Esercizi: Spettri a righe e modello di Bohr

Descrivi la differenza fra spettro continuo, spettro di emissione a righe e spettro di assorbimento. Che cosa ci dice uno spettro a righe sulla struttura dell'atomo?

Nel modello di Bohr dell'idrogeno l'energia del livello $n$ è $E_n=-\dfrac{13,6\ \text{eV}}{n^2}$.

1. a) Calcola $E_1$, $E_2$ ed $E_3$.
2. b) Calcola l'energia necessaria per ionizzare l'atomo dallo stato fondamentale.

Enuncia i postulati del modello di Bohr: orbite stazionarie, quantizzazione del momento angolare $L=n\hbar$ ed emissione/assorbimento di un fotone con $h f=E_i-E_f$.

Un atomo di idrogeno passa dal livello $n=3$ al livello $n=2$.

1. a) Calcola l'energia del fotone emesso in eV e in J ($1\ \text{eV}=1,60\cdot10^{-19}\ \text{J}$).
2. b) Calcola la frequenza e la lunghezza d'onda con $h=6,63\cdot10^{-34}\ \text{J s}$.
3. c) In quale regione dello spettro cade la radiazione?

Un atomo di idrogeno nello stato fondamentale assorbe un fotone di energia $12,09\ \text{eV}$.

1. a) A quale livello arriva?
2. b) Quali fotoni diversi può emettere nel diseccitarsi? Calcola le loro energie.

Il raggio di Bohr è $a_0 = 5,29\cdot10^{-11}\ \text{m}$ e il raggio dell'orbita $n$ vale $r_n=n^2a_0$.

1. a) Calcola il raggio per $n=1$ e $n=4$.
2. b) Calcola il rapporto tra le energie dei livelli $n=4$ e $n=1$.
3. c) Calcola la lunghezza d'onda di de Broglie dell'elettrone se $v=2,19\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ per $n=1$, con $m_e=9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, e confrontala con la circonferenza dell'orbita.

Per l'idrogeno vale $\dfrac1\lambda=R_H\left(\dfrac1{n_f^2}-\dfrac1{n_i^2}\right)$ con $R_H=1,097\cdot10^{7}\ \text{m}^{-1}$.

1. a) Calcola le lunghezze d'onda delle prime tre righe della serie di Balmer ($n_f=2$).
2. b) Calcola il limite della serie.
3. c) Stabilisci quali righe sono visibili (da $400$ a $700\ \text{nm}$) e giustifica.

Un fascio di elettroni accelerati viene inviato su idrogeno atomico nello stato fondamentale, e un secondo fascio di fotoni.

1. a) Quale energia cinetica minima serve a un elettrone per eccitare l'atomo al livello $n=2$?
2. b) Un fotone di $11,0\ \text{eV}$ può essere assorbito? Motiva.
3. c) Un elettrone di $11,0\ \text{eV}$ può eccitare l'atomo? Motiva la differenza.

Ricava, dal modello di Bohr con orbita circolare, forza di Coulomb come forza centripeta e $m v r=n\hbar$, l'espressione del raggio $r_n=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2 n^2}{m e^2}$ e dell'energia totale $E_n=-\dfrac{m e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2 n^2}$. Indica quali ipotesi del modello contrastano con la fisica classica.