Movimientos compuestos
Un patojo salta desde las rocas al lago de Atitlán y cae describiendo una curva; una lancha cruza el Río Dulce mientras la corriente la empuja de lado; un balón de fútbol sube y avanza al mismo tiempo. En todos hay dos movimientos a la vez. Galileo notó algo que simplifica todo: se pueden estudiar por separado y luego combinarlos con la suma de vectores. ¿Por qué una canica lanzada horizontalmente y otra soltada en vertical caen en el mismo tiempo? Al final de la página lo sabrás.
El principio de independencia de los movimientos
Si sueltas una piedra desde lo alto del mástil de un barco que avanza con rapidez constante, cae al pie del mástil y no atrás. ¿Cómo es posible que el avance horizontal del barco no altere la caída vertical?
Un tren cruza un puente de $19.6\ \text{m}$ de altura cuando se desprende un objeto de un vagón. Toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. a) Calcula el tiempo que tarda el objeto…
Un tren cruza un puente de $19.6\ \text{m}$ de altura cuando se desprende un objeto de un vagón. Toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula el tiempo que tarda el objeto en llegar al suelo.
- b) Razona si ese tiempo depende de la velocidad horizontal que llevaba el tren.
El tiro horizontal
Si lanzas una moneda horizontalmente desde el borde de una mesa y a la vez dejas caer otra, escuchas un solo golpe contra el piso. ¿Por qué tardan lo mismo si sus velocidades horizontales son tan distintas?
Al llegar al suelo, la velocidad tiene dos componentes: $v_x=v_0$ (no cambia) y $v_y=g\,t$ (hacia abajo). Su magnitud es $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ y el ángulo con la horizontal cumple $\tan\alpha = v_y/v_x$.
Un avión de ayuda humanitaria vuela horizontalmente a $100\ \text{m/s}$ y a $500\ \text{m}$ de altura cuando suelta un paquete. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.…
Un avión de ayuda humanitaria vuela horizontalmente a $100\ \text{m/s}$ y a $500\ \text{m}$ de altura cuando suelta un paquete. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa el esquema:
- a) Calcula el tiempo que tarda el paquete en caer.
- b) Calcula la distancia horizontal que avanza el paquete antes de tocar el suelo.
Un helicóptero vuela horizontalmente a $30\ \text{m/s}$ y a $20\ \text{m}$ de altura cuando suelta un paquete. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. a) Calcula el tiempo de…
Un helicóptero vuela horizontalmente a $30\ \text{m/s}$ y a $20\ \text{m}$ de altura cuando suelta un paquete. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula el tiempo de caída del paquete.
- b) Calcula el alcance horizontal del paquete.
- c) Calcula las componentes de la velocidad al llegar al suelo y su módulo.
Un avión vuela horizontalmente a $80\ \text{m/s}$ y a $720\ \text{m}$ de altura y debe soltar un paquete para que caiga sobre un punto concreto del suelo. Toma…
Un avión vuela horizontalmente a $80\ \text{m/s}$ y a $720\ \text{m}$ de altura y debe soltar un paquete para que caiga sobre un punto concreto del suelo. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula el tiempo de caída del paquete.
- b) Calcula la distancia horizontal que recorre el paquete durante la caída.
- c) Razona a qué distancia horizontal antes del objetivo debe soltarse el paquete.
Desde lo alto de un acantilado de $45\ \text{m}$ sobre el mar se deja caer una piedra y, en el mismo instante, se lanza otra idéntica horizontalmente con…
Desde lo alto de un acantilado de $45\ \text{m}$ sobre el mar se deja caer una piedra y, en el mismo instante, se lanza otra idéntica horizontalmente con $10\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa el esquema del acantilado:
- a) Calcula el tiempo que tarda en caer la primera piedra.
- b) Razona, con el principio de independencia de los movimientos, cuál de las dos llega antes al agua.
- c) Calcula el alcance horizontal de la segunda piedra.
- d) Calcula el módulo de la velocidad de llegada de cada piedra y compara los resultados.
Un esquiador de salto abandona la rampa con velocidad horizontal de $20\ \text{m/s}$ desde una altura de $80\ \text{m}$ sobre la zona de aterrizaje. Toma…
Un esquiador de salto abandona la rampa con velocidad horizontal de $20\ \text{m/s}$ desde una altura de $80\ \text{m}$ sobre la zona de aterrizaje. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula el tiempo de vuelo y el alcance horizontal.
- b) Calcula las componentes de la velocidad al llegar a la zona de aterrizaje y su módulo.
- c) Calcula el ángulo que forma la velocidad de llegada con la horizontal.
El movimiento parabólico (tiro oblicuo)
El chorro de una manguera inclinada, o un balón de fútbol pateado en un tiro libre, dibuja un arco simétrico cuya altura y alcance cambian con el ángulo. ¿Qué combinación de movimientos produce esa curva?
Trayectoria y ángulos complementarios
Eliminando $t$ en las ecuaciones horarias de $x$ y $y$ se obtiene $y(x)$, una parábola. Como $\operatorname{sen}(2\theta)=\operatorname{sen}(180^\circ-2\theta)$, dos ángulos complementarios ($\theta$ y $90^\circ-\theta$) tienen el mismo alcance; el alcance es máximo a $45^\circ$, donde $\operatorname{sen}(2\theta)=1$. El ángulo mayor da más altura y más tiempo de vuelo.
Un balón es pateado con velocidad inicial $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0.6$ y $\cos 37^\circ \approx 0.8$. La…
Un balón es pateado con velocidad inicial $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0.6$ y $\cos 37^\circ \approx 0.8$. La figura muestra la descomposición de la velocidad inicial.
- a) Calcula la componente horizontal de la velocidad inicial.
- b) Calcula la componente vertical de la velocidad inicial.
Una pelota de tenis sale de la raqueta con $v_0 = 20\ \text{m/s}$ formando $60^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 60^\circ \approx 0.87$ y $\cos 60^\circ = 0.5$. a)…
Una pelota de tenis sale de la raqueta con $v_0 = 20\ \text{m/s}$ formando $60^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 60^\circ \approx 0.87$ y $\cos 60^\circ = 0.5$.
- a) Calcula la componente horizontal de su velocidad inicial.
- b) Calcula la componente vertical de su velocidad inicial.
La componente vertical de la velocidad inicial de un proyectil es $20\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. a) Calcula el tiempo que tarda en llegar al punto…
La componente vertical de la velocidad inicial de un proyectil es $20\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula el tiempo que tarda en llegar al punto más alto de su trayectoria.
- b) Si sale del suelo y vuelve al suelo, ¿cuánto dura su vuelo completo? Justifícalo.
Una flecha sale del arco con una componente vertical de velocidad de $30\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ y recuerda que en el punto más alto la velocidad…
Una flecha sale del arco con una componente vertical de velocidad de $30\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ y recuerda que en el punto más alto la velocidad vertical se anula.
- a) Calcula el tiempo que tarda en subir.
- b) Calcula la altura máxima que alcanza sobre el punto de salida.
Una pelota de golf sale del tee con $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0.6$, $\cos 37^\circ \approx 0.8$ y…
Una pelota de golf sale del tee con $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0.6$, $\cos 37^\circ \approx 0.8$ y $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La trayectoria del golpe se muestra en la figura.
- a) Calcula las componentes de la velocidad inicial.
- b) Calcula el tiempo de vuelo.
- c) Calcula el alcance sobre terreno horizontal.
- d) Calcula la altura máxima.
Un portero de balonmano lanza la pelota con $v_0 = 20\ \text{m/s}$ formando $30^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 30^\circ = 0.5$, $\cos 30^\circ \approx 0.87$ y…
Un portero de balonmano lanza la pelota con $v_0 = 20\ \text{m/s}$ formando $30^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 30^\circ = 0.5$, $\cos 30^\circ \approx 0.87$ y $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula las componentes de la velocidad inicial.
- b) Calcula el tiempo de vuelo hasta que la pelota vuelve a la altura de salida.
- c) Calcula el alcance.
- d) Calcula la altura máxima.
Un jugador de voleibol efectúa un saque con $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formando $53^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 53^\circ \approx 0.8$, $\cos 53^\circ \approx 0.6$ y…
Un jugador de voleibol efectúa un saque con $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formando $53^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 53^\circ \approx 0.8$, $\cos 53^\circ \approx 0.6$ y $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula las componentes de la velocidad inicial.
- b) Razona cuánto vale la componente vertical de la velocidad en el punto más alto y calcula ahí el módulo de la velocidad.
- c) Calcula la altura máxima y el tiempo que tarda en alcanzarla.
Un jugador de rugby golpea el balón desde el suelo con $v_0 = 30\ \text{m/s}$ formando $53^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 53^\circ \approx 0.8$,…
Un jugador de rugby golpea el balón desde el suelo con $v_0 = 30\ \text{m/s}$ formando $53^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 53^\circ \approx 0.8$, $\cos 53^\circ \approx 0.6$ y $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La figura muestra la trayectoria del balón y los postes.
- a) Calcula las componentes de la velocidad inicial.
- b) Si los postes están a $36\ \text{m}$ del punto de golpeo, calcula a qué altura pasa el balón sobre la línea de gol y decide si supera el travesaño, situado a $3\ \text{m}$ de altura.
- c) Calcula la altura máxima que alcanza el balón.
- d) Calcula el alcance del balón y decide si saldría por la línea de fondo, situada a $80\ \text{m}$ del punto de golpeo.
Composición de movimientos rectilíneos: lanchas y corrientes
Una lancha que cruza el Río Dulce o un bote que atraviesa un río con corriente: la velocidad de la lancha respecto del agua y la del agua respecto de la orilla se componen (velocidad relativa).
Con la lancha a $90^\circ$ (perpendicular a la orilla) y la corriente a $0^\circ$ (paralela), la resultante es la velocidad real respecto a tierra: avanza en diagonal.
Llegar justo al punto de enfrente
Para que la deriva sea cero, la lancha apunta aguas arriba un ángulo $\theta$ tal que su componente paralela a la orilla cancele la corriente: $v_b\operatorname{sen}\theta = v_c$. Entonces la velocidad resultante es perpendicular a la orilla, con magnitud $v=\sqrt{v_b^2-v_c^2}$, y el tiempo de cruce es $t=\text{ancho}/v$.
Vuelve al principio: la canica lanzada y la soltada llegan juntas porque la caída vertical es independiente del avance horizontal.