Esercizi: Le equazioni di Maxwell

Le quattro equazioni di Maxwell riassumono l'elettromagnetismo.

1. a) Scrivi, in forma integrale, la legge di Gauss per il campo elettrico e spiega che cosa afferma.
2. b) Scrivi la legge di Gauss per il campo magnetico e spiega che cosa implica sull'esistenza dei monopoli magnetici.

Associa a ciascuna affermazione l'equazione di Maxwell corrispondente (Gauss elettrica, Gauss magnetica, Faraday-Neumann-Lenz, Ampère-Maxwell):

1. a) Un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico con circuitazione non nulla.
2. b) Le linee del campo magnetico sono chiuse.
3. c) Le cariche elettriche sono sorgenti del campo elettrico.
4. d) Una corrente elettrica e un campo elettrico variabile generano un campo magnetico con circuitazione non nulla.

Un condensatore piano viene caricato con una corrente $i = 2,0\ \text{A}$.

1. a) Che cosa è la corrente di spostamento? Scrivi la sua definizione in termini di flusso di $\vec E$.
2. b) Quanto vale la corrente di spostamento fra le armature durante la carica? Giustifica la risposta.

Un condensatore piano a armature circolari di raggio $R = 5,0\ \text{cm}$ è collegato a un generatore che lo carica con una corrente costante $i = 0,40\ \text{A}$.

1. a) Calcola la variazione nel tempo $\dfrac{dE}{dt}$ del campo elettrico fra le armature.
2. b) Calcola il campo magnetico a distanza $r = 3,0\ \text{cm}$ dall'asse, all'interno del condensatore, usando il teorema di Ampère-Maxwell.

In una regione cilindrica di raggio $R = 10\ \text{cm}$ il campo magnetico, parallelo all'asse, cresce uniformemente da $0$ a $0,50\ \text{T}$ in $2,0\ \text{s}$.

1. a) Calcola la variazione del flusso magnetico in un cerchio di raggio $R$.
2. b) Calcola il modulo del campo elettrico indotto a distanza $r = 5,0\ \text{cm}$ dall'asse.
3. c) Il campo elettrico indotto è conservativo? Motiva.

Un condensatore piano ha armature di area $A = 100\ \text{cm}^2$ e distanza $d = 2,0\ \text{mm}$ nel vuoto. La tensione fra le armature varia con rapidità $\dfrac{dV}{dt} = 5,0\cdot10^{3}\ \text{V/s}$.

1. a) Calcola la corrente di spostamento fra le armature.
2. b) Calcola la capacità del condensatore e la corrente di conduzione nel circuito esterno. Confronta con il risultato di a).

Un condensatore piano a armature circolari di raggio $R$ è in carica con corrente $i$.

1. a) Dimostra che il campo magnetico all'interno, a distanza $r
2. b) Ricava il campo magnetico per $r>R$ e verifica la continuità in $r=R$.
3. c) Spiega perché, senza il termine di Maxwell, il teorema di Ampère darebbe risultati contraddittori scegliendo superfici diverse con lo stesso bordo.

Un solenoide lungo ha raggio $a = 4,0\ \text{cm}$ e il campo al suo interno varia come $B(t)=B_0\sin(\omega t)$, con $B_0 = 0,20\ \text{T}$ e $\omega = 2\pi\cdot50\ \text{rad/s}$.

1. a) Ricava l'espressione del campo elettrico indotto all'esterno, a distanza $r>a$ dall'asse.
2. b) Calcola il valore massimo del campo elettrico a $r = 10\ \text{cm}$.
3. c) Spiega perché le linee di $\vec E$ sono chiuse e che cosa questo comporta per la sua circuitazione.

Nel vuoto, senza cariche né correnti, le equazioni di Maxwell assumono una forma molto simmetrica.

1. a) Scrivi le quattro equazioni integrali in questo caso.
2. b) Spiega come la simmetria fra la legge di Faraday e il termine di Maxwell permetta a un campo elettrico variabile e a un campo magnetico variabile di sostenersi a vicenda.
3. c) Spiega perché questo porta a prevedere l'esistenza di onde elettromagnetiche.