Información acerca de la función
Tu celular marca 10 % de batería y lo pones a cargar en tu casa en Cuenca. ¿Hasta cuánto va a cargarse si lo dejas enchufado toda la noche? ¿En qué momento sube más rápido? Responder eso es estudiar una función: dónde empieza, hacia dónde tiende y cómo crece. Dominio, simetría, asíntotas, monotonía y curvatura ya los conoces por separado. Aquí los juntamos en un procedimiento único, lo aplicamos a funciones con parámetros, a trozos, exponenciales y logarítmicas, y lo usamos también al revés: leer una gráfica (o la de $f'$) y reconstruir la función.
El procedimiento completo, paso a paso
El orden tiene su razón: cada paso usa información del anterior (las asíntotas verticales, por ejemplo, también cortan los tramos de monotonía). Si te lo saltas, repites trabajo.
Con funciones trigonométricas el esquema es el mismo, y se suma la periodicidad: $\operatorname{sen}(kx)$ tiene período $\dfrac{2\pi}{k}$. Por eso $f(x)=\operatorname{sen}(2x)$ se repite cada $\pi$. Además $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x$, así que el seno es una función impar.
Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$, realiza un estudio previo de sus elementos básicos determinando: a) El dominio de definición de la función. b)…
Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$, realiza un estudio previo de sus elementos básicos determinando:
- a) El dominio de definición de la función.
- b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
- c) La existencia de simetrías (indica si es par, impar o no presenta simetría).
Determina el periodo de la función trigonométrica $f(x) = \sin(2x)$. A continuación, indica razonadamente si la función presenta algún tipo de simetría respecto al…
Determina el periodo de la función trigonométrica $f(x) = \sin(2x)$. A continuación, indica razonadamente si la función presenta algún tipo de simetría respecto al origen o al eje de ordenadas.
Considera la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$. 1. Analiza sus simetrías y dominio. 2. Determina todas sus asíntotas y la posición de la gráfica respecto a ellas.…
Considera la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$.
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Analiza sus simetrías y dominio.
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Determina todas sus asíntotas y la posición de la gráfica respecto a ellas.
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Encuentra los puntos de la gráfica donde la recta tangente es horizontal.
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Demuestra que la función es cóncava en todo su dominio excepto en el intervalo $(-1, 1)$, donde es convexa.
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Esboza la gráfica de la función integrando todos los elementos anteriores.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Funciones racionales: todas las asíntotas a la vez
Las funciones racionales son el caso donde más piezas hay que coordinar: pueden tener varias asíntotas verticales (una por cada raíz del denominador que no se cancela con el numerador) y además una horizontal u oblicua, según los grados.
Dada la función $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina: 1. Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales. 2. La posición de la curva respecto a dichas asíntotas…
Dada la función $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina:
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Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.
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La posición de la curva respecto a dichas asíntotas mediante el estudio de los límites laterales y en el infinito.
Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$, realiza un estudio de sus ramas infinitas: a) Comprueba si tiene asíntotas verticales. b) Comprueba si tiene asíntotas…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$, realiza un estudio de sus ramas infinitas:
- a) Comprueba si tiene asíntotas verticales.
- b) Comprueba si tiene asíntotas horizontales.
- c) En caso de no tener asíntota horizontal, averigua si tiene una asíntota oblicua y halla su ecuación.
Determina todas las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas) de la función $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3}$. En caso de que exista una asíntota oblicua, calcula su…
Determina todas las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas) de la función $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3}$. En caso de que exista una asíntota oblicua, calcula su ecuación de la forma $y = mx + n$ y estudia la posición de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to \infty$.
Funciones de contexto: interpretar la asíntota
Cuando la función describe una situación (temperatura, carga de una batería, concentración de un medicamento), la asíntota horizontal se interpreta como el valor "a largo plazo". No alcanza con calcularla.
Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura de un componente electrónico. La evolución de la temperatura $T$ (en grados Celsius) respecto al tiempo $t$ (en…
Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura de un componente electrónico. La evolución de la temperatura $T$ (en grados Celsius) respecto al tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la función:
$T(t) = \dfrac{40t + 100}{t + 2}$ con $t \geq 0$
Se pide:
- a) Hallar la temperatura inicial del componente ($t=0$).
- b) Determinar la asíntota horizontal de la función e interpretar su significado en el contexto del problema (temperatura a largo plazo).
Un equipo de ingenieros monitoriza el nivel de carga de una nueva batería de litio mediante la función $B(t) = \frac{100t}{t^2 + 9} + 10$, donde $B$ es el porcentaje de…
Un equipo de ingenieros monitoriza el nivel de carga de una nueva batería de litio mediante la función $B(t) = \frac{100t}{t^2 + 9} + 10$, donde $B$ es el porcentaje de carga y $t$ es el tiempo en horas ($t \ge 0$).
- a) ¿En qué instante alcanza la batería su nivel máximo de carga? Justifica que se trata de un máximo.
- b) ¿A qué valor tiende la carga de la batería si se deja conectada indefinidamente? Justifica la respuesta mediante el cálculo de límites.
Monotonía y extremos
Una vez ubicadas las asíntotas, seguimos con $f'$. Los ceros de $f'$, los puntos donde no existe $f'$ y los excluidos del dominio marcan los tramos. En cada tramo, el signo de $f'$ dice si $f$ crece ($f'>0$) o decrece ($f'<0$). Un extremo relativo aparece donde $f'$ cambia de signo.
Estudia la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y calcula los extremos relativos (máximos y mínimos) de la siguiente función polinómica:…
Estudia la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y calcula los extremos relativos (máximos y mínimos) de la siguiente función polinómica:
$f(x) = x^3 - 3x + 2$
Realiza un estudio completo de la monotonía y los extremos relativos de la función racional $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Determina con precisión los intervalos…
Realiza un estudio completo de la monotonía y los extremos relativos de la función racional $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Determina con precisión los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de sus máximos y mínimos si los tuviera.
Curvatura e inflexión
La segunda derivada dice cómo se dobla la curva. Si $f''>0$, la función es cóncava hacia arriba ($\cup$); si $f''<0$, cóncava hacia abajo ($\cap$). Un punto de inflexión es donde cambia la curvatura: $f''$ cambia de signo.
Analiza la curvatura de la función $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Para ello: 1. Halla la segunda derivada $f''(x)$. 2. Determina los intervalos de concavidad ($\cup$) y…
Analiza la curvatura de la función $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Para ello:
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Halla la segunda derivada $f''(x)$.
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Determina los intervalos de concavidad ($\cup$) y convexidad ($\cap$).
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Encuentra las abscisas de los puntos de inflexión.
Considera la función polinómica $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Halla los intervalos de concavidad y convexidad, así como las coordenadas exactas de sus puntos de…
Considera la función polinómica $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Halla los intervalos de concavidad y convexidad, así como las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión. Utiliza el símbolo $\cup$ para denotar los intervalos donde la función es convexa (curvatura hacia arriba) y $\cap$ para los intervalos donde es cóncava (curvatura hacia abajo).
Se considera la función $f(x) = \ln(x^2 + k)$, donde $k$ es un parámetro real. a) Determina el valor de $k$ para que la función tenga un punto de inflexión en $x = 1$.…
Se considera la función $f(x) = \ln(x^2 + k)$, donde $k$ es un parámetro real.
- a) Determina el valor de $k$ para que la función tenga un punto de inflexión en $x = 1$.
- b) Para ese valor de $k$, estudia el dominio de la función y comprueba si presenta algún tipo de simetría (par o impar).
Parámetros y funciones a trozos
Muchos problemas dan una función con letras ($a$, $b$, $c$, $k$) y condiciones sobre su gráfica. La estrategia es traducir cada condición a una ecuación.
| Condición | Ecuación |
|---|---|
| Pasa por $(x_0; y_0)$ | $f(x_0)=y_0$ |
| Asíntota vertical $x=x_0$ | el denominador se anula en $x_0$ |
| Asíntota horizontal $y=L$ | $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=L$ |
| Extremo relativo en $x_0$ | $f'(x_0)=0$ |
| Punto de inflexión en $x_0$ | $f''(x_0)=0$ |
| Tangente paralela a una recta de pendiente $m$ en $x_0$ | $f'(x_0)=m$ |
Para una función a trozos, en el punto $x_0$ donde cambia la fórmula:
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{ax}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$ a) Calcula el valor de $a$ para…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{ax}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$
- a) Calcula el valor de $a$ para que la función sea derivable en $x = 0$.
- b) Para el valor de $a$ obtenido, estudia si la función tiene alguna asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$.
Sea la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x-1} & \text{si } x < 0 \\ \ln(x^2 + 1) + ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ 1. Calcula los…
Sea la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x-1} & \text{si } x < 0 \\ \ln(x^2 + 1) + ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$
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Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 0$, sabiendo que en el primer tramo el parámetro $k$ toma el valor $1$.
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Para los valores hallados, estudia si la función posee alguna asíntota oblicua cuando $x \to -\infty$. En caso afirmativo, hállala.
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¿Presenta la función algún extremo relativo en el intervalo $(0, +\infty)$? Justifica tu respuesta.
Se considera la función $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Determina los valores de los parámetros reales $a$, $b$ y $c$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las…
Se considera la función $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Determina los valores de los parámetros reales $a$, $b$ y $c$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:
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La recta $x = 2$ es una asíntota vertical de la gráfica de la función.
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La función presenta un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 3$.
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La recta tangente a la gráfica en el punto de corte con el eje $OY$ es paralela a la recta $y = -2x + 5$.
Una vez hallados los parámetros, estudia la existencia de una asíntota oblicua y determina la posición relativa de la curva respecto a ella.
Exponenciales, logaritmos y valor absoluto
El esquema es el mismo; lo que cambia son los límites y los dominios.
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$e^{x}\to+\infty$ cuando $x\to+\infty$ y $e^{x}\to 0$ cuando $x\to-\infty$.
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$\ln x$ solo existe para $x>0$; $\ln(x^2+c)$ existe en todo $\mathbb{R}$ si $c>0$.
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En un producto polinomio·exponencial con $e^{-x}$, la exponencial "gana": $x^n e^{-x}\to 0$ cuando $x\to+\infty$. Eso da la asíntota horizontal $y=0$.
Con valor absoluto, primero escribe la función a trozos y estudia cada tramo. En el punto donde cambia la fórmula, calcula las derivadas laterales. Por ejemplo, $f(x)=|x-1|$ vale $x-1$ si $x\ge1$ y $1-x$ si $x<1$. Sus derivadas laterales en $1$ son $+1$ y $-1$: es continua pero no derivable (un "pico"), con mínimo en $x=1$.
Dada la función $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}$, realiza un estudio exhaustivo para su representación gráfica analizando: 1. Dominio y puntos de corte con los ejes de…
Dada la función $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}$, realiza un estudio exhaustivo para su representación gráfica analizando:
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Dominio y puntos de corte con los ejes de coordenadas.
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Comportamiento en el infinito (límites y asíntotas).
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Intervalos de monotonía y extremos relativos (abscisas y ordenadas).
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Puntos de inflexión y convexidad.
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Utiliza toda la información anterior para dibujar la gráfica de la función, destacando especialmente el comportamiento asintótico horizontal.
Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función $f(x) = x \cdot |x - 2|$. A partir de este estudio: 1. Expresa la función como una función definida a trozos. 2.…
Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función $f(x) = x \cdot |x - 2|$. A partir de este estudio:
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Expresa la función como una función definida a trozos.
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Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
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Determina los máximos y mínimos relativos y absolutos en el intervalo $[0, 4]$.
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Estudia la curvatura y los puntos de inflexión. Ten especial cuidado con el punto donde la función cambia de definición.
Extremos en un problema: modelar y optimizar
Cuando te piden "la mayor área" o "el punto más bajo", el estudio de $f'$ se aplica a una función que armas tú.
En el ejercicio del perfil de la rampa, la pendiente es $f'$. Por eso la pendiente máxima o mínima se busca derivando $f'$, es decir con $f''=0$, y comparando con los extremos del intervalo $[0; 3]$.
Se desea inscribir un rectángulo de área máxima en la región del primer cuadrante limitada por el eje $OX$, el eje $OY$ y la gráfica de la función $f(x) = 4e^{-0,5x}$.…
Se desea inscribir un rectángulo de área máxima en la región del primer cuadrante limitada por el eje $OX$, el eje $OY$ y la gráfica de la función $f(x) = 4e^{-0,5x}$.
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Expresa el área del rectángulo en función de la abscisa $x$ de uno de sus vértices situados sobre el eje $OX$.
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Calcula las dimensiones de dicho rectángulo para que su área sea máxima.
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Realiza un dibujo de la situación utilizando el siguiente esquema visual.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un equipo de ingenieros está diseñando el perfil de una rampa de salto para una competición de skate. El perfil lateral sigue la curva de la función…
Un equipo de ingenieros está diseñando el perfil de una rampa de salto para una competición de skate. El perfil lateral sigue la curva de la función $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ en el intervalo $[0, 3]$.
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Encuentra el punto de la rampa que se encuentra a menor altura respecto al suelo.
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Determina los puntos de la rampa donde la pendiente es máxima y mínima. ¿Qué interpretación física tienen estos puntos en el contexto del patinaje?
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Estudia si la función tiene algún punto de inflexión en dicho intervalo y explica cómo cambia la sensación del patinador al pasar por él.
El ejercicio inverso: de las propiedades a la gráfica
A veces te dan una lista de propiedades (cortes, un extremo, límites en el infinito) y piden un esbozo que las cumpla todas. No hay una única respuesta correcta: vale cualquier curva coherente con los datos, pero hay que comprobar cada condición.
Se conoce la siguiente información sobre una función $f(x)$ continua en todo $\mathbb{R}$: Corta al eje $X$ en $x = -2$ y $x = 2$. Tiene un mínimo relativo en $(0, -4)$.…
Se conoce la siguiente información sobre una función $f(x)$ continua en todo $\mathbb{R}$:
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Corta al eje $X$ en $x = -2$ y $x = 2$.
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Tiene un mínimo relativo en $(0, -4)$.
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Es decreciente en $(-\infty, 0)$ y creciente en $(0, +\infty)$.
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$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
Dibuja un esbozo de la gráfica que cumpla todas estas condiciones. Para ayudarte, aquí tienes los ejes con los puntos que se conocen; copia los ejes en tu papel y traza la curva.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dibuja el esbozo de la gráfica de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones obtenidas de su estudio analítico: Dominio:…
Dibuja el esbozo de la gráfica de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones obtenidas de su estudio analítico:
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Dominio: $\mathbb{R} - \{0\}$
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Cortes con los ejes: $(2, 0)$ y $(-2, 0)$.
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Asíntota vertical en $x = 0$, con $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.
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Asíntotas horizontales: $y = -1$ cuando $x \to +\infty$ e $y = 1$ cuando $x \to -\infty$.
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$f'(x) < 0$ en todo su dominio.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Leer la gráfica de $f'$: la información al revés
Un ejercicio puede dar solo la gráfica de $f'$ y pedir toda la información de $f$: monotonía, extremos, curvatura e inflexiones. La clave es no mezclar lo que dice $f'$ (si está por encima o por debajo del eje $x$) con lo que dice su crecimiento (que habla de $f''$).
Dada la gráfica de la función derivada $f'(x)$ que se muestra a continuación (una recta que pasa por los puntos $(-2, 0)$ y $(0, 4)$), indica razonadamente: a) Los…
Dada la gráfica de la función derivada $f'(x)$ que se muestra a continuación (una recta que pasa por los puntos $(-2, 0)$ y $(0, 4)$), indica razonadamente:
- a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.
- b) La abscisa de los extremos relativos de $f(x)$ y su tipo (máximo o mínimo).
- c) El intervalo de concavidad o convexidad de $f(x)$.
La siguiente gráfica corresponde a la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la información visual…
La siguiente gráfica corresponde a la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la información visual proporcionada:
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Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.
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Determina las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ clasificándolos en máximos o mínimos.
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Estudia la curvatura de $f(x)$ y localiza sus puntos de inflexión.
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Si se sabe que $f(0) = 1$, realiza un esbozo de la gráfica de la función original $f(x)$ justificando la forma obtenida.
Interpretar gráficos hechos con GeoGebra o calculadora
Hoy casi siempre vas a tener a mano GeoGebra o una calculadora gráfica. Sirven para graficar rápido, pero el dibujo no justifica nada por sí solo: lo que ves depende de la ventana elegida y de cómo la herramienta une los puntos. Tu trabajo es leerlo y verificarlo con el cálculo.
Este gráfico parece la recta $y=x+2$ completa. Pero $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ no está definida en $x=2$: hay un hueco en $(2; 4)$ que la pantalla casi nunca marca. Solo el cálculo (simplificar y evaluar el denominador) lo confirma.
Dada la función $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina: 1. Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales. 2. La posición de la curva respecto a dichas asíntotas…
Dada la función $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina:
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Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.
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La posición de la curva respecto a dichas asíntotas mediante el estudio de los límites laterales y en el infinito.
Vuelve al principio: el celular enchufado sigue una función cuya asíntota horizontal marca hasta dónde carga (un valor límite, que se aproxima pero no se supera). El instante en que carga más rápido es el punto de inflexión: ahí la curva pasa de $\cup$ a $\cap$ y la derivada es máxima.