Sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas. Clasificación
Dos amigos compran en el bar del colegio: uno se lleva 2 empanadas y 1 cola, el otro 1 empanada y 2 colas. ¿Alcanzan esos datos para saber cuánto cuesta cada cosa? Depende de cómo se relacionen las ecuaciones. En esta página repasas cómo clasificar un sistema de dos incógnitas y extiendes la idea a tres incógnitas y a la escritura con matrices; al final hay ampliaciones.
Repaso: clasificar un sistema de dos incógnitas
Si las rectas se cortan en un punto, hay una solución. Si son paralelas, no hay ninguna. Si son la misma recta, todos sus puntos son solución.
Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones de dos incógnitas según el número de soluciones que presentan (Sistema Compatible Determinado, Sistema Compatible…
Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones de dos incógnitas según el número de soluciones que presentan (Sistema Compatible Determinado, Sistema Compatible Indeterminado o Sistema Incompatible) tras intentar resolverlos por el método que prefieras:
- a) $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 6y = 15 \end{cases}$
- b) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$
- c) $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases}$
Dadas las rectas $r$ y $s$ representadas en el siguiente gráfico, escribe el sistema de ecuaciones que definen su intersección y clasifícalo según su geometría.
Dadas las rectas $r$ y $s$ representadas en el siguiente gráfico, escribe el sistema de ecuaciones que definen su intersección y clasifícalo según su geometría.
Dos drones de vigilancia, $D_1$ y $D_2$, se desplazan por un plano siguiendo trayectorias rectilíneas dadas por las siguientes ecuaciones: Drone 1: $2x - 3y = 5$ Drone…
Dos drones de vigilancia, $D_1$ y $D_2$, se desplazan por un plano siguiendo trayectorias rectilíneas dadas por las siguientes ecuaciones:
Drone 1: $2x - 3y = 5$
Drone 2: $x + ky = 2$
Se pide:
- a) Determina el valor del parámetro $k$ para que los drones choquen en un punto (el sistema sea compatible determinado).
- b) ¿Existe algún valor de $k$ para el que los drones sigan trayectorias paralelas pero nunca se encuentren? Justifica tu respuesta usando rangos.
- c) Representa gráficamente la situación si $k = -1,5$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Tres incógnitas: la terna solución
Con tres incógnitas, cada ecuación $ax+by+cz=d$ representa un plano en el espacio. La solución de un sistema de tres ecuaciones es una terna $(x; y; z)$: el punto, la recta o el plano donde coinciden los tres planos a la vez.
Según cómo se ubiquen los planos hay varios casos:
| Posición de los planos | Tipo de sistema |
|---|---|
| Se cortan en un único punto | SCD |
| Se cortan en una recta común (o son dos coincidentes y uno que los corta) | SCI |
| Los tres coinciden | SCI |
| Dos son paralelos, o se cortan de dos en dos sin punto común | SI |
Con dos ecuaciones y tres incógnitas nunca puede ser SCD: o es SCI (infinitas soluciones) o es SI (ninguna). Se resuelve escalonando y dejando una incógnita libre.
Un sistema escalonado se resuelve de abajo hacia arriba: de la última ecuación sale una incógnita, y se sustituye hacia arriba.
Comprueba si la terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones:…
Comprueba si la terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones:
$\begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = 9 \end{cases}$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de tres incógnitas que ya se encuentra en forma escalonada:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de tres incógnitas que ya se encuentra en forma escalonada:
$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ \quad \quad 3y + 2z = 7 \\ \quad \quad \quad \quad 4z = 8 \end{cases}$
Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observa el esquema y describe qué tipo de sistema (SCD, SCI o SI)…
Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observa el esquema y describe qué tipo de sistema (SCD, SCI o SI) representaría la intersección de dos planos que son paralelos entre sí.
Plantear un sistema desde un problema
Muchos problemas se resuelven pasando el enunciado a ecuaciones: cada dato que relaciona las incógnitas da una ecuación. Primero decide qué representa cada incógnita y después traduce cada frase.
En una tienda de periféricos gaming, tres amigos compran diferentes productos. Marcos compra 2 ratones y 1 teclado por $110$ dólares. Julia compra 1 ratón y 2 teclados…
En una tienda de periféricos gaming, tres amigos compran diferentes productos.
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Marcos compra 2 ratones y 1 teclado por $110$ dólares.
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Julia compra 1 ratón y 2 teclados por $130$ dólares.
Plantea un sistema de ecuaciones lineales para determinar el precio de cada artículo y clasifícalo según el número de soluciones que esperas obtener.
Un equipo de E-sports ha ganado un premio de 12.000 dólares que se debe repartir entre sus tres integrantes: el capitán (A), el estratega (B) y el francotirador (C). Se…
Un equipo de E-sports ha ganado un premio de 12.000 dólares que se debe repartir entre sus tres integrantes: el capitán (A), el estratega (B) y el francotirador (C). Se sabe que:
-
La suma de lo que reciben B y C es igual a lo que recibe A.
-
Si el estratega (B) recibiera 1.000 dólares más, tendría exactamente lo mismo que el francotirador (C).
- a) Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para determinar cuánto recibe cada uno.
- b) Clasifica el sistema y resuélvelo.
Tres empresas de mensajería ($P_1, P_2, P_3$) se reparten el mercado de una ciudad. Cada mes, el 20% de los clientes de $P_1$ se pasan a $P_2$ y el 10% a $P_3$. De los…
Tres empresas de mensajería ($P_1, P_2, P_3$) se reparten el mercado de una ciudad. Cada mes, el 20% de los clientes de $P_1$ se pasan a $P_2$ y el 10% a $P_3$. De los clientes de $P_2$, el 10% se pasa a $P_1$ y el 10% a $P_3$. De los clientes de $P_3$, el 10% se pasa a $P_1$ y el 20% a $P_2$.
Si las cuotas de mercado actuales son $x, y, z$ y queremos que el próximo mes las cuotas se mantengan idénticas (estado de equilibrio), plantea un sistema de ecuaciones. Demuestra que este sistema es compatible indeterminado y calcula la relación entre las cuotas de mercado en el equilibrio.
La forma matricial: A · X = B
Expresa el siguiente sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial $A \cdot X = B$, identificando claramente la matriz de coeficientes $A$, la matriz de…
Expresa el siguiente sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial $A \cdot X = B$, identificando claramente la matriz de coeficientes $A$, la matriz de incógnitas $X$ y la matriz de términos independientes $B$:
$\begin{cases} x - 2y + 3z = 0 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = -1 \end{cases}$
Escribe un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que cumpla simultáneamente: 1. Que sea Compatible Indeterminado. 2. Que una de sus soluciones sea $(1, 0, 2)$.…
Escribe un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que cumpla simultáneamente:
-
Que sea Compatible Indeterminado.
-
Que una de sus soluciones sea $(1, 0, 2)$.
-
Que la matriz de coeficientes sea de la forma:
$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 3 & 0 & b \end{pmatrix}$
Calcula los valores necesarios de $a$ y $b$, y propón unos términos independientes coherentes. Justifica tu construcción mediante el uso de rangos.
Sistemas homogéneos
Geométricamente, todos los planos pasan por el origen, por eso $(0; 0; 0)$ siempre es solución. Por ejemplo, $x+y+z=0$ y $2x+2y+2z=0$ son el mismo plano: una ecuación es múltiplo de la otra y no aporta información nueva.
Sin realizar cálculos complejos, razona por qué el siguiente sistema homogéneo es Compatible Indeterminado analizando la relación entre sus ecuaciones:…
Sin realizar cálculos complejos, razona por qué el siguiente sistema homogéneo es Compatible Indeterminado analizando la relación entre sus ecuaciones:
$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ 3x - y + 2z = 0 \end{cases}$
Se considera el sistema homogéneo dependiente del parámetro $a$: $\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$ a) Clasifica el sistema…
Se considera el sistema homogéneo dependiente del parámetro $a$:
$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$
- a) Clasifica el sistema según los valores de $a$.
- b) Determina para qué valores de $a$ el sistema admite soluciones distintas de la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
- c) Resuelve el sistema para $a = -2$.
Escalonar y comparar rangos
El método de Gauss consiste en operar con las filas de la matriz ampliada (sumar a una fila un múltiplo de otra, intercambiar filas) hasta que quede escalonada: cada fila empieza con más ceros que la anterior. Esas operaciones no cambian las soluciones, y el sistema escalonado se resuelve de abajo hacia arriba.
El rango de una matriz es la cantidad de filas no nulas que quedan al escalonarla. El teorema de Rouché-Frobenius clasifica el sistema comparando el rango de $A$ con el de $A^*$, siendo $n$ la cantidad de incógnitas:
| Rangos | Tipo de sistema |
|---|---|
| $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=n$ | SCD |
$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)| SCI |
|
| $\text{rg}(A)<\text{rg}(A^*)$ | SI |
¿Por qué? Una fila $(0 \;\; 0 \;\; 0 \;|\; k)$ con $k\neq 0$ dice $0=k$, una contradicción: hace crecer el rango de $A^*$ y el sistema no tiene solución. Una fila $(0 \;\; 0 \;\; 0 \;|\; 0)$ no aporta información y deja incógnitas libres. Cuando hay parámetros, se escalona igual y se mira para qué valores cambian los rangos: lo vemos en la sección siguiente.
Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el número de soluciones, utilizando el método de Gauss:…
Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el número de soluciones, utilizando el método de Gauss:
$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \\ 5x + 5y - 2z = 10 \end{cases}$
En caso de que sea compatible, halla su solución o soluciones. Si es indeterminado, escribe la solución en forma paramétrica.
Discutir un sistema con parámetros
Discutir un sistema con parámetros es decir, según el valor de cada parámetro, si es SCD, SCI o SI. El procedimiento es el de Gauss, con una regla: no se puede dividir ni usar como pivote una expresión que podría valer 0. Los valores del parámetro que anulan un pivote son los casos especiales y se estudian aparte.
Esquema para cualquier discusión: (1) escalonar sin dividir por expresiones con parámetro; (2) hallar los valores que anulan los pivotes; (3) en cada caso especial, reemplazar y comparar $\text{rg}(A)$ con $\text{rg}(A^*)$; (4) para el resto de los valores, el sistema es SCD.
Discute la compatibilidad del siguiente sistema en función de los valores del parámetro real $m$, utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius:…
Discute la compatibilidad del siguiente sistema en función de los valores del parámetro real $m$, utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius:
$\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}$
Indica para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los diversos valores de los parámetros reales $a$ y $b$. Resuélvelo únicamente en el caso en que el…
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los diversos valores de los parámetros reales $a$ y $b$. Resuélvelo únicamente en el caso en que el sistema sea compatible indeterminado:
$$\begin{cases} ax + y + z = b \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$Un laboratorio de biotecnología está desarrollando un nuevo suero combinando tres compuestos: $A$, $B$ y $C$. El costo por gramo de cada compuesto depende de un factor…
Un laboratorio de biotecnología está desarrollando un nuevo suero combinando tres compuestos: $A$, $B$ y $C$. El costo por gramo de cada compuesto depende de un factor de importación $k$. El sistema que rige las cantidades necesarias $x, y, z$ (en gramos) para estabilizar 100ml de suero es:
$$\begin{cases} kx + y + z = k \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k \end{cases}$$- a) Determina para qué valores de $k$ el laboratorio no puede determinar una cantidad única de cada compuesto para fabricar el suero.
- b) Si $k = -2$, ¿es posible fabricar el suero siguiendo estas proporciones? Justifica tu respuesta basándote en la compatibilidad del sistema.
Escribir la solución de un sistema indeterminado
Cuando un sistema es SCI, quedan incógnitas libres: tantas como $n-\text{rg}(A)$. A una libre le asignas un parámetro (por ejemplo $\alpha$, con $\alpha\in\mathbb{R}$) y despejas las demás en función de él. Esa es la forma paramétrica de la solución: cada valor de $\alpha$ da una solución distinta.
Si el rango es 1 quedan dos incógnitas libres y hacen falta dos parámetros ($\alpha$ y $\beta$). En un sistema homogéneo SCI se hace igual; por ejemplo, de $x+y+z=0$ sale $(-\alpha-\beta;\ \alpha;\ \beta)$. Geométricamente, un parámetro describe una recta y dos parámetros, un plano.
Dadas las ecuaciones de tres planos en el espacio: $\pi_1: x + y + z = 2$ $\pi_2: 2x + 3y + z = 3$ $\pi_3: kx + 10y + 4z = 11$ a) Determina el valor de $k$ para que los…
Dadas las ecuaciones de tres planos en el espacio:
$\pi_1: x + y + z = 2$
$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$
$\pi_3: kx + 10y + 4z = 11$
- a) Determina el valor de $k$ para que los tres planos se corten en una recta (sistema compatible indeterminado).
- b) Para el valor de $k$ hallado, obtén la ecuación de dicha recta.
- c) ¿Cuál es la posición relativa de los planos si $k = 5$?
Sea el sistema homogéneo dependiente del parámetro $m$: $$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ mx + my + 2z = 0 \end{cases}$$ a) Determina el valor de $m$…
Sea el sistema homogéneo dependiente del parámetro $m$:
$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ mx + my + 2z = 0 \end{cases}$$- a) Determina el valor de $m$ para el cual el sistema admite soluciones distintas de la trivial.
- b) Para dicho valor de $m$, halla la solución general y da una solución particular distinta de la trivial.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales el siguiente sistema tiene infinitas soluciones dependientes de un solo parámetro: $$\begin{cases} x +…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales el siguiente sistema tiene infinitas soluciones dependientes de un solo parámetro:
$$\begin{cases} x + ay + 2z = 3 \\ x + (2a-1)y + (a+2)z = 2b + 3 \\ x + y + az = b \end{cases}$$Para los valores hallados, escribe la solución en forma paramétrica.
Más allá: sistemas de más ecuaciones y construcción de sistemas
Si agregas una ecuación a un sistema, esta puede ser combinación de las anteriores (no cambia nada), contradecirlas (lo vuelve incompatible) o fijar una solución. Con 4 ecuaciones y 3 incógnitas se escalona igual y se mira si alguna fila queda como $0=k$.
Para armar un sistema con una solución dada, reemplaza esa terna en cada ecuación y elige el término independiente que corresponda.
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:…
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:
$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + z = 5 \\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$
Si el sistema es compatible, encuentra la solución única. En caso contrario, indica qué ecuación es la que genera la incompatibilidad.
Dado el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ x + y - 3z = 2 \end{cases}$$ a) Añade una ecuación de la forma $ax + by + cz = d$ para que el sistema…
Dado el sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ x + y - 3z = 2 \end{cases}$$- a) Añade una ecuación de la forma $ax + by + cz = d$ para que el sistema resultante sea compatible determinado y cuya solución sea $(1, 1, 0)$.
- b) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.
- c) ¿Es posible añadir una ecuación para que el sistema sea compatible indeterminado pero con una solución diferente a la del sistema original? Razona la respuesta.
Discute la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas según los valores del parámetro $k$: $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + y - z = 2 \\…
Discute la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas según los valores del parámetro $k$:
$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + y - z = 2 \\ x - y + kz = 1 \\ 3x + 2y + (k-1)z = 5 \end{cases}$$En los casos en que sea compatible, determina si la solución es única.
Vuelve al principio: con 2 empanadas + 1 cola y 1 empanada + 2 colas, las dos rectas no son paralelas ni coinciden, así que el sistema es SCD y se pueden averiguar ambos precios. Si las compras fueran proporcionales (2 y 1 contra 4 y 2) con totales proporcionales, habría infinitas soluciones; con totales no proporcionales, ninguna.