Posiciones relativas
Dos cables eléctricos cruzan una calle del Centro Histórico de Quito, uno más alto que el otro. Mirados desde la vereda parecen cortarse, pero ¿se tocan de verdad? En el plano, dos rectas o se cortan o son paralelas. En el espacio hay una tercera opción: rectas que no son paralelas y nunca se cortan. En esta página aprenderás a decidir todos los casos entre rectas y planos con una sola herramienta: comparar vectores.
Dos rectas: paralelas, secantes, coincidentes o cruzadas
Tres vectores son coplanares cuando el determinante de sus coordenadas vale $0$. Ese es el cálculo más cómodo.
Dadas las rectas $r$ y $s$ expresadas por sus ecuaciones paramétricas: $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ y…
Dadas las rectas $r$ y $s$ expresadas por sus ecuaciones paramétricas:
$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$
Estudia la posición relativa de ambas comparando sus vectores directores. ¿Son paralelas o tienen direcciones distintas?
Estudia la posición relativa de las siguientes rectas $r$ y $s$. En caso de que sean secantes, calcula las coordenadas del punto de corte:…
Estudia la posición relativa de las siguientes rectas $r$ y $s$. En caso de que sean secantes, calcula las coordenadas del punto de corte:
$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$
$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$
Un punto y una recta dadas de distintas formas
Antes de comparar hay que tener un punto y un vector director de cada recta. Los enunciados traen las rectas de varias formas.
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Vectorial o paramétrica: $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda(a,b,c)$. El punto es $(x_0,y_0,z_0)$ y la dirección es $(a,b,c)$.
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Continua: $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$. Se lee igual: los denominadores son la dirección.
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Por dos puntos: si la recta pasa por $A$ y $B$, el punto es $A$ (o $B$) y la dirección es $\overrightarrow{AB}=B-A$.
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Intersección de dos planos: $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$. Hay que calcular un punto y una dirección.
Para pasar de dos planos a punto y dirección, tienes dos caminos. Uno es resolver el sistema dejando una variable como parámetro. El otro es plantear que la dirección $\vec d$ es perpendicular a las dos normales: $\vec d\cdot\vec n_1=0$ y $\vec d\cdot\vec n_2=0$, y resolver el sistema.
Un satélite de observación sigue una trayectoria lineal en el espacio definida por la recta $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$. Se quiere comprobar si el…
Un satélite de observación sigue una trayectoria lineal en el espacio definida por la recta $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$. Se quiere comprobar si el satélite pasará exactamente por un punto de control situado en $P(5, 0, 6)$. Determina si el punto $P$ pertenece a la trayectoria del satélite.
Dados los puntos $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ y $C(3, 2, 1)$, determina la posición relativa de la recta que pasa por $A$ y $B$ respecto a la recta que pasa por $B$ y…
Dados los puntos $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ y $C(3, 2, 1)$, determina la posición relativa de la recta que pasa por $A$ y $B$ respecto a la recta que pasa por $B$ y $C$. ¿Se trata de la misma recta (coincidentes) o son rectas secantes en el punto $B$?
Comprueba si la recta $r$, definida como la intersección de los planos $x + y = 2$ y $x - y = 0$, es paralela al plano de coordenadas $XY$ (el plano $z = 0$). Argumenta…
Comprueba si la recta $r$, definida como la intersección de los planos $x + y = 2$ y $x - y = 0$, es paralela al plano de coordenadas $XY$ (el plano $z = 0$). Argumenta tu respuesta basándote en el vector director de la recta.
Dos drones de vigilancia aérea siguen trayectorias rectilíneas definidas por las rectas $r$ y $s$. El centro de control necesita saber si existe algún riesgo de colisión…
Dos drones de vigilancia aérea siguen trayectorias rectilíneas definidas por las rectas $r$ y $s$. El centro de control necesita saber si existe algún riesgo de colisión (si las trayectorias se cortan). Las ecuaciones de las trayectorias son:
$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{3}$
$s: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$
Determina la posición relativa de ambas trayectorias.
Recta y plano: contenida, paralela o secante
Un rayo láser se propaga siguiendo la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ e incide sobre una lámina de cristal plana cuya ecuación es…
Un rayo láser se propaga siguiendo la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ e incide sobre una lámina de cristal plana cuya ecuación es $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Determina la posición relativa entre el rayo láser y la lámina. En caso de que se corten, calcula las coordenadas del punto de impacto.
Considera el plano $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(2, 1, 0)$. Determina el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$…
Considera el plano $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(2, 1, 0)$. Determina el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que la recta sea paralela al plano. Para dicho valor de $a$, ¿está la recta contenida en el plano? Justifica tu respuesta.
Se proyecta un rayo láser desde el punto $A(2, 3, 5)$ en la dirección del vector $\vec{v} = (1, -1, -2)$. El rayo impacta contra una pared metálica representada por el…
Se proyecta un rayo láser desde el punto $A(2, 3, 5)$ en la dirección del vector $\vec{v} = (1, -1, -2)$. El rayo impacta contra una pared metálica representada por el plano $\pi: x + 2y + z = 12$.
- a) Determina las coordenadas del punto de impacto.
- b) Estudia la posición relativa de la trayectoria del láser con la recta $s: \begin{cases} x = 3 + \mu \\ y = 2 \\ z = 3 - 2\mu \end{cases}$.
Perpendicularidad con vectores
Sirve también para construir una dirección. Si una recta $r$ es paralela a un plano $\pi$, hay infinitas rectas dentro de $\pi$ que le son perpendiculares. Sus direcciones $\vec w$ cumplen dos cosas: $\vec w\perp\vec n$ (para estar en el plano) y $\vec w\perp\vec v$. Sirve $\vec w=\vec n\times\vec v$.
Un arquitecto utiliza un software de diseño para situar una viga estructural representada por la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Determina…
Un arquitecto utiliza un software de diseño para situar una viga estructural representada por la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Determina si la viga es perpendicular al plano de fachada $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$. Justifica tu respuesta.
Dos planos: coincidentes, paralelos o secantes
En el diseño de un edificio inteligente, se han definido dos superficies planas correspondientes al techo y al suelo de una planta técnica. Las ecuaciones de los planos…
En el diseño de un edificio inteligente, se han definido dos superficies planas correspondientes al techo y al suelo de una planta técnica. Las ecuaciones de los planos son $\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0$ y $\pi_2: 4x - 2y + 6z + 8 = 0$. Analiza la posición relativa de ambos planos para confirmar si son paralelos.
Determina el valor del parámetro $k$ para que los planos $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ y $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ sean paralelos. Para ese valor de $k$, ¿podrían ser…
Determina el valor del parámetro $k$ para que los planos $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ y $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ sean paralelos. Para ese valor de $k$, ¿podrían ser los planos coincidentes? Justifica tu respuesta observando los términos independientes.
Tres planos: el rango decide
Tres planos forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Sea $M$ la matriz de coeficientes y $M'$ la matriz ampliada con los términos independientes. El rango es el número de filas independientes. Para calcularlo puedes escalonar con Gauss, o mirar determinantes: $\operatorname{rg}M=3$ si $|M|\neq0$.
| Rangos | Posición |
|---|---|
| $\operatorname{rg}M=\operatorname{rg}M'=3$ | Un único punto común |
| $\operatorname{rg}M=\operatorname{rg}M'=2$ | Una recta común (haz), o dos planos coincidentes y el tercero los corta |
| $\operatorname{rg}M=2$, $\operatorname{rg}M'=3$ | Sin punto común. Si no hay dos normales proporcionales: prisma triangular. Si dos normales son proporcionales: dos paralelos y el tercero los corta |
| $\operatorname{rg}M=\operatorname{rg}M'=1$ | Los tres coinciden |
| $\operatorname{rg}M=1$, $\operatorname{rg}M'=2$ | Sin punto común, al menos dos planos paralelos distintos |
¿Por qué? Si $\operatorname{rg}M=\operatorname{rg}M'$ el sistema tiene solución. Con rango $3$ queda un único punto, y con rango $2$ queda $3-2=1$ parámetro libre, que es una recta. Si $\operatorname{rg}M<\operatorname{rg}M'$, las ecuaciones se contradicen.
Discute, en función del parámetro real $m$, la posición relativa de los siguientes tres planos: $\pi_1: mx + y + z = 1$ $\pi_2: x + my + z = m$ $\pi_3: x + y + mz = m^2$
Discute, en función del parámetro real $m$, la posición relativa de los siguientes tres planos:
$\pi_1: mx + y + z = 1$
$\pi_2: x + my + z = m$
$\pi_3: x + y + mz = m^2$
En un proyecto de diseño industrial, se definen tres superficies mediante los siguientes planos en el espacio: $\pi_1: x + ay + z = a$ $\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$…
En un proyecto de diseño industrial, se definen tres superficies mediante los siguientes planos en el espacio:
$\pi_1: x + ay + z = a$
$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$
$\pi_3: x + y + z = 1$
Discute la posición relativa de los tres planos según los diferentes valores del parámetro real $a$. En los casos en los que los tres planos se corten en una recta (formando un haz de planos), obtén la ecuación paramétrica de dicha recta.
Un arquitecto diseña una estructura donde tres vigas de soporte deben converger en un punto. Las caras de los pilares principales se asientan sobre los planos:…
Un arquitecto diseña una estructura donde tres vigas de soporte deben converger en un punto. Las caras de los pilares principales se asientan sobre los planos:
$\pi_1: x + 2y - z = 3$
$\pi_2: 2x - y + z = 1$
$\pi_3: 5x + ay + bz = 5$
Calcula los valores de $a$ y $b$ para que:
- a) Los tres planos se corten en una única recta (la viga de soporte común).
- b) Los tres planos no tengan ningún punto común y se corten dos a dos (formando un prisma infinito). Explica qué relación deben cumplir los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada en este caso.
Plano que contiene una recta y es paralelo a otra
Para dar un plano alcanza con un punto y dos direcciones no paralelas contenidas en él. Si el plano contiene a $r$ (punto $A$, dirección $\vec u$) y es paralelo a $s$ (dirección $\vec v$):
-
usa el punto $A$ de $r$;
-
las dos direcciones son $\vec u$ y $\vec v$;
-
la normal es $\vec n=\vec u\times\vec v$.
Con la normal y el punto, la ecuación sale directa. Si las dos rectas son secantes, el plano que las contiene se arma igual con las dos direcciones y un punto de cualquiera de ellas.
Plano por tres puntos
Tres puntos $P$, $Q$, $R$ no alineados determinan un plano. Se toma $P$ como punto de apoyo y las dos direcciones $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{PR}$. La normal es $\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$. Si $\vec n=\vec 0$, los puntos están alineados y no hay un único plano.
Halla la ecuación implícita del plano que contiene a la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ y es paralelo a la recta…
Halla la ecuación implícita del plano que contiene a la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ y es paralelo a la recta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$. ¿Cuál es la posición relativa de las rectas $r$ y $s$?
Dadas las rectas $r$ y $s$, demuestra que se cruzan y halla la ecuación del plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$:…
Dadas las rectas $r$ y $s$, demuestra que se cruzan y halla la ecuación del plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$:
$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$
$s: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$
Se considera una trayectoria de un dron representada por la recta $r$ que pasa por el punto $A(1, 2, -1)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (k, 1, 2)$. Por otro…
Se considera una trayectoria de un dron representada por la recta $r$ que pasa por el punto $A(1, 2, -1)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (k, 1, 2)$. Por otro lado, un panel solar está contenido en el plano $\pi$ definido por los puntos $P(1, 0, 1)$, $Q(0, 2, 3)$ y $R(2, 1, 0)$.
Determine el valor del parámetro $k$ para que la trayectoria del dron sea paralela al panel solar. Para ese valor de $k$, ¿existe alguna recta $s$ contenida en el plano $\pi$ que sea perpendicular a $r$? Justifica la respuesta basándote en la posición relativa de los elementos.
Haz de planos y recta contenida en un plano
Una recta $r$ dada por $\pi_1=0$ y $\pi_2=0$ está contenida en infinitos planos: el haz de planos de arista $r$. Todos se escriben así:
$$\lambda\,\pi_1+\mu\,\pi_2=0,\qquad(\lambda,\mu)\neq(0,0).$$¿Por qué? Un punto de $r$ anula $\pi_1$ y $\pi_2$, así que anula cualquier combinación. Los coeficientes $\lambda$ y $\mu$ se eligen para imponer una condición más, por ejemplo pasar por un punto.
Para decidir si $r$ está contenida en un plano $\pi$, hay dos caminos. Uno es verificar $\vec v\cdot\vec n=0$ y un punto. El otro es ver si $\pi$ es una combinación $\lambda\pi_1+\mu\pi_2$, comparando coeficientes e igualando también el término independiente.
Un haz de planos tiene como arista la recta $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Encuentra cuál de los planos del haz pasa por el punto…
Un haz de planos tiene como arista la recta $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Encuentra cuál de los planos del haz pasa por el punto $P(1, 1, 1)$. Una vez obtenido, determina la posición relativa de este plano con el eje $OY$.
Sea la recta $r$ definida por la intersección de los planos $\sigma_1: x + y = 2$ y $\sigma_2: x - z = 1$. Consideramos también el plano $\pi: 2x + y - z = k$. a)…
Sea la recta $r$ definida por la intersección de los planos $\sigma_1: x + y = 2$ y $\sigma_2: x - z = 1$. Consideramos también el plano $\pi: 2x + y - z = k$.
- a) Determina el valor de $k$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$.
- b) Para un valor de $k$ distinto al hallado en el apartado anterior, la recta $r$ y el plano $\pi$ son paralelos. En esta situación, calcula la ecuación de una nueva recta $s$ que sea la proyección ortogonal de $r$ sobre el plano $\pi$.
- c) Estudia la posición relativa de esta nueva recta $s$ con el eje $OY$.
Rectas que se apoyan en otras y perpendicular común
Recta por un punto que corta a dos rectas
Para hallar la recta $t$ por un punto $O$ que corta a $r$ y a $s$:
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Arma el plano $\alpha$ que contiene a $O$ y a $r$.
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Arma el plano $\beta$ que contiene a $O$ y a $s$.
-
La recta buscada es $t=\alpha\cap\beta$.
¿Por qué? Si $t$ pasa por $O$ y corta a $r$, está en el plano de $O$ y $r$. Lo mismo vale para $s$. Hay que comprobar que $t$ no sea paralela a $r$ ni a $s$.
Perpendicular común a dos rectas cruzadas
La perpendicular común corta a $r$ y a $s$ en ángulo recto. Para hallarla, toma $P=A+\lambda\vec u$ en $r$ y $Q=B+\mu\vec v$ en $s$. Exige $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec u=0$ y $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v=0$. Estas dos ecuaciones dan $\lambda$ y $\mu$. La recta pasa por $P$ y $Q$. Otro camino es intersectar el plano que contiene a $r$ con dirección $\vec u\times\vec v$ con el plano que contiene a $s$ con esa misma dirección.
Dadas las rectas $r$ y $s$ definidas por: $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$ $s: \frac{x-4}{2} = \frac{y+1}{m} = z$ a)…
Dadas las rectas $r$ y $s$ definidas por:
$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$
$s: \frac{x-4}{2} = \frac{y+1}{m} = z$
- a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$ en función del parámetro $m$.
- b) Para el valor de $m$ que hace que las rectas se corten, encuentra la ecuación del plano $\pi$ que las contiene.
- c) Si $m=0$, las rectas se cruzan. Encuentra la ecuación de la recta $t$ que pasa por el origen de coordenadas y corta a $r$ y a $s$ simultáneamente.
Se dan las rectas $r$ y $s$ de ecuaciones: $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$ $s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$ a) Demuestra…
Se dan las rectas $r$ y $s$ de ecuaciones:
$r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$
$s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$
- a) Demuestra analíticamente que las rectas $r$ y $s$ se cruzan.
- b) Halla la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas.
- c) Determina la posición relativa de esta perpendicular común con el plano coordenado $XZ$.
Proyección, simétrico y distancia a un plano
Todas estas construcciones usan una recta perpendicular al plano. Para un punto $P$ y un plano $\pi: Ax+By+Cz+D=0$:
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Proyección ortogonal $M$ de $P$: es el corte de $\pi$ con la recta por $P$ de dirección $\vec n$.
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Simétrico $P'$ de $P$: $M$ es el punto medio de $PP'$, así que $P'=2M-P$.
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Distancia de $P$ al plano: $d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.
La proyección de una recta paralela a $\pi$ se obtiene proyectando uno de sus puntos y conservando la dirección. Si una recta es paralela a $\pi$, todos sus puntos están a la misma distancia del plano, y esa es la distancia entre la recta y el plano.
Consideramos una familia de planos que dependen de un parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$: $\pi_\alpha: \alpha x + y + z = \alpha$ Y la recta $r$ que pasa por los puntos…
Consideramos una familia de planos que dependen de un parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$:
$\pi_\alpha: \alpha x + y + z = \alpha$
Y la recta $r$ que pasa por los puntos $M(1, 1, 1)$ y $N(2, 3, 0)$.
- a) Estudia la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi_\alpha$ según los valores de $\alpha$.
- b) ¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el plano $\pi_\alpha$ contenga a la recta $r$?
- c) Para $\alpha = 0$, halla el punto simétrico de $M$ respecto al plano $\pi_0$ y comprueba si la recta que une $M$ con su simétrico es secante, paralela o coincidente con la recta $r$.
En un sistema de coordenadas estelar, se detectan dos señales de radio lineales: $L_1: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, -1, 1)$…
En un sistema de coordenadas estelar, se detectan dos señales de radio lineales:
$L_1: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, -1, 1)$
$L_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-m}{2}$
- a) Halla el valor de $m$ para que las trayectorias de las señales sean secantes.
- b) Para el valor de $m$ hallado, calcula el punto de impacto $I$.
- c) Considera un satélite situado en el plano $\pi: x + y + z = 10$. Determina la posición relativa de la recta $L_1$ respecto a este plano y calcula, si existe, la distancia mínima entre la señal $L_1$ y el satélite (representado por el plano).
Vuelve al principio: los dos cables eléctricos de Quito son dos rectas con direcciones distintas. Si $\overrightarrow{AB}$ no es coplanar con ambas direcciones, se cruzan y nunca se tocan, aunque desde la acera parezca que sí. El determinante de los tres vectores lo decide.