Esercizi: Principi della relatività ristretta

Albert Einstein pubblicò nel 1905 la teoria della relatività ristretta a partire da due postulati.

1. a) Enuncia con parole tue il primo postulato, noto come principio di relatività.
2. b) Enuncia il secondo postulato, relativo alla velocità della luce nel vuoto.
3. c) Indica a quale tipo di sistemi di riferimento si applica la teoria della relatività ristretta.

Un faro sulla costa emette un segnale luminoso. Lo misurano due osservatori: il guardiano del faro, fermo, e il comandante di una barca che si avvicina al faro a $20\ \text{m/s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Secondo la fisica classica, quale valore misurerebbe ciascuno?
2. b) Secondo la relatività ristretta, quale valore misura ciascuno? Giustificalo con il postulato corrispondente.

Indica quali dei seguenti sistemi di riferimento possono essere considerati inerziali e giustifica ogni risposta:

1. a) Un treno che frena entrando in stazione.
2. b) Una sonda che si muove nello spazio profondo a velocità costante.
3. c) Una centrifuga da laboratorio che ruota con velocità angolare costante.
4. d) Una stazione ferroviaria ferma rispetto al suolo.

Un passeggero di un treno che viaggia a $30\ \text{m/s}$ lancia una palla in avanti a $10\ \text{m/s}$ rispetto al treno.

1. a) Secondo la trasformazione di Galileo, con quale velocità vede la palla un osservatore sul binario?
2. b) Scrivi la regola di addizione delle velocità della fisica classica che hai utilizzato.

Una sonda spaziale che si muove a velocità $v$ rispetto alla Terra accende il suo faro di prua. Secondo la fisica classica, la luce di quel faro dovrebbe essere misurata dalla Terra a $c + v$.

1. a) Spiega perché questa previsione contraddice il secondo postulato della relatività ristretta.
2. b) Quale velocità misura realmente un osservatore terrestre per la luce del faro?

I muoni si creano nell'alta atmosfera per effetto della radiazione cosmica e la loro vita media a riposo è $2,2\ \mu\text{s}$. Se il tempo fosse assoluto, quasi nessuno arriverebbe alla superficie terrestre, ma i rivelatori a terra ne registrano un gran numero.

1. a) Quale effetto relativistico spiega che tanti muoni arrivino al suolo?
2. b) Quale grandezza smette di essere assoluta in questa spiegazione?

Il sistema GPS utilizza orologi atomici installati su satelliti che orbitano ad alta velocità attorno alla Terra.

1. a) Perché gli orologi dei satelliti non possono restare sincronizzati con quelli a terra senza correzioni continue?
2. b) Cita il fenomeno relativistico responsabile di questo sfasamento.

Può un corpo dotato di massa raggiungere la velocità della luce nel vuoto? Rispondi e giustifica tenendo conto del secondo postulato e del fatto che l'energia necessaria per continuare ad accelerare il corpo crescerebbe senza limite al avvicinarsi della sua velocità a $c$.

Un'astronave si allontana dalla Terra a $0,6c$, cioè $1,8 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, e accende un faro di prua (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). Lo schema riassume la situazione.

1. a) Quale velocità prevederebbe la fisica classica per la luce del faro misurata dalla Terra?
2. b) Quale velocità misura realmente un osservatore terrestre?
3. c) Quale velocità misurerebbe lo stesso osservatore se il faro fosse a poppa, puntato verso la Terra? Giustificalo con il secondo postulato.

L'esperimento di Michelson e Morley (1887) intendeva misurare la velocità della Terra rispetto all'«etere», il mezzo nel quale si supponeva si propagasse la luce, confrontando la velocità della luce in direzioni perpendicolari. Lo schema mostra l'interferometro utilizzato.

1. a) Quale risultato ottennero?
2. b) Perché quel risultato è incompatibile con la somma classica delle velocità?
3. c) Quale postulato di Einstein lo recepisce e che ne fu dell'ipotesi dell'etere?

Nel Large Hadron Collider (LHC) i protoni raggiungono velocità di $0,9999c$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcola la velocità del protone in $\text{m/s}$.
2. b) Calcola quanti $\text{m/s}$ gli mancano per raggiungere $c$.
3. c) L'acceleratore continua a fornire energia al protone e, tuttavia, questo non raggiunge mai $c$. Spiega perché e in che cosa si manifesta quell'energia in più.

In un'astronave in moto, una lampada posta in un punto del pavimento della cabina si accende e si spegne: due eventi che avvengono nello stesso luogo dell'astronave. La figura confronta ciò che vedono l'equipaggio e un osservatore terrestre.

1. a) Quale osservatore misura l'intervallo di tempo proprio tra i due eventi: l'equipaggio dell'astronave o un osservatore sulla Terra? Giustificalo.
2. b) Quale dei due osservatori misura un intervallo maggiore e come si chiama questo effetto?

Un treno velocissimo passa davanti a un binario con banchina. Nell'istante in cui il centro del treno si allinea con un osservatore sulla banchina, questi vede due lampi simultanei emessi dagli estremi del treno.

1. a) Li vedrà simultanei anche una viaggiatrice seduta al centro del treno?
2. b) Motiva la risposta tenendo conto che il treno avanza verso uno dei lampi e che la luce di entrambi viaggia a $c$ anche per la viaggiatrice.

L'aereo con pilota più veloce della storia ha raggiunto circa $980\ \text{m/s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcola il rapporto tra la sua velocità e la velocità della luce.
2. b) Alla luce del risultato, spiega perché gli effetti relativistici sono trascurabili nella vita quotidiana.
3. c) Indica a partire da quali velocità, confrontate con $c$, cominciano a diventare apprezzabili.

La luce si propaga nell'acqua a $2,25 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, minore che nel vuoto ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Questo dato contraddice il secondo postulato della relatività? Giustifica la risposta precisando a che cosa si riferisce esattamente il postulato.
2. b) Nelle piscine dei reattori nucleari ci sono particelle che si muovono nell'acqua più velocemente di $2,25 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ (sempre al di sotto di $c$) ed emettono un bagliore azzurrino chiamato radiazione di Čerenkov. Questo contraddice la relatività? Motiva la differenza rispetto al punto precedente.

Nella fisica classica il tempo, la lunghezza e la massa sono grandezze assolute: il loro valore non dipende dall'osservatore che le misura.

1. a) Tra queste tre grandezze, indica quali diventano relative nella teoria della relatività ristretta.
2. b) Quale grandezza resta invariante per tutti gli osservatori inerziali secondo il secondo postulato?
3. c) Se non esiste più un tempo universale, che ne è dell'idea che due eventi lontani avvengano «nello stesso istante» per tutti?

I muoni atmosferici si producono a circa $10\ \text{km}$ di altezza, viaggiano a $v = 0,998c$ e la loro vita media a riposo è $2,2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcola la distanza media che percorrerebbe un muone se il tempo fosse assoluto, cioè usando la sua vita media a riposo.
2. b) Confronta questa distanza con i $10\ \text{km}$ che deve scendere e concludi se, secondo la fisica classica, dovrebbe essere rivelato in superficie.
3. c) Nomina l'effetto relativistico che spiega perché invece vengono rivelati e spiega il ragionamento.

Il paradosso dei gemelli: uno resta sulla Terra e l'altro viaggia su un'astronave velocissima per alcuni anni e poi torna. Il diagramma spazio-tempo riassume il viaggio.

1. a) Enuncia l'apparente paradosso: se il moto è relativo, perché sembra che ciascun gemello debba vedere l'altro invecchiare più lentamente?
2. b) Spiega perché la situazione non è realmente simmetrica: che cosa accade al gemello viaggiatore nei punti di accelerazione e di inversione che non accade a quello che resta?
3. c) Concludi quale dei due invecchia meno al ricongiungimento.

La composizione relativistica delle velocità è $u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' \cdot v}{c^2}}$, dove $u'$ è la velocità di un oggetto rispetto a un corpo in moto e $v$ la velocità del corpo in moto rispetto a terra. Un'astronave si allontana dalla Terra a $v = 0,8c$ e lancia in avanti una sonda a $u' = 0,5c$ rispetto all'astronave.

1. a) Calcola la velocità della sonda misurata dalla Terra con la formula classica di Galileo.
2. b) Calcolala con la formula relativistica (puoi lavorare direttamente in unità di $c$).
3. c) Verifica che il risultato relativistico è minore di $c$ e dimostra, sostituendo $u' = c$ nella formula, che se la sonda si muovesse alla velocità della luce rispetto all'astronave, verrebbe misurata a $c$ anche dalla Terra.

Se gli orologi dei satelliti GPS non fossero corretti, accumulerebbero uno sfasamento di circa $38\ \mu\text{s}$ al giorno. Il posizionamento si basa sulla misura del tempo che impiega il segnale di ciascun satellite ad arrivare, che viaggia a $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola l'errore in distanza che introduce uno sfasamento di $38\ \mu\text{s}$ nella misura del tempo di arrivo.
2. b) Alla luce del risultato, quanto tempo impiegherebbe il sistema a diventare inutile per la navigazione se non fosse corretto? Giustificalo.
3. c) Spiega perché il funzionamento del GPS è considerato una verifica quotidiana della relatività.

Il fattore di Lorentz $\gamma$ misura l'intensità degli effetti relativistici: vale $1,005$ a $0,1c$; $1,15$ a $0,5c$; $2,29$ a $0,9c$ e $7,09$ a $0,99c$. Il grafico rappresenta $\gamma$ in funzione della velocità.

1. a) A quale delle velocità citate la correzione relativistica supera per la prima volta il $5\ \%$?
2. b) Spiega, a partire da questi valori, perché la meccanica di Newton funziona così bene nell'ingegneria civile e aeronautica.
3. c) Prevedi, senza usare la calcolatrice, se il valore di $\gamma$ a $0,999c$ sarà un po' maggiore di $7$ o molto maggiore, ragionando a partire dall'andamento dei dati e da ciò che deve accadere quando $v$ si avvicina a $c$.

Gli aerei supersonici superano la velocità del suono nell'aria, ma nessun oggetto dotato di massa può raggiungere né superare la velocità della luce nel vuoto.

1. a) In che cosa si differenzia fisicamente la barriera del suono dalla barriera della luce? Pensa in quale mezzo si propaga ciascun segnale e su quale postulato si fonda una delle due.
2. b) Giustifica, in termini di energia, perché raggiungere $c$ è impossibile per un corpo dotato di massa e non si tratta solo di una difficoltà tecnica come lo fu la barriera del suono.

Esperimento mentale di Einstein: due fulmini colpiscono gli estremi di un vagone proprio quando il suo centro passa davanti a un osservatore sul binario, che vede i due impatti nello stesso istante. Una viaggiatrice è in piedi al centro del vagone. Lo schema rappresenta la situazione.

1. a) Descrivi che cosa vede la viaggiatrice e spiega perché, usando il fatto che per lei la luce di entrambi gli impatti viaggia anch'essa a $c$ mentre lei avanza verso uno di essi.
2. b) Come si chiama questo fenomeno per cui due eventi simultanei per un osservatore non lo sono per un altro?
3. c) Trai una conclusione sull'esistenza di un «adesso» universale valido per tutta la galassia.

Un protone ($m = 1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$) si muove a $0,99c$; a questa velocità il fattore di Lorentz vale $\gamma = 7,09$. L'energia cinetica classica è $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ e quella relativistica è $E_c = (\gamma - 1) \cdot m \cdot c^2$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcola l'energia cinetica prevista dalla fisica classica.
2. b) Calcola quella prevista dalla relatività ristretta.
3. c) Calcola il rapporto tra le due previsioni e concludi perché la formula classica dell'energia cinetica non è valida vicino a $c$.