Esercizi: Il principio di indeterminazione

Nel $1927$, Heisenberg enunciò il principio di indeterminazione.

1. a) Enunciarlo con parole tue.
2. b) Quale coppia di grandezze mette in relazione? Scrivi la sua espressione matematica.
3. c) Spiega che cosa significano $\Delta x$ e $\Delta p$ in quell'espressione: che cosa rappresenta ciascuna incertezza?

Un compagno afferma: «Il principio di indeterminazione è dovuto al fatto che i nostri strumenti di misura sono imperfetti; con apparecchi migliori scomparirebbe».

1. a) Spiega se quell'affermazione è corretta: il principio è una limitazione tecnologica o una proprietà intrinseca della natura?
2. b) Indica la differenza tra l'indeterminazione quantistica $\Delta x$ e il normale errore di misura di un righello o di un cronometro.

Un elettrone è confinato in una regione di dimensione $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ (la dimensione di un atomo). Il principio di indeterminazione stabilisce $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$, con $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcola l'indeterminazione minima della sua quantità di moto, $\Delta p$.
2. b) Se l'elettrone fosse confinato in una regione dieci volte più piccola, $\Delta x = 10^{-11}\ \text{m}$, quanto varrebbe $\Delta p$? Motiva la proporzionalità.

In un esperimento, la quantità di moto di un protone è nota con un'indeterminazione $\Delta p = 10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Ricava $\Delta x$ dall'espressione $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ e calcola l'indeterminazione minima della sua posizione.
2. b) Confronta quella dimensione con quella di un atomo ($10^{-10}\ \text{m}$): il protone è localizzato meglio o peggio della dimensione di un atomo?

Un pallone da calcio si muove per il campo e, in linea di principio, è anch'esso soggetto al principio di indeterminazione.

1. a) Spiega, basandoti sul valore di $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, perché il principio non ha conseguenze pratiche sugli oggetti di uso quotidiano.
2. b) Quali due caratteristiche degli oggetti macroscopici (massa e dimensione) rendono trascurabili le indeterminazioni quantistiche rispetto alle misure ordinarie?

Un elettrone ha un'indeterminazione sulla sua quantità di moto di $\Delta p = 5,3\cdot10^{-25}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Dato: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola l'indeterminazione sulla sua velocità, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
2. b) Confronta il risultato con la velocità tipica di un elettrone in un atomo, dell'ordine di $10^{6}\ \text{m/s}$ (dato), e commenta che cosa implica tale confronto.

Parti dall'espressione $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ e ragiona senza calcolatrice:

1. a) Se l'indeterminazione sulla posizione si dimezza, che cosa accade all'indeterminazione minima della quantità di moto?
2. b) E se $\Delta x$ si moltiplica per dieci?
3. c) Riassumi la relazione tra le due indeterminazioni: possono essere entrambe arbitrariamente piccole contemporaneamente?

In meccanica classica, una particella segue una traiettoria: in ogni istante ha una posizione e una velocità esatte. In meccanica quantistica si parla di probabilità e di orbitali.

1. a) Spiega, usando il principio di indeterminazione, perché il concetto di traiettoria esatta perde significato per un elettrone.
2. b) Quale informazione fornisce un orbitale sull'elettrone, al posto della sua traiettoria?
3. c) Collega quanto detto al passaggio dal modello di Bohr (orbite) al modello quantistico attuale (orbitali).

Un elettrone è confinato in un atomo, di dimensione $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola l'indeterminazione minima della sua quantità di moto, $\Delta p$.
2. b) Calcola l'indeterminazione sulla sua velocità, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
3. c) La velocità tipica dell'elettrone nell'atomo è dell'ordine di $10^{6}\ \text{m/s}$ (dato): confronta $\Delta v$ con quella velocità e spiega perché non ha senso assegnare all'elettrone un'orbita precisa.

Prima della scoperta del neutrone si pensava che il nucleo potesse contenere elettroni. Verifica con il principio di indeterminazione che cosa accadrebbe se un elettrone fosse confinato in un nucleo di dimensione $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola l'indeterminazione minima della quantità di moto dell'elettrone.
2. b) Calcola l'indeterminazione sulla sua velocità.
3. c) Confronta $\Delta v$ con la velocità della luce e trai la conclusione: può un elettrone essere confinato in modo stabile nel nucleo?

Un proiettile di $10\ \text{g}$ attraversa un rivelatore che determina la sua posizione con un'incertezza $\Delta x = 10^{-5}\ \text{m}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcola l'incertezza minima della quantità di moto del proiettile.
2. b) Calcola l'incertezza della sua velocità.
3. c) Il proiettile ha una velocità di $400\ \text{m/s}$: calcola il rapporto $\frac{\Delta v}{v}$ e concludi se l'incertezza quantistica è apprezzabile in questa misura.

Un granello di polvere di massa $10^{-6}\ \text{kg}$ viene osservato con un microscopio che determina la sua posizione con un'incertezza $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcola l'incertezza minima della sua quantità di moto.
2. b) Calcola l'incertezza della sua velocità.
3. c) Il granello si muove a $10^{-3}\ \text{m/s}$: spiega se l'incertezza quantistica ha qualche rilevanza per descrivere il suo moto.

In un acceleratore, un protone si muove a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, velocità misurata con un'incertezza $\Delta v = 10^{4}\ \text{m/s}$. Dati: $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ e $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcola la quantità di moto del protone, $p = m_p\cdot v$.
2. b) Calcola l'incertezza della quantità di moto, $\Delta p = m_p\cdot\Delta v$.
3. c) Applica il principio di indeterminazione e calcola l'incertezza minima della sua posizione.
4. d) Calcola l'incertezza relativa $\frac{\Delta v}{v}$ in percentuale.

In nanotecnologia si confinano elettroni in «scatole quantistiche» di dimensioni diverse. Considera due casi: scatola A, con $\Delta x_A = 1\ \text{nm}$, e scatola B, con $\Delta x_B = 0,1\ \text{nm}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. La figura confronta le due scatole.

1. a) Calcola l'incertezza minima della quantità di moto in ciascuna scatola.
2. b) Calcola il rapporto $\frac{\Delta p_B}{\Delta p_A}$.
3. c) Spiega, a partire dalla formula del principio di indeterminazione, la relazione inversa tra la dimensione del confinamento e l'incertezza della quantità di moto.

Un elettrone e un protone sono confinati ciascuno in una regione della stessa dimensione, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Quale delle due particelle ha la maggiore incertezza minima sulla quantità di moto? Giustificalo osservando la formula: compare la massa?
2. b) Calcola l'incertezza sulla velocità di ciascuna particella.
3. c) Spiega perché la massa non influisce su $\Delta p$ ma influisce su $\Delta v$, e quale conseguenza ha ciò per la particella più pesante.

In un chip moderno, un elettrone è confinato in un transistor di $10\ \text{nm}$ di larghezza. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola l'incertezza minima della sua quantità di moto.
2. b) Calcola l'incertezza della sua velocità.
3. c) Se l'industria riduce la scala del transistor a $1\ \text{nm}$, che cosa accade a $\Delta v$? Commenta quale sfida comporta ciò per la miniaturizzazione dell'elettronica.

Il modello di Bohr raffigura l'elettrone su un'orbita circolare di raggio $r = 5,3\cdot10^{-11}\ \text{m}$. Supponi di voler seguire quella traiettoria conoscendo la sua posizione con un'incertezza del $10\%$ del raggio, $\Delta x = 5,3\cdot10^{-12}\ \text{m}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. La figura mostra l'orbita con l'incertezza supposta.

1. a) Calcola l'incertezza minima della quantità di moto imposta dal principio di indeterminazione.
2. b) Calcola l'incertezza sulla velocità.
3. c) La velocità dell'elettrone sulla prima orbita di Bohr è $2,2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ (dato): confronta $\Delta v$ con essa e concludi se l'immagine di un'orbita esatta è compatibile con la meccanica quantistica.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Heisenberg immaginò un microscopio in grado di localizzare un elettrone: per «vederlo» con una risoluzione $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ bisogna illuminarlo con fotoni di lunghezza d'onda confrontabile, $\lambda = 10^{-10}\ \text{m}$, la cui quantità di moto è $p_{fotón} = \frac{h}{\lambda}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. Osserva lo schema dell'esperimento mentale:

1. a) Calcola la quantità di moto del fotone utilizzato.
2. b) Se nell'urto il fotone cede all'elettrone una quantità di moto di quell'ordine, calcola l'incertezza sulla velocità indotta nell'elettrone.
3. c) Spiega l'idea dell'esperimento mentale: quanto meglio si misura la posizione, tanto più si perturba la quantità di moto. Poi precisa che il principio di indeterminazione è ancora più profondo di una semplice perturbazione della misura: che cosa afferma sulla natura della particella prima di misurarla?

Immagina un universo in cui la costante di Planck fosse molto più grande. In questo esercizio lavoreremo con una palla di $0,15\ \text{kg}$ localizzata con un'incertezza $\Delta x = 10^{-3}\ \text{m}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcola, con il valore reale di $h$, l'incertezza minima della velocità della palla.
2. b) Ricava $h$ dall'espressione del principio di indeterminazione e calcola quale valore dovrebbe avere affinché, con lo stesso $\Delta x$, l'incertezza della velocità fosse apprezzabile, ad esempio $\Delta v = 0,01\ \text{m/s}$.
3. c) Di quanti ordini di grandezza sarebbe maggiore della costante reale quel valore?
4. d) Immagina le conseguenze in quell'universo: descrivi, motivando, come cambierebbe il moto degli oggetti quotidiani se il principio di indeterminazione si notasse a scala umana.

Il principio di indeterminazione permette di stimare l'energia minima di una particella confinata: se la quantità di moto è dell'ordine di $\Delta p$, la sua energia cinetica è dell'ordine di $E_c \approx \frac{\Delta p^2}{2\cdot m}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Stima l'energia cinetica minima di un elettrone confinato in un atomo, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$, ed esprimila in elettronvolt. Confrontala con le energie tipiche dei legami chimici, di pochi elettronvolt (dato).
2. b) Stima l'energia cinetica minima di un protone confinato in un nucleo, $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$, ed esprimila in $\text{MeV}$ ($1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Concludi: spiega come il principio di indeterminazione giustifica che le energie dei processi nucleari siano milioni di volte maggiori di quelle dei processi atomici.

Confiniamo nella stessa regione, $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$, un granello di polvere di $10^{-15}\ \text{kg}$ e un elettrone. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola l'incertezza minima della quantità di moto: è la stessa per entrambi? Giustificalo.
2. b) Calcola l'incertezza della velocità del granello di polvere e quella dell'elettrone.
3. c) Ragiona, alla luce dei risultati, quale grandezza decide se gli effetti quantistici sono rilevanti per un oggetto: la dimensione del confinamento, la massa o entrambe.
4. d) Estrapola: spiega perché nessun esperimento di laboratorio ha mai osservato un'incertezza quantistica apprezzabile in oggetti visibili a occhio nudo.

Uno studente scrive in un compito: «Con uno strumento di misura perfetto potrei conoscere simultaneamente la posizione e la quantità di moto di un elettrone con la precisione che voglio; il principio di indeterminazione riflette solo la scarsa qualità degli apparecchi attuali». Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Indica l'errore concettuale dell'affermazione e correggila.
2. b) Aiutati con i numeri: se lo «strumento perfetto» migliora la misura della posizione da $\Delta x = 10^{-9}\ \text{m}$ a $\Delta x = 10^{-12}\ \text{m}$, calcola di quale fattore aumenta l'incertezza minima della quantità di moto.
3. c) Esiste qualche valore di $\Delta x$ per cui $\Delta p$ smetta di crescere o possa annullarsi? Motiva la risposta a partire dall'espressione $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$.

Un fascio di elettroni con velocità $v = 10^{7}\ \text{m/s}$ attraversa una fenditura stretta di larghezza $\Delta y = 10^{-7}\ \text{m}$. Nel passaggio, la posizione verticale di ciascun elettrone resta determinata con tale incertezza, il che allarga il fascio. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. La figura mostra la geometria dell'apparato.

1. a) Calcola l'incertezza minima della componente verticale della quantità di moto, $\Delta p_y$.
2. b) Calcola la quantità di moto dell'elettrone, $p = m_e\cdot v$, e stima l'angolo di apertura del fascio, $\theta \approx \frac{\Delta p_y}{p}$, in radianti.
3. c) Stima la larghezza del fascio su uno schermo posto a $L = 1\ \text{m}$, come $2\cdot L\cdot\theta$, ed esprimila in millimetri.
4. d) Prevedi che cosa accade se la fenditura si restringe a $10^{-8}\ \text{m}$ e collega questo risultato alla diffrazione: perché un'apertura minore disperde di più il fascio?

La meccanica di Newton è deterministica: se in un istante si conoscono con esattezza la posizione e la quantità di moto di tutte le particelle di un sistema, le equazioni del moto predicono tutto il suo futuro. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Usa il principio di indeterminazione per argomentare che quello «stato iniziale esatto» non può esistere: calcola l'incertezza minima della quantità di moto di un elettrone la cui posizione fosse nota con $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ e la corrispondente incertezza sulla sua velocità.
2. b) Se non si può conoscere lo stato iniziale con esattezza, che tipo di previsioni fa la fisica quantistica sul risultato di una misura?
3. c) Spiega perché la meccanica di Newton, nonostante tutto, funziona così bene per una palla, un'automobile o un pianeta, basandoti sul valore di $h$ e sulle masse di quegli oggetti.

Sfida del tema. Come si manifesta la fisica quantistica nel tuo ambiente quotidiano? Indaga la dualità onda-particella e il limite quantistico analizzando un dispositivo solare e una figura ottica casalinga.

1. Misura casalinga e dualità: Proietta la luce di un puntatore laser a bassa potenza (non puntarlo mai verso gli occhi né su superfici riflettenti) su un capello fissato verticalmente davanti a una parete posta a una distanza $L$ che misurerai con incertezza $\pm 0,01\text{ m}$ (inizia da $L \approx 1,50\text{ m}$). Misura con un righello la larghezza del massimo centrale (distanza tra i due minimi del primo ordine) per 4 distanze $L$ diverse, costruisci una tabella con le incertezze e rappresenta graficamente i dati per dedurre, noto lo spessore $a$ del capello (misuralo o stimalo con la sua incertezza), la lunghezza d'onda $\lambda$ e la quantità di moto del fotone ($p = h/\lambda$). Giustifica quale massa dovrebbe avere una particella con la stessa lunghezza d'onda secondo De Broglie, in funzione della sua velocità $v$ (non relativistica).

2. Effetto fotoelettrico: Misura la superficie di una piccola placca o calcolatrice solare. Consulta i dati meteorologici sulla radiazione globale della tua zona ($W/\text{m}^2$) e, supponendo un'energia media dei fotoni solari di $\approx 1,5\text{--}2\text{ eV}$, stima quanti fotoni al secondo superano l'energia di soglia del silicio ($W_0 = 1,12\text{ eV}$) per liberare elettroni.

3. Principio di indeterminazione: Assumi lo spessore del capello come indeterminazione sulla posizione del fotone ($\Delta x$). Applica $\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \hbar/2$ per calcolare l'indeterminazione teorica della sua quantità di moto e rifletti sul perché questo effetto non si apprezza a scala macroscopica.

4. Prodotto finale: Presenta una breve relazione (due pagine) con tabella, grafico, calcoli e conclusioni.

Si valuterà:

• Rigore nella misurazione sperimentale casalinga, trattamento delle incertezze e rappresentazione grafica.

• Correttezza analitica nell'applicazione delle leggi di De Broglie, Einstein e Heisenberg.

• Uso e interpretazione dei dati reali di radiazione solare.