Término general de una sucesión
En el laboratorio del colegio, un cultivo de bacterias duplica su cantidad cada 20 minutos. En una cooperativa de ahorro, el capital crece un porcentaje cada año. Un carro pierde valor con los años. En todos los casos hay una lista ordenada de números, y te conviene tener una fórmula que te dé cualquiera de ellos sin calcular todos los anteriores. En este apartado vas a aprender a encontrar esa fórmula, el término general, y a trabajar con sucesiones dadas por recurrencia.
El término general
Por ejemplo, con $a_n = \dfrac{2n-1}{n+3}$:
$$a_1 = \frac{1}{4},\quad a_2 = \frac{3}{5},\quad a_3 = \frac{5}{6},\quad a_4 = \frac{7}{7} = 1,\ \ldots$$Escribe una expresión y observa cómo cambian las barras al avanzar $n$:
Cuadrados encajados
Toma un cuadrado de área $1$. Une los puntos medios de sus lados y obtendrás un cuadrado inclinado dentro del primero. Repite el procedimiento con el nuevo cuadrado, y así siguiendo. Sea $a_n$ el área del $n$-ésimo cuadrado.
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula sus cinco primeros términos.
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula sus cinco primeros términos.
Si el término general de una sucesión es $b_n = n^2 - 5n + 6$, averigua qué valor exacto tiene el término que ocupa la posición vigésima ($b_{20}$).
Si el término general de una sucesión es $b_n = n^2 - 5n + 6$, averigua qué valor exacto tiene el término que ocupa la posición vigésima ($b_{20}$).
Comprueba matemáticamente si el número $47$ pertenece a la sucesión de término general $c_n = 3n + 2$. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupa en dicha sucesión.
Comprueba matemáticamente si el número $47$ pertenece a la sucesión de término general $c_n = 3n + 2$. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupa en dicha sucesión.
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, halla la expresión del término general de la sucesión diferencia definida como $d_n = a_{n+1} - a_n$ y…
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, halla la expresión del término general de la sucesión diferencia definida como $d_n = a_{n+1} - a_n$ y simplifica el resultado al máximo.
Sucesiones aritméticas y geométricas
Dos casos que ya conoces de 10.° de EGB dan fórmulas directas.
El porqué: para llegar al término $n$ desde el primero hay que dar $n-1$ pasos, y cada paso suma $d$ o multiplica por $r$.
Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión aritmética: $5, 9, 13, 17, 21, \dots$
Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión aritmética:
$5, 9, 13, 17, 21, \dots$
Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión geométrica: $3, -6, 12, -24, 48, \dots$
Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión geométrica:
$3, -6, 12, -24, 48, \dots$
Averigua el término general de la sucesión $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ y utilízalo para calcular el valor exacto del término que ocupa la posición quincuagésima ($a_{50}$).
Averigua el término general de la sucesión $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ y utilízalo para calcular el valor exacto del término que ocupa la posición quincuagésima ($a_{50}$).
Numerador y denominador por separado
Cuando los términos son fracciones, conviene estudiar los numeradores y los denominadores como dos sucesiones independientes y combinarlas al final.
Escribe el término general $f_n$ de la siguiente sucesión de fracciones: $\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$
Escribe el término general $f_n$ de la siguiente sucesión de fracciones:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$
Encuentra el término general $a_n$ de la siguiente sucesión combinando los patrones que rigen su numerador y su denominador de forma independiente:…
Encuentra el término general $a_n$ de la siguiente sucesión combinando los patrones que rigen su numerador y su denominador de forma independiente:
$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$
Signos alternados
El factor $(-1)^n$ cambia el signo en cada término: da $-1$ si $n$ es impar y $1$ si $n$ es par.
Escribe el término general de una sucesión cuyos términos son números enteros consecutivos pero con signos alternados: $-1, 2, -3, 4, -5, \dots$
Escribe el término general de una sucesión cuyos términos son números enteros consecutivos pero con signos alternados:
$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$
Encuentra un único término general explícito $a_n$ para la sucesión $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizando la expresión $(-1)^n$ para unificar el comportamiento…
Encuentra un único término general explícito $a_n$ para la sucesión $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizando la expresión $(-1)^n$ para unificar el comportamiento dispar que presentan los términos pares y los términos impares.
Otros patrones: cuadrados y fórmulas con $n^2$
No todas las sucesiones son aritméticas o geométricas. Si las diferencias entre términos consecutivos no son constantes, prueba a comparar los términos con los cuadrados $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ o con otras potencias de $n$.
Cuando las diferencias de las diferencias son constantes, el término general es un polinomio de segundo grado $an^2+bn+c$. Para hallarlo se plantean los primeros términos.
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por hexágonos adyacentes que comparten uno o varios lados. La Figura 1 está formada por 6 palillos, la Figura 2 por 11…
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por hexágonos adyacentes que comparten uno o varios lados. La Figura 1 está formada por 6 palillos, la Figura 2 por 11 palillos y la Figura 3 por 16 palillos. Escribe el término general del número de palillos $P_n$ necesarios para construir la Figura $n$.
En una red de computadoras, el número total de conexiones directas posibles entre $n$ equipos (si todos están conectados físicamente con todos) forma una sucesión $C_n$.…
En una red de computadoras, el número total de conexiones directas posibles entre $n$ equipos (si todos están conectados físicamente con todos) forma una sucesión $C_n$. Sabiendo que $C_1 = 0$, $C_2 = 1$, $C_3 = 3$, y $C_4 = 6$, determina el término general $C_n$. A partir de él, deduce cuántos equipos componen una red que tiene exactamente $1225$ conexiones directas.
Leyes de recurrencia
Una sucesión también puede darse por recurrencia: se indican los primeros términos y una regla que calcula cada término a partir de los anteriores. Los cuadrados encajados de arriba son un ejemplo: $a_1 = 1$ y $a_n = \tfrac12 a_{n-1}$.
$$a_1 = 2, \qquad a_n = 3a_{n-1} - 1 \ (n \ge 2) \quad\Rightarrow\quad 2,\ 5,\ 14,\ 41,\ \ldots$$Dada la ley de recurrencia $a_1 = 2$ y $a_n = 3a_{n-1} - 1$ para $n \ge 2$, calcula los cuatro primeros términos de la sucesión.
Dada la ley de recurrencia $a_1 = 2$ y $a_n = 3a_{n-1} - 1$ para $n \ge 2$, calcula los cuatro primeros términos de la sucesión.
Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula…
Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula los términos de la sucesión hasta $x_6$ y deduce una fórmula explícita para el término general $x_n$ en función de potencias de $2$.
Se define la sucesión $a_n$ mediante la relación de recurrencia $a_1 = 3$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \ge 2$. Para encontrar su término general explícito, define una…
Se define la sucesión $a_n$ mediante la relación de recurrencia $a_1 = 3$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \ge 2$. Para encontrar su término general explícito, define una nueva sucesión auxiliar $b_n = a_n + 1$. Demuestra que $b_n$ es una progresión geométrica, halla su término general $b_n$ y, a partir de él, deduce el término general de $a_n$.
Sucesiones que modelizan situaciones
Poblaciones, depreciaciones, entrenamientos o ahorros en una cooperativa se describen con sucesiones. El primer paso es identificar si en cada etapa se suma o se multiplica algo fijo, y si $n$ empieza en $0$ o en $1$.
Una población de algas microscópicas en un lago controlado triplica su superficie cubierta cada semana. Si en la primera semana (semana $n=1$) cubren una superficie de…
Una población de algas microscópicas en un lago controlado triplica su superficie cubierta cada semana. Si en la primera semana (semana $n=1$) cubren una superficie de $2 \text{ m}^2$:
- a) Escribe el término general $S_n$ que representa la superficie cubierta al cabo de $n$ semanas.
- b) Calcula cuántas semanas completas deben pasar para que la superficie cubierta supere por primera vez los $1000 \text{ m}^2$.
El valor de mercado de un auto nuevo es de $24\,000$ dólares. Se estima que cada año pierde un $15\,\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Encuentra el…
El valor de mercado de un auto nuevo es de $24\,000$ dólares. Se estima que cada año pierde un $15\,\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Encuentra el término general $V_n$ que expresa el valor del auto al cabo de $n$ años (considerando $n=0$ el momento de la compra), y determina su valor estimado al cabo de $5$ años.
Un atleta aficionado se prepara para una media maratón. El primer día de entrenamiento corre $5$ km, y decide aumentar la distancia diaria en $500$ metros exactos…
Un atleta aficionado se prepara para una media maratón. El primer día de entrenamiento corre $5$ km, y decide aumentar la distancia diaria en $500$ metros exactos respecto al día anterior. Expresa el término general $d_n$ de la distancia en kilómetros recorrida el día $n$. ¿Qué día de su entrenamiento correrá exactamente $15$ km?
Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote contra el suelo, la pelota alcanza una altura igual a $\frac{3}{4}$ de la altura…
Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote contra el suelo, la pelota alcanza una altura igual a $\frac{3}{4}$ de la altura máxima alcanzada en el rebote inmediatamente anterior. Escribe el término general $h_n$ de la altura alcanzada tras el $n$-ésimo rebote. Utilizando logaritmos, determina después de cuántos rebotes la altura máxima será por primera vez inferior a $1$ metro.
Más modelos: recurrencia, crecimiento y cotas
A veces la situación se describe mejor con una recurrencia que con una fórmula directa. Un caso típico es el dinero que crece con un porcentaje y al que se le descuenta o se le suma una cantidad fija.
Sucesiones crecientes
Si $a_{n+1} - a_n > 0$ para todo $n$, cada término es mayor que el anterior: la sucesión es estrictamente creciente. Si la diferencia es siempre negativa, es estrictamente decreciente.
Sucesiones acotadas
Para probar que $k$ es cota superior, se plantea la desigualdad $a_n \le k$ para un $n$ cualquiera y se la transforma con álgebra (por ejemplo, estudiando el signo de $k - a_n$) hasta llegar a algo evidente. Con las cotas inferiores se hace lo mismo con $a_n - m$.
Se construye un fractal geométrico a partir de un triángulo equilátero de área $A$. En cada paso, se unen los puntos medios de los lados de los triángulos no sombreados…
Se construye un fractal geométrico a partir de un triángulo equilátero de área $A$. En cada paso, se unen los puntos medios de los lados de los triángulos no sombreados para formar 4 triángulos más pequeños, y se sombrea exclusivamente el central. Encuentra el término general $T_n$ que expresa el número de nuevos triángulos sombreados que se añaden en el paso $n$, y el término general $A_n$ para el área de uno solo de esos nuevos triángulos añadidos en el paso $n$.
Demuestra matemáticamente, estudiando el signo algebraico de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, si la sucesión $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ es estrictamente creciente o…
Demuestra matemáticamente, estudiando el signo algebraico de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, si la sucesión $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Estudia la acotación de la sucesión $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Para ello, demuestra algebraicamente que la sucesión está acotada inferiormente por $\frac{7}{3}$ y…
Estudia la acotación de la sucesión $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Para ello, demuestra algebraicamente que la sucesión está acotada inferiormente por $\frac{7}{3}$ y superiormente por $\frac{5}{2}$.
Se invierten $5\,000$ dólares en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\,\%$. Sin embargo, al final de cada año y tras aplicar los intereses,…
Se invierten $5\,000$ dólares en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\,\%$. Sin embargo, al final de cada año y tras aplicar los intereses, la entidad deduce $50$ dólares fijos en concepto de comisiones de gestión. Escribe la ley de recurrencia para el capital $C_n$ acumulado al final del año $n$ (siendo $C_0 = 5000$), y calcula el capital en los tres primeros años ($C_1, C_2, C_3$).