Método de Gauss-Jordan: rango e inversa de una matriz

En una partida de un conocido videojuego de estrategia, las estadísticas de tres jugadores (puntos de ataque, defensa y velocidad) se han organizado en la siguiente matriz $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Indica qué operación elemental por filas deberías realizar en primer lugar para obtener un cero en la posición $a_{21}$ y cuál para la posición $a_{31}$, utilizando como fila pivote la primera fila ($F_1$). Escribe la matriz resultante tras aplicar ambos cambios.

Dada la matriz $S$, realiza los pasos del método de Gauss para obtener una matriz escalonada:

$$S = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Se recomienda, para facilitar los cálculos, intercambiar primero la primera fila ($F_1$) por la segunda ($F_2$) para trabajar con un 1 en la posición del pivote $a_{11}$. Escribe la matriz final obtenida.

Un analista de redes sociales estudia la interacción entre tres influencers. La matriz de adyacencia $M$ muestra las menciones directas entre ellos. Para simplificar el estudio del rango de conexiones, se requiere triangular la matriz:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

Utiliza el método de Gauss para transformar $M$ en una matriz triangular superior.

Dada la siguiente matriz $B$, que representa los niveles de stock de dos almacenes de una tienda de ropa deportiva:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & k \end{pmatrix}$$

Determina el valor del parámetro real $k$ para que, al aplicar el método de Gauss para triangular la matriz, la segunda fila se convierta en una fila de ceros. ¿Qué podrías decir sobre el rango de la matriz en ese caso?

En el cálculo del rango de una matriz, es fundamental identificar filas dependientes. Considera la matriz $C$:

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$$

Aplica el método de Gauss. ¿Cuántas filas no nulas quedan tras realizar la triangulación? Justifica, a partir del resultado, cuál es el rango de la matriz $C$.

Una empresa de logística utiliza una matriz para organizar el inventario de tres almacenes regionales ($A_1, A_2, A_3$) respecto a cuatro tipos de productos (electrónica, textil, hogar y alimentación). La matriz de existencias es la siguiente:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & 7 & -2 & 7 \end{pmatrix}$$

Utiliza el método de Gauss para determinar el rango de la matriz $M$. ¿Qué significa, desde el punto de vista del inventario, que el rango no sea máximo?

Una empresa de logística urbana organiza las rutas de sus furgonetas eléctricas de reparto en tres distritos. La matriz $D$ describe las rutas posibles. Para optimizar el sistema, el equipo técnico necesita conocer el rango de dicha matriz mediante Gauss:

$$D = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Realiza las transformaciones necesarias para triangular la matriz y determina si alguna ruta es redundante (si alguna fila depende de las demás).

Tres servidores de una red, $S_1$, $S_2$ y $S_3$, intercambian paquetes de datos. La relación de dependencias entre sus flujos se expresa en la matriz $K$. Para analizar la independencia de los flujos, calcula el rango de $K$ aplicando el método de Gauss:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Visualiza el problema como un grafo de dependencias.

Un programador de videojuegos está trabajando en la detección de colisiones. Para simplificar los cálculos, necesita saber si los vectores de dirección de tres objetos son linealmente independientes. Los vectores forman las filas de la matriz $D$:

$$D = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & -8 \end{pmatrix}$$

Aplica el método de Gauss para triangular la matriz y determina si el programador puede simplificar su sistema eliminando algún vector sobrante (es decir, si el rango es menor que 3).

El siguiente grafo muestra la red de servidores de una pequeña red local. La matriz de adyacencia asociada indica las conexiones directas entre los nodos $S_1, S_2, S_3$ y $S_4$.

Si la matriz de adyacencia de este grafo es $A$, utiliza el método de Gauss para hallar el rango de la matriz $A^2$.

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

En el estudio de la estabilidad de una estructura metálica, se ha obtenido la siguiente matriz que depende de un parámetro real $k$, el cual representa la tensión en un nodo:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ 2 & 1 & k \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Determina, empleando el método de Gauss, para qué valores de $k$ el rango de la matriz es igual a 2.

Discute el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $m$ utilizando el método de Gauss:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & m & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$$

¿Existe algún valor de $m$ para el cual la matriz sea invertible? Razona tu respuesta basándote en el rango obtenido.

Determina el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los valores del parámetro real $k$, utilizando exclusivamente el método de Gauss:

$A = \begin{pmatrix} 1 & k & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -k & 2 \\ k & 1 & -1 & k \end{pmatrix}$

Analiza detalladamente los casos en los que el rango sea máximo y los valores de $k$ que provocan una reducción en el número de filas linealmente independientes.

Dada la matriz $A$, calcula su rango según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Emplea el método de Gauss para transformar la matriz en una forma escalonada y discute todas las combinaciones posibles de $a$ y $b$ que afecten a la independencia lineal de las filas.

Considera la matriz cuadrada de orden 4 dependiente del parámetro $m$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ m & 2 & 2 & 2 \\ 1 & m & 3 & 3 \\ 1 & 1 & m & 4 \end{pmatrix}$

Utiliza el método de Gauss para triangular la matriz y determinar para qué valores de $m$ el rango de $B$ es inferior a 4. ¿Existe algún valor de $m$ para el cual el rango sea 2? Justifica tu respuesta tras el proceso de reducción.

Halla la matriz inversa de la matriz cuadrada $A$ de orden 2 utilizando el método de Gauss-Jordan:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Halla la matriz inversa de $B$ por el método de Gauss-Jordan, sabiendo que $B$ es una matriz escalar modificada por un error de lectura en uno de sus componentes:

$$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Muestra todos los pasos intermedios de las operaciones elementales por fila.

Calcula la matriz inversa de $A$ mediante el algoritmo de Gauss-Jordan. La matriz representa una transformación de coordenadas en un software de diseño técnico:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Comprueba que el proceso es correcto verificando que $A \cdot A^{-1} = I$.

Calcula la matriz inversa de $M$ mediante el método de Gauss-Jordan, mostrando todos los pasos intermedios de las transformaciones elementales por filas:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Una vez obtenida $M^{-1}$, comprueba el resultado verificando que $M \cdot M^{-1} = I$.

En el diseño de una red de servidores para una nueva red social, se han establecido conexiones de transferencia de datos representadas por la siguiente matriz de adyacencia $S$. Debido a un error en el protocolo, la transferencia solo es estable si la matriz es invertible.

$S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & k & 1 \\ 0 & 1 & k \end{pmatrix}$

Utiliza el método de Gauss para encontrar los valores de $k$ para los cuales la red de servidores es inestable (no invertible). Para el valor $k = 2$, calcula la matriz inversa que representaría el protocolo de retorno de datos.

Un sistema de encriptación utiliza una matriz $E$ para codificar mensajes de tres letras transformándolos en vectores columna. Para poder desencriptar, se requiere la matriz $D = E^{-1}$. Si la matriz de encriptación es:

$E = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Calcula la matriz de desencriptación $D$ mediante el método de Gauss-Jordan. Trabaja con fracciones para mantener la precisión exacta necesaria en el cifrado.

Dadas las matrices $A$ y $B$, resuelve la ecuación matricial $A \cdot X = B$ hallando primero la inversa de $A$ por el método de Gauss:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Resuelve la ecuación matricial $A \cdot X \cdot A = B$, donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Para ello, obtén primero la inversa de $A$ mediante el método de Gauss y posteriormente despeja $X$ realizando los productos matriciales correspondientes.

Se sabe que una matriz $X$ verifica la relación $A \cdot X = B - 2X$, donde $A$ es una matriz cuadrada. Para poder despejar $X$, la matriz $(A + 2I)$ debe ser invertible. Dadas:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

1. Demuestra razonadamente que $(A + 2I)$ es invertible.

2. Calcula la matriz $X$ obteniendo la inversa necesaria mediante el método de Gauss.