettrone è confinato in una regione di dimensione $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ (la dimensione di un atomo). Il principio di indeterminazione stabilisce $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$, con $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcola l'indeterminazione minima della sua quantità di moto, $\Delta p$.
2. b) Se l'elettrone fosse confinato in una regione dieci volte più piccola, $\Delta x = 10^{-11}\ \text{m}$, quanto varrebbe $\Delta p$? Motiva la proporzionalità.

Un elettrone ha un'indeterminazione sulla sua quantità di moto di $\Delta p = 5,3\cdot10^{-25}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Dato: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola l'indeterminazione sulla sua velocità, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
2. b) Confronta il risultato con la velocità tipica di un elettrone in un atomo, dell'ordine di $10^{6}\ \text{m/s}$ (dato), e commenta che cosa implica tale confronto.

Un elettrone è confinato in un atomo, di dimensione $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola l'indeterminazione minima della sua quantità di moto, $\Delta p$.
2. b) Calcola l'indeterminazione sulla sua velocità, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
3. c) La velocità tipica dell'elettrone nell'atomo è dell'ordine di $10^{6}\ \text{m/s}$ (dato): confronta $\Delta v$ con quella velocità e spiega perché non ha senso assegnare all'elettrone un'orbita precisa.

Un pallone da calcio si muove per il campo e, in linea di principio, è anch'esso soggetto al principio di indeterminazione.

1. a) Spiega, basandoti sul valore di $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, perché il principio non ha conseguenze pratiche sugli oggetti di uso quotidiano.
2. b) Quali due caratteristiche degli oggetti macroscopici (massa e dimensione) rendono trascurabili le indeterminazioni quantistiche rispetto alle misure ordinarie?

Un proiettile di $10\ \text{g}$ attraversa un rivelatore che determina la sua posizione con un'incertezza $\Delta x = 10^{-5}\ \text{m}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcola l'incertezza minima della quantità di moto del proiettile.
2. b) Calcola l'incertezza della sua velocità.
3. c) Il proiettile ha una velocità di $400\ \text{m/s}$: calcola il rapporto $\frac{\Delta v}{v}$ e concludi se l'incertezza quantistica è apprezzabile in questa misura.

Confiniamo nella stessa regione, $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$, un granello di polvere di $10^{-15}\ \text{kg}$ e un elettrone. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola l'incertezza minima della quantità di moto: è la stessa per entrambi? Giustificalo.
2. b) Calcola l'incertezza della velocità del granello di polvere e quella dell'elettrone.
3. c) Ragiona, alla luce dei risultati, quale grandezza decide se gli effetti quantistici sono rilevanti per un oggetto: la dimensione del confinamento, la massa o entrambe.
4. d) Estrapola: spiega perché nessun esperimento di laboratorio ha mai osservato un'incertezza quantistica apprezzabile in oggetti visibili a occhio nudo.

In meccanica classica, una particella segue una traiettoria: in ogni istante ha una posizione e una velocità esatte. In meccanica quantistica si parla di probabilità e di orbitali.

1. a) Spiega, usando il principio di indeterminazione, perché il concetto di traiettoria esatta perde significato per un elettrone.
2. b) Quale informazione fornisce un orbitale sull'elettrone, al posto della sua traiettoria?
3. c) Collega quanto detto al passaggio dal modello di Bohr (orbite) al modello quantistico attuale (orbitali).

Prima della scoperta del neutrone si pensava che il nucleo potesse contenere elettroni. Verifica con il principio di indeterminazione che cosa accadrebbe se un elettrone fosse confinato in un nucleo di dimensione $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola l'indeterminazione minima della quantità di moto dell'elettrone.
2. b) Calcola l'indeterminazione sulla sua velocità.
3. c) Confronta $\Delta v$ con la velocità della luce e trai la conclusione: può un elettrone essere confinato in modo stabile nel nucleo?

Il principio di indeterminazione permette di stimare l'energia minima di una particella confinata: se la quantità di moto è dell'ordine di $\Delta p$, la sua energia cinetica è dell'ordine di $E_c \approx \frac{\Delta p^2}{2\cdot m}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Stima l'energia cinetica minima di un elettrone confinato in un atomo, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$, ed esprimila in elettronvolt. Confrontala con le energie tipiche dei legami chimici, di pochi elettronvolt (dato).
2. b) Stima l'energia cinetica minima di un protone confinato in un nucleo, $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$, ed esprimila in $\text{MeV}$ ($1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Concludi: spiega come il principio di indeterminazione giustifica che le energie dei processi nucleari siano milioni di volte maggiori di quelle dei processi atomici.