Una florícola de Cayambe quiere decidir cuántas cajas de dos tipos de rosas prepara para exportar. Si dibujas la región factible y evalúas la función objetivo en los vértices, casi siempre sale un ganador claro. Pero a veces dos vértices empatan, o la región no tiene límite, o las restricciones se contradicen y no hay ni un punto posible. ¿Qué haces en cada caso, y cómo lo explicas? Eso es lo que aprenderás aquí, y al final volveremos a esta pregunta.
Solución única: el caso habitual
Región acotada y no acotada
Una región factible es acotada si puedes encerrarla completa dentro de una circunferencia (es un polígono cerrado). Es no acotada si se extiende sin límite en alguna dirección: suele pasar cuando las restricciones son de tipo $\geq$ y no hay ninguna que la cierre.
Practica★☆☆Sin empezar
La figura muestra dos regiones factibles: la del panel A y la del panel B, como se muestra en la figura. Indica cuál de ellas es acotada y cuál no, explicando el…
La figura muestra dos regiones factibles: la del panel A y la del panel B, como se muestra en la figura.
Indica cuál de ellas es acotada y cuál no, explicando el criterio que has usado para decidirlo.
En la figura se ha representado una región factible y una recta de nivel de la función objetivo $F(x, y) = 2x + y$ correspondiente al valor $8$, como se muestra en la…
En la figura se ha representado una región factible y una recta de nivel de la función objetivo $F(x, y) = 2x + y$ correspondiente al valor $8$, como se muestra en la figura.
a) Explica qué particularidad presenta la posición de esa recta respecto de la región.
b) Indica el valor máximo de $F$ y da dos soluciones óptimas distintas.
Maximiza la función objetivo $F(x, y) = 2x + 4y$ sujeta a $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \leq 8$ y $x + y \leq 5$. a) Halla los vértices de la región factible y evalúa…
Maximiza la función objetivo $F(x, y) = 2x + 4y$ sujeta a $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \leq 8$ y $x + y \leq 5$.
a) Halla los vértices de la región factible y evalúa $F$ en ellos.
b) Observarás que el valor máximo se repite en dos vértices: explica qué significa esto y escribe la expresión de todos los puntos óptimos como segmento.
c) Da dos soluciones óptimas de coordenadas enteras.
Cuando hay solución múltiple, la respuesta completa es el segmento con sus extremos y, si lo piden, algunos puntos concretos.
Practica★★★Sin empezar
Demuestra que con las restricciones $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 4$ y $x + 2y \leq 5$, la función objetivo $F(x, y) = x + 2y$ alcanza su valor máximo en infinitos…
Demuestra que con las restricciones $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 4$ y $x + 2y \leq 5$, la función objetivo $F(x, y) = x + 2y$ alcanza su valor máximo en infinitos puntos de la región factible.
a) Halla los vértices de la región y el valor máximo de $F$.
b) Identifica el segmento de puntos óptimos escribiendo sus extremos.
c) Da tres soluciones óptimas distintas, dos de ellas de coordenadas enteras.
Un festival benéfico vende abonos generales ($x$) y abonos con zona de campamento ($y$). Por el contrato con el recinto debe cumplirse $2x + 3y \leq 120$ (unidades de…
Un festival benéfico vende abonos generales ($x$) y abonos con zona de campamento ($y$). Por el contrato con el recinto debe cumplirse $2x + 3y \leq 120$ (unidades de espacio) y $x + y \leq 50$ (aforo), y la organización se compromete con el patrocinador a vender al menos $12$ abonos generales: $x \geq 12$. La recaudación es $F(x, y) = 20x + 30y$ dólares.
a) Plantea el sistema completo y halla los vértices de la región factible.
b) Calcula la recaudación máxima.
c) Comprueba que el máximo se alcanza en dos vértices a la vez y explica qué particularidad tiene la función objetivo respecto de una de las restricciones.
d) Da tres combinaciones enteras distintas de abonos que produzcan la recaudación máxima.
¿Cómo saber si $F$ crece sin límite? Mira las direcciones en las que la región se abre. Si para $F=px+qy$ te desplazas en la dirección $(u,v)$, el valor cambia en $pu+qv$ por cada paso.
Si $pu+qv>0$ en alguna dirección de apertura, no hay máximo.
Si $pu+qv<0$ en alguna, no hay mínimo.
Practica★☆☆Sin empezar
Verdadero o falso, razonando la respuesta: «Si la región factible de un problema de programación lineal no es acotada, el problema nunca tiene solución óptima». Ilustra…
Verdadero o falso, razonando la respuesta: «Si la región factible de un problema de programación lineal no es acotada, el problema nunca tiene solución óptima». Ilustra tu razonamiento con el ejemplo de $F(x, y) = x + y$ en la región $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 2$.
Sea la región definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 3$ y $3x + y \geq 5$. a) Comprueba que no es acotada y halla sus vértices. b) Estudia si la función…
Sea la región definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 3$ y $3x + y \geq 5$.
a) Comprueba que no es acotada y halla sus vértices.
b) Estudia si la función objetivo $F(x, y) = 3x + 2y$ alcanza un máximo en la región.
c) Estudia si alcanza un mínimo y, en caso afirmativo, calcúlalo.
Sea la región no acotada definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 2$ y $2x + y \geq 2$, y la función objetivo $F(x, y) = x - 2y$. a) Halla los vértices de la…
Sea la región no acotada definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 2$ y $2x + y \geq 2$, y la función objetivo $F(x, y) = x - 2y$.
a) Halla los vértices de la región.
b) Exhibe una familia de puntos factibles que demuestre que $F$ no alcanza ningún máximo.
c) Exhibe otra familia de puntos factibles que demuestre que $F$ tampoco alcanza ningún mínimo.
d) ¿Qué condición sobre los coeficientes de la función objetivo y la dirección en que crece la región explica este comportamiento?
Las rectas no tienen por qué ser paralelas. Si hay un tope en un recurso y una demanda mínima que lo supera, el sistema también se contradice.
Practica★☆☆Sin empezar
Representa las rectas $x + y = 2$ y $x + y = 5$ y justifica, a partir del dibujo, que el sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 2$ y $x + y \geq 5$ no…
Representa las rectas $x + y = 2$ y $x + y = 5$ y justifica, a partir del dibujo, que el sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 2$ y $x + y \geq 5$ no tiene ninguna solución. ¿Cómo se dice en programación lineal que la región factible es vacía?
Una pastelería recibe un encargo de al menos $50$ tartas y $40$ brazos de gitano para una semana. Cada tarta requiere $2$ horas de obrador y cada brazo, $1$ hora, y el…
Una pastelería recibe un encargo de al menos $50$ tartas y $40$ brazos de gitano para una semana. Cada tarta requiere $2$ horas de obrador y cada brazo, $1$ hora, y el obrador solo dispone de $60$ horas semanales.
a) Plantea el sistema de restricciones y demuestra que la región factible es vacía.
b) Propón una modificación de un único dato del enunciado que haga el problema factible, y compruébalo.
A veces un coeficiente o un término independiente es una letra. Entonces el tipo de solución depende de su valor, y hay que discutir.
Parámetro en una restricción
Parámetro en la función objetivo
Practica★★☆Sin empezar
Sea la región no acotada definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \geq 4$ y $2x + y \geq 4$, y la función objetivo $F(x, y) = ax + 2y$ con $a > 0$. a) Halla los…
Sea la región no acotada definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \geq 4$ y $2x + y \geq 4$, y la función objetivo $F(x, y) = ax + 2y$ con $a > 0$.
a) Halla los vértices de la región.
b) Evalúa $F$ en cada vértice.
c) Discute, según los valores de $a$, en qué punto se alcanza el mínimo de $F$, señalando los casos con solución múltiple.
Considera el sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 6$ y $x + 2y \leq k$, donde $k$ es un parámetro real. a) Representa la situación para $k = 4$,…
Considera el sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 6$ y $x + 2y \leq k$, donde $k$ es un parámetro real.
a) Representa la situación para $k = 4$, $k = 6$ y $k = 10$.
b) Determina para qué valores de $k$ la región factible es vacía, para cuáles consta de un único punto y para cuáles tiene área positiva.
Vuelve al principio: la florícola de Cayambe puede encontrarse con un ganador único, con un segmento de empates, con una región abierta sin máximo o con restricciones que se contradicen. Ahora sabes reconocer cada caso y justificarlo.
Resumen
¡A practicar! 4 ejercicios de nivel medio en este apartado