Reglas de derivación y función derivada de funciones usuales
Camila subió un video a una red social y sus seguidores crecen según una fórmula. Saber cuántos tiene hoy no alcanza: quieres saber con qué rapidez crece en este momento. Esa rapidez es la derivada, y para calcularla rápido, sin límites, necesitas una tabla y unas pocas reglas. En este apartado las repasas y las combinas en el nivel de 3.° de BGU: funciones que mezclan varias reglas y terminan con una simplificación.
Tabla de derivadas usuales
Estas son las derivadas básicas. Casi todo lo demás se arma combinándolas. En el núcleo del curso trabajas con polinomios, raíces y funciones racionales sencillas (numerador y denominador de grado ≤ 2); las filas de $e^x$, $a^x$, logaritmos y funciones trigonométricas son una ampliación.
¿Por qué la regla de la potencia sirve también para raíces y para $1/x^n$? Porque se reescriben como potencias: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ y $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$. Después se aplica $n\,x^{n-1}$ con $n$ fraccionario o negativo.
Calcula la función derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación de las funciones elementales (potencias y raíces): a)…
Calcula la función derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación de las funciones elementales (potencias y raíces):
- a) $f(x) = x^7 - 5x^3 + \pi$
- b) $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$
Dada la función $f(x) = \frac{x^4}{4} - \sqrt[3]{x}$, calcula su función derivada $f'(x)$ y simplifica el resultado expresando la raíz de nuevo en forma radical.
Dada la función $f(x) = \frac{x^4}{4} - \sqrt[3]{x}$, calcula su función derivada $f'(x)$ y simplifica el resultado expresando la raíz de nuevo en forma radical.
Halla la función derivada de las siguientes funciones trascendentes utilizando la tabla de derivadas de funciones usuales: a) $f(x) = 4 \cdot \ln(x) + \log_{2}(x)$ b)…
Halla la función derivada de las siguientes funciones trascendentes utilizando la tabla de derivadas de funciones usuales:
- a) $f(x) = 4 \cdot \ln(x) + \log_{2}(x)$
- b) $g(x) = 3^x - 5 \cdot \sin(x)$
La derivada como pendiente y como velocidad
La función derivada $f'(x)$ da, en cada punto, la pendiente de la recta tangente. Si $x$ es el tiempo, da la rapidez de cambio instantánea: velocidad si $f$ es una posición o altura, ritmo de crecimiento si $f$ cuenta seguidores o bacterias.
Un cohete pirotécnico despega verticalmente desde una plataforma de lanzamiento. La altura $h$ en metros respecto al tiempo $t$ en segundos viene dada por la función…
Un cohete pirotécnico despega verticalmente desde una plataforma de lanzamiento. La altura $h$ en metros respecto al tiempo $t$ en segundos viene dada por la función polinómica $h(t) = t^3 - 4t^2 + 5t + 2$. Calcula la función derivada $h'(t)$, que representa la velocidad instantánea del cohete en cualquier instante $t$.
Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$, se pide: a) Hallar la función derivada $f'(x)$. b) Calcular el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica…
Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$, se pide:
- a) Hallar la función derivada $f'(x)$.
- b) Calcular el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $P$ de abscisa $x = 4$ (marcado en la figura).
Una cuenta de una red social ha analizado su crecimiento y ha determinado que el número de seguidores $S$ evoluciona según la función exponencial…
Una cuenta de una red social ha analizado su crecimiento y ha determinado que el número de seguidores $S$ evoluciona según la función exponencial $S(t) = 150 \cdot e^{0,4t}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses desde su creación. Determina la función derivada $S'(t)$ para conocer el ritmo de crecimiento de seguidores.
Un muelle oscila siguiendo un movimiento armónico simple descrito por la función $y(x) = 5 \cdot \cos(x) + 2$, donde $y$ es la posición en centímetros y $x$ es el…
Un muelle oscila siguiendo un movimiento armónico simple descrito por la función $y(x) = 5 \cdot \cos(x) + 2$, donde $y$ es la posición en centímetros y $x$ es el tiempo. Obtén la expresión de la función derivada $y'(x)$, que representa la velocidad de oscilación del muelle.
Producto, cociente y cadena
Con la cadena, la tabla se usa siempre con una función adentro, $u = u(x)$:
$$(e^u)'=e^u\, u' \quad (\ln u)'=\frac{u'}{u} \quad (\operatorname{sen} u)'=\cos u\cdot u' \quad (\cos u)'=-\operatorname{sen} u\cdot u'$$ $$(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u} \quad (\arctan u)' = \frac{u'}{1+u^2} \quad (u^n)' = n\,u^{n-1}u'$$Calcula la derivada de las siguientes funciones compuestas sencillas utilizando la regla de la cadena de forma directa: a) $f(x) = (2x + 3)^5$ b) $g(x) = e^{x^2 - 1}$
Calcula la derivada de las siguientes funciones compuestas sencillas utilizando la regla de la cadena de forma directa:
- a) $f(x) = (2x + 3)^5$
- b) $g(x) = e^{x^2 - 1}$
Un dron de vigilancia sigue una trayectoria cuya altura en metros viene dada por la función $h(t) = 15t \cdot e^{-0,2t}$, donde $t$ es el tiempo en segundos desde el…
Un dron de vigilancia sigue una trayectoria cuya altura en metros viene dada por la función $h(t) = 15t \cdot e^{-0,2t}$, donde $t$ es el tiempo en segundos desde el despegue.
- a) Calcula la función que representa la velocidad vertical del dron, $v(t) = h'(t)$.
- b) ¿Cuál es la velocidad vertical del dron en el instante $t = 5$ segundos?
Dada la función racional que involucra logaritmos neperianos: $g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$ Halla la expresión de su derivada $g'(x)$ y determina los valores de $x$…
Dada la función racional que involucra logaritmos neperianos:
$g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$
Halla la expresión de su derivada $g'(x)$ y determina los valores de $x$ para los cuales la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $g(x)$ es igual a cero.
Cadenas largas y varios parámetros
Cuando una función tiene varias capas, como $\cos^3(e^{x^2+1})$, se deriva de afuera hacia adentro, una capa por vez, y se multiplican todos los factores.
Cuando una condición pide hallar parámetros ($a$, $b$) en una función como $a\operatorname{sen} x + b e^{-x}$, se usan dos datos: $f(0)$ da una ecuación y $f'(0)$ da otra. Resuelves el sistema.
Calcula la función derivada de la siguiente función compuesta, aplicando la regla de la cadena y simplificando el resultado al máximo: $f(x) = \cos^3(e^{x^2+1})$
Calcula la función derivada de la siguiente función compuesta, aplicando la regla de la cadena y simplificando el resultado al máximo:
$f(x) = \cos^3(e^{x^2+1})$
Dada la función $f(x) = \ln(\cos(x))$, obtén: a) La primera derivada $f'(x)$. b) La segunda derivada $f''(x)$, simplificando el resultado utilizando funciones…
Dada la función $f(x) = \ln(\cos(x))$, obtén:
- a) La primera derivada $f'(x)$.
- b) La segunda derivada $f''(x)$, simplificando el resultado utilizando funciones trigonométricas usuales.
Halla los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot e^{-x}$ cumpla las siguientes condiciones…
Halla los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot e^{-x}$ cumpla las siguientes condiciones simultáneamente:
-
Pasa por el punto $(0, 3)$.
-
Su derivada en el origen es $f'(0) = 2$.
Simplificar con logaritmos e identidades trigonométricas
Muchas derivadas se resuelven mejor simplificando antes de derivar. Las propiedades de los logaritmos ($\ln\sqrt{u} = \tfrac12\ln u$, $\ln\frac{u}{v} = \ln u - \ln v$) ahorran capas de la cadena. Después de derivar, las identidades como $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$ o $\tan x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$ limpian el resultado.
Calcula la derivada de la siguiente función simplificando el resultado final tanto como sea posible mediante identidades trigonométricas:…
Calcula la derivada de la siguiente función simplificando el resultado final tanto como sea posible mediante identidades trigonométricas:
$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$
Calcula la derivada de la función $f(x) = \arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ y simplifica la expresión resultante. ¿A qué función más sencilla corresponde esta…
Calcula la derivada de la función $f(x) = \arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ y simplifica la expresión resultante. ¿A qué función más sencilla corresponde esta derivada?
Calcula la derivada de la siguiente función compuesta y simplifica el resultado al máximo utilizando identidades trigonométricas: $$g(x) = \ln \left( \sqrt{\frac{1 +…
Calcula la derivada de la siguiente función compuesta y simplifica el resultado al máximo utilizando identidades trigonométricas:
$$g(x) = \ln \left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$$¿Qué curiosidad observas en el resultado final simplificado?
Derivación logarítmica
Si ves $u(x)^{v(x)}$, ninguna fila de la tabla sirve directo: ni potencia (exponente variable) ni exponencial (base variable). Se hace así: tomas $\ln$ de ambos lados, derivas y despejas.
¿Por qué funciona? Porque $\ln(u^v) = v\ln u$ baja el exponente y lo convierte en un producto, que sí sabes derivar. Lo mismo ayuda con productos y cocientes largos de factores.
Utilizando la técnica de derivación logarítmica, halla la derivada de la función $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ para $x > 0$.
Utilizando la técnica de derivación logarítmica, halla la derivada de la función $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ para $x > 0$.
Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para obtener la derivada de la siguiente función potencial-exponencial: $f(x) = (x^2 + 1)^{\sin(x)}$
Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para obtener la derivada de la siguiente función potencial-exponencial:
$f(x) = (x^2 + 1)^{\sin(x)}$
Dada la función trascendente definida por $f(x) = (\arctan x)^x$ para $x > 0$, utiliza la técnica de derivación logarítmica para calcular su función derivada $f'(x)$.…
Dada la función trascendente definida por $f(x) = (\arctan x)^x$ para $x > 0$, utiliza la técnica de derivación logarítmica para calcular su función derivada $f'(x)$. Una vez obtenida, calcula el valor exacto de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.
Para dimensionar correctamente una viga de acero sometida a torsión asimétrica, un ingeniero requiere optimizar una función de esfuerzo dada por…
Para dimensionar correctamente una viga de acero sometida a torsión asimétrica, un ingeniero requiere optimizar una función de esfuerzo dada por $E(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot e^{3x}}{(2x + 1)^4}$ para $x > 1$. Aplica el método de derivación logarítmica para obtener la expresión simplificada de la derivada $E'(x)$.
Derivadas sucesivas, implícita e inversa
Derivadas sucesivas
La derivada de la derivada es la derivada segunda $f''$; y así se sigue con $f''', \dots, f^{(n)}$. En el caso de un movimiento, si $x(t)$ es la posición, $x'(t)$ es la velocidad y $x''(t)$ la aceleración.
Para hallar una fórmula general de $f^{(n)}$ se derivan unas pocas veces, se busca el patrón y se lo escribe con $n$. Con $f(x) = \dfrac{1}{x-a}$: $f' = -\dfrac{1}{(x-a)^2}$, $f'' = \dfrac{2}{(x-a)^3}$, $f''' = -\dfrac{6}{(x-a)^4}$, y en general
$$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n\, n!}{(x-a)^{n+1}}.$$Si la función es una racional con denominador factorizable, primero se descompone en fracciones simples (por ejemplo $\dfrac{1}{(x-p)(x-q)} = \dfrac{A}{x-p} + \dfrac{B}{x-q}$, y se hallan $A$ y $B$) y después se deriva cada una con esta fórmula.
Derivación implícita
A veces $y$ no está despejada: $x^2 + y^2 = 25$. Se deriva toda la ecuación respecto de $x$, recordando que $y$ depende de $x$ (cadena): $(y^2)' = 2y\,y'$. Después se despeja $y'$.
Función inversa
Si $f$ es derivable y creciente (o decreciente) en un intervalo, tiene inversa, y si $f(a) = b$ y $f'(a)\neq 0$:
$$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$$¿Por qué? Si en $a$ la función sube $m$ unidades por cada unidad de $x$, la inversa recorre el camino al revés y sube $\dfrac1m$ por cada unidad.
Para probar que una función es biyectiva en $\mathbb{R}$, alcanza con ver que $f'(x) > 0$ para todo $x$ (siempre creciente) y que no tiene saltos.
Un oscilador armónico en un sistema mecánico tiene una posición dada por $x(t) = e^{-2t} \cos(3t)$. Calcula la velocidad $v(t) = x'(t)$ y la aceleración $a(t) = x''(t)$,…
Un oscilador armónico en un sistema mecánico tiene una posición dada por $x(t) = e^{-2t} \cos(3t)$. Calcula la velocidad $v(t) = x'(t)$ y la aceleración $a(t) = x''(t)$, y comprueba si satisface la ecuación diferencial $x''(t) + 4x'(t) + 13x(t) = 0$.
Considera la curva definida de forma implícita por la ecuación: $$x^2 \cdot y + y^3 = 10$$ a) Halla la expresión de la derivada $y'$ en función de $x$ e $y$ mediante…
Considera la curva definida de forma implícita por la ecuación:
$$x^2 \cdot y + y^3 = 10$$- a) Halla la expresión de la derivada $y'$ en función de $x$ e $y$ mediante derivación implícita.
- b) Encuentra la ecuación de la recta normal a la curva en el punto $P(3, 1)$.
Sea la función $f(x) = x^3 + 2x + \cos(x - 1)$. a) Demuestra que $f(x)$ es biyectiva en todo $\mathbb{R}$ (puedes apoyarte en el estudio de su crecimiento). b) Sabiendo…
Sea la función $f(x) = x^3 + 2x + \cos(x - 1)$.
- a) Demuestra que $f(x)$ es biyectiva en todo $\mathbb{R}$ (puedes apoyarte en el estudio de su crecimiento).
- b) Sabiendo que $f(1) = 4$, calcula el valor de la derivada de la función inversa en ese punto, es decir, $(f^{-1})'(4)$.
Halla la expresión general de la derivada n-ésima ($f^{(n)}(x)$) para la función racional: $$f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$$ Indicación: Descompón la función en…
Halla la expresión general de la derivada n-ésima ($f^{(n)}(x)$) para la función racional:
$$f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$$Indicación: Descompón la función en fracciones simples antes de comenzar a derivar sucesivamente.
Funciones a trozos, razones de cambio y distancia mínima
Funciones a trozos derivables
Para que una función a trozos sea derivable en el punto de empalme $x = c$ tienen que cumplirse dos condiciones:
-
Es continua: los límites laterales coinciden con $f(c)$.
-
Las derivadas laterales coinciden: la derivada de un trozo en $c$ es igual a la del otro.
La continuidad es necesaria pero no suficiente: una función puede ser continua y tener un "pico", y ahí no es derivable.
Razones de cambio relacionadas
Si dos magnitudes dependen del tiempo y están relacionadas, la cadena permite pasar de una tasa a la otra. Por ejemplo, el área de un círculo es $A = \pi r^2$, y si $r$ cambia con $t$: $\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r\cdot\dfrac{dr}{dt}$.
Cuando el dato es una función de $t$ (como un volumen $V(t)$) y hay que hallar la tasa de otra magnitud, se despeja esa magnitud en función de $V$ y se deriva, o se deriva la relación completa respecto de $t$.
Distancia mínima
Para minimizar la distancia de un punto a una curva, se minimiza el cuadrado de la distancia: tiene el mismo mínimo y evita la raíz. Se deriva, se iguala a cero y se comprueba que sea un mínimo.
Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea derivable en todo su dominio: $$f(x) = \begin{cases} a \cdot…
Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea derivable en todo su dominio:
$$f(x) = \begin{cases} a \cdot e^{x^2-1} + b & \text{si } x \leq 1 \\ \ln(x) + x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$Explica razonadamente la relación entre la continuidad y la derivabilidad en el punto de ruptura $x = 1$.
Un dron de vigilancia se desplaza siguiendo la trayectoria dada por la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. Un operario situado en el punto $A(2, 0)$ observa el dron.…
Un dron de vigilancia se desplaza siguiendo la trayectoria dada por la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. Un operario situado en el punto $A(2, 0)$ observa el dron.
Calcula el punto de la trayectoria donde el dron se encuentra a la distancia mínima del operario.
Nota: Para minimizar la distancia $d$, basta con minimizar el cuadrado de la distancia $d^2$. Deberás derivar la función resultante de la distancia.
En un laboratorio de biotecnología, el volumen de una población de bacterias (en $mm^3$) crece según la función $V(t) = 20 \cdot e^{0,5t}$, donde $t$ es el tiempo en…
En un laboratorio de biotecnología, el volumen de una población de bacterias (en $mm^3$) crece según la función $V(t) = 20 \cdot e^{0,5t}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Al mismo tiempo, el radio de la placa de cultivo circular donde crecen las bacterias se expande de forma que el área ocupada por la población es $A(t) = \pi \cdot [r(t)]^2$.
Si suponemos que el grosor de la capa bacteriana es constante e igual a $0,1 mm$ (de modo que $V = A \cdot h$), calcula la tasa de variación instantánea del radio de la población en el instante $t = 2$ horas.