Recta de regresión de y sobre x

Conocidos los parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: media de $X$ igual a $4$, media de $Y$ igual a $6$, varianza de $X$ igual a $1,5$ y covarianza igual a $3$. Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

Dada la siguiente tabla con tres pares de valores de una distribución bidimensional:

• $X$: $1 \quad 2 \quad 3$

• $Y$: $2 \quad 4 \quad 5$

Calcula la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

Una distribución bidimensional tiene por matriz de datos los siguientes sumatorios: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, y el número total de observaciones es $N = 10$. Calcula la covarianza y la varianza de $X$, y escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

En una distribución bidimensional se sabe que las desviaciones típicas son $\sigma_x = 2$ y $\sigma_y = 5$, y el coeficiente de correlación lineal es $r = -0,8$. Calcula la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ sabiendo que el centro de gravedad de la distribución es el punto $(10, 20)$.

Una empresa de marketing digital ha recopilado datos sobre la inversión en campañas de redes sociales ($X$, en miles de dólares) y los ingresos generados por ventas ($Y$, en decenas de miles de dólares) durante $5$ meses consecutivos:

• $X$: $2,5 \quad 3,0 \quad 3,5 \quad 4,0 \quad 4,5$

• $Y$: $12 \quad 14 \quad 15 \quad 18 \quad 19$

Calcula la recta de regresión de los ingresos en función de la inversión y estima los ingresos esperados si se invierten $5000$ dólares.

En un estudio de biomecánica, se analiza la relación entre la longitud del fémur ($X$, en cm) y la altura de un individuo ($Y$, en cm). Se dispone de los siguientes resúmenes estadísticos para una muestra de $50$ personas:

$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3,2$, $\sigma_y = 8,5$, $r = 0,92$.

Halla la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y estima la altura de una persona cuyo fémur mide $48$ cm. Justifica brevemente la fiabilidad de esta estimación.

En un centro meteorológico se relaciona la presión atmosférica ($X$, en hPa) con la probabilidad de precipitación ($Y$, en $\%$). Sabiendo que el centro de gravedad de la distribución es el punto $(1013, 40)$, la desviación típica de la presión es $5$ hPa, la de la probabilidad es $20\%$, y el coeficiente de correlación lineal es $-0,85$, halla la ecuación de la recta de regresión que permite estimar la probabilidad de lluvia conociendo la presión atmosférica.

Se ha estudiado la relación entre la cantidad de impurezas en una aleación metálica ($X$, en $\%$ ) y su resistencia a la tracción ($Y$, en MPa). Tras analizar $20$ muestras, se obtuvo $\bar{x} = 2,1$, $\bar{y} = 450$, y una recta de regresión de $Y$ sobre $X$ dada por $y = -15x + 481,5$. Calcula la covarianza de la distribución si se sabe que la varianza de las impurezas es $\sigma_x^2 = 0,8$.

Se dispone de un conjunto de datos bivariantes $(x_i, y_i)$ donde la variable $X$ toma los valores $1, 2, 3, 4$ y la variable $Y$ toma los valores $2, k, 5, 8$. Sabiendo que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx} = 1,9$, plantea una ecuación y determina el valor exacto del parámetro $k$.

Un ingeniero civil estudia la relación entre la carga soportada por una viga ($X$, en toneladas) y su deformación máxima ($Y$, en milímetros). Se han perdido algunos datos del informe original, pero se sabe que la media de la carga es $\bar{x} = 15$, la varianza de la carga es $\sigma_x^2 = 16$, la covarianza es $\sigma_{xy} = 18$, el coeficiente de correlación es $r = 0,9$ y la ordenada al origen de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $b = 2$. Calcula la media de la deformación $\bar{y}$, la desviación estándar $\sigma_y$ y la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

En un estudio sobre la relación entre la cantidad de fertilizante aplicado ($X$, en kg/ha) y la producción obtenida ($Y$, en toneladas/ha), se ha calculado la recta de regresión de $Y$ sobre $X$, resultando ser $y = 0,4x + 2,1$. Estima la producción que se obtendrá si se aplican $15$ kg/ha de fertilizante.

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bidimensional es $y = 1,2x - 0,5$. Si sabemos que la media marginal de la variable $X$ es $\bar{x} = 3$, ¿cuál es el valor exacto de la media marginal $\bar{y}$?

Las variables $X$ e $Y$ representan, respectivamente, el número de horas de entrenamiento semanal y el tiempo en segundos en recorrer $100$ metros lisos de un grupo de atletas. Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0,5x + 14$, interpreta el significado físico de la pendiente de esta recta en el contexto del problema.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre los años de experiencia de un grupo de técnicos y su salario mensual en cientos de dólares, junto con la recta de regresión de $Y$ sobre $X$. A partir de la representación gráfica, estima visualmente el salario esperado para un técnico con $6$ años de experiencia y determina la ordenada al origen de la recta.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la profundidad a la que se encuentra una veta de mineral ($X$, en metros) y el costo de extracción por tonelada ($Y$, en miles de dólares). La recta trazada es la de regresión de $Y$ sobre $X$. A partir del gráfico, obtén las coordenadas de los dos puntos marcados sobre la recta, calcula su ecuación exacta y estima el costo de extracción para una profundidad de $120$ metros.

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = 0,5x + 4$ y $x = 1,6y - 2$. Determina las coordenadas del centro de gravedad de la distribución y el coeficiente de correlación lineal $r$, indicando razonadamente su signo.

El siguiente gráfico muestra una nube de puntos que relaciona la velocidad de un vehículo ($X$, en km/h) con la distancia de frenado ($Y$, en metros). Se han trazado las dos rectas de regresión: la Recta A (en azul) y la Recta B (en verde). Identifica razonadamente, basándote en las propiedades de las pendientes, cuál de las dos rectas es la de regresión de $Y$ sobre $X$ y halla su ecuación sabiendo que ambas se cortan en el punto $(80, 40)$ y que la azul pasa por $(100, 56)$.

En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, la variable $X$ representa la irradiancia solar ($W/m^2$) y la variable $Y$ la potencia eléctrica generada ($W$). Se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ viene dada por $y = 0,18x + 5$, y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ por $x = 5y - 10$. Calcula las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$, y halla el porcentaje exacto de la variabilidad de la potencia eléctrica que queda explicada por la irradiancia solar.

En un análisis macroeconómico, se relaciona la tasa de inflación ($X$, en $\%$ ) con la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0,6x + 8$. Si la varianza marginal de la inflación es $\sigma_x^2 = 4$ y la varianza marginal del desempleo es $\sigma_y^2 = 2,25$, determina el coeficiente de correlación lineal $r$ y el porcentaje de la variabilidad del desempleo que queda explicada por el modelo de regresión lineal.

Se ha estudiado una distribución bidimensional de $100$ pares de valores. Se sabe que la suma de los cuadrados de los residuos (la suma de las diferencias al cuadrado entre los valores reales observados $y_i$ y los estimados por la recta $\hat{y}_i$) es igual a $150$. Si la varianza marginal de la variable $Y$ es $\sigma_y^2 = 4$, halla el coeficiente de determinación $R^2$ utilizando la relación $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = N \cdot \sigma_y^2 (1 - r^2)$, y calcula el valor absoluto de la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ sabiendo que la varianza marginal de $X$ es $\sigma_x^2 = 9$.

Demuestra analíticamente que si las variables $X$ e $Y$ tienen una correlación lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), entonces la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ coincide exactamente con la recta de regresión de $X$ sobre $Y$. Explica brevemente qué implicación geométrica tiene esto sobre el ángulo que forman ambas rectas en el plano.

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bivariante es $y = 3x - 2$. Si a todos los valores observados de la variable $X$ se les suma $4$ unidades y a todos los valores de la variable $Y$ se les multiplica por $2$, ¿cuál será la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$?

En una investigación farmacéutica, se modeliza la concentración de un principio activo en sangre ($Y$, en mg/L) en función de la dosis administrada ($X$, en mg). Si realizamos un cambio de variable estandarizando ambas variables, es decir, definimos $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$, demuestra algebraicamente que la recta de regresión de $Z_y$ sobre $Z_x$ pasa por el origen de coordenadas y que su pendiente es exactamente el coeficiente de correlación lineal $r$.

En un experimento de termodinámica se mide la temperatura de un líquido ($Y$, en ºC) en función del tiempo transcurrido ($X$, en minutos). La recta de regresión obtenida es $y = -1,5x + 85$. Sabiendo que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,95$ y que el experimento tuvo una duración total de $30$ minutos, ¿es fiable estimar la temperatura a los $45$ minutos usando esta recta? Justifica tu respuesta basándote en los conceptos de interpolación y extrapolación.