Continuidad en un intervalo. Discontinuidades. Teoremas de Bolzano y Weierstrass

Estudia la continuidad lateral de la siguiente función en los extremos del intervalo $[0, 4]$:

Indica si la función es continua en $x=1$ comparando sus límites laterales.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo el conjunto de los números reales:

Sea la función $f(x)$ definida a trozos como:

La figura muestra los tres tramos de definición (cambian en $x=2$ y en $x=4$) y el intervalo $[1, 5]$.

1. a) Calcula los valores de $a$, $b$ y $k$ para que la función sea continua en todo su dominio $\mathbb{R}$.

1. b) Una vez hallados, razona si la función cumple las hipótesis del Teorema de Weierstrass en el intervalo $[1, 5]$.

Dada la función $f(x)$ definida a trozos mediante la siguiente expresión:

1. a) Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio.

1. b) En el caso de que $b=1$, clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función en $x=0$ en función del valor de $a$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada a continuación e identifica los puntos de discontinuidad. Para cada uno de ellos, indica de qué tipo se trata (evitable, de salto finito o de salto infinito).

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$.

1. Demuestra que la función no es continua en $x = 2$.

2. ¿Qué valor debería tomar $f(2)$ para que la discontinuidad fuera evitable y la función resultase continua en ese punto?

Dada la función racional $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$, estudia su continuidad en los puntos $x = 3$ y $x = -3$. En caso de que existan discontinuidades, clasifícalas razonadamente calculando sus límites laterales.

Estudia la continuidad de la siguiente función y clasifica razonadamente todos sus puntos de discontinuidad:

Indica si alguna de las discontinuidades es evitable y, en tal caso, redefine la función en ese punto para que resulte continua.

Un diseñador gráfico está trazando la trayectoria de un objeto en una animación. La altura $h$ en metros respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por:

1. a) Indica el dominio de la trayectoria.
2. b) Estudia la continuidad en $t = 3$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta? Interpreta el resultado en el contexto de la animación (¿hay un salto, desaparece el objeto o se va al infinito?).
3. c) ¿Es posible que el objeto alcance una altura de $0$ metros en algún instante del intervalo $[0, 2]$? Justifica tu respuesta usando el Teorema de Bolzano.

Considera la familia de funciones dependientes del parámetro $k \in \mathbb{R}$:

Analiza y clasifica todas las discontinuidades de $f(x)$ en función de los posibles valores de $k$. Indica específicamente para qué valores de $k$ alguna de las discontinuidades es evitable y redefine la función en ese punto para que sea continua.

Estudia la continuidad de la siguiente función en su dominio de definición:

Determina los puntos donde la función presenta discontinuidades y clasifícalas. Investiga si la función cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[0,5; 2]$ para asegurar la existencia de una raíz.

Un senderista inicia una ruta en un refugio a 1200 metros de altitud ($t=0$). Tras 4 horas de marcha, se encuentra en un mirador a 1800 metros de altitud. Suponiendo que la función que describe su altitud respecto al tiempo, $A(t)$, es continua:

1. Explica, utilizando el Teorema de los Valores Intermedios (Darboux), si el senderista ha pasado en algún momento por la cota de los 1500 metros.

2. ¿Podemos asegurar que ha pasado por los 2000 metros?

Dada la función $f(x) = x^3 + x - 5$, justifica si existe algún valor $c \in [1, 2]$ tal que $f(c) = -1$. ¿Qué teorema garantiza este resultado? Enuncia dicho teorema y comprueba que se cumplen sus hipótesis.

Un dron despega desde el suelo ($y=0$) y sigue una trayectoria dada por la función altura $h(t) = t^2 \cdot e^{-t} + \ln(t+1)$, donde $t$ es el tiempo en minutos.

Demuestra que en algún instante entre el minuto $1$ y el minuto $6$ de vuelo, el dron se encuentra exactamente a una altura de $2$ metros. Utiliza para ello el Teorema de los Valores Intermedios (Darboux).

Comprueba si la función $f(x) = x^3 - 3x + 1$ cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[0, 1]$. ¿Puedes asegurar que existe al menos una raíz de la ecuación $x^3 - 3x + 1 = 0$ en dicho intervalo? Justifica tu respuesta.

Demuestra, utilizando el Teorema de Bolzano, que las gráficas de las funciones $f(x) = e^x - 2$ y $g(x) = \cos(x)$ se cortan en al menos un punto dentro del intervalo $[0, \pi]$. Explica detalladamente los pasos y las hipótesis necesarias para aplicar el teorema.

Se sabe que una función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 4]$. Si $f(0) = 1$ y $f(4) = 1$, ¿se puede asegurar que existe un punto $c \in (0, 4)$ tal que $f(c) = 0$? Pon un ejemplo gráfico de una función que cumpla las condiciones pero que no tenga raíces en ese intervalo y explica por qué no contradice al Teorema de Bolzano.

Un equipo de ingenieros está probando dos nuevos modelos de drones de vigilancia, $D_1$ y $D_2$. La altura (en metros) del dron $D_1$ respecto al suelo viene dada por la función $h_1(t) = t \cdot \ln(t+1)$, mientras que la altura del dron $D_2$ sigue la función $h_2(t) = 10 \cdot e^{-t} + 5$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde el despegue ($t \geq 0$).

Utiliza el Teorema de Bolzano para demostrar que existe un instante $t_0 \in [2, 5]$ en el que ambos drones se encuentran exactamente a la misma altura. Justifica detalladamente si podrías asegurar, mediante el Teorema de Weierstrass, que la diferencia de alturas entre ambos drones alcanza un valor máximo en ese intervalo de tiempo.

Razona si la función $f(x) = \frac{1}{x}$ alcanza obligatoriamente un máximo y un mínimo absoluto en los siguientes intervalos basándote en el Teorema de Weierstrass:

1. En el intervalo cerrado $[1, 5]$.

2. En el intervalo abierto $(0, 1)$.

Dada la función $f(x) = \frac{k \cdot \sin(x)}{x}$ para $x \neq 0$:

1. a) Halla el valor de $k$ sabiendo que $\lim_{x \to 0} f(x) = 5$.
2. b) Con ese valor de $k$, define $f(0)$ para que la función sea continua en $x = 0$.
3. c) Justifica si la función resultante es continua en el intervalo $[0, 2\pi]$. ¿Podemos asegurar que alcanza un valor máximo absoluto en dicho intervalo?

Sea la función $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-|x|}$. La figura muestra su gráfica como apoyo visual.

1. a) Expresa la función sin valores absolutos, es decir, definida a trozos.

1. b) Estudia su continuidad en los puntos donde se anulan los argumentos de los valores absolutos.

1. c) Utilizando el Teorema de Weierstrass, demuestra que la función alcanza un máximo absoluto en el intervalo cerrado $[-3, 3]$.

1. d) ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Relaciona este hecho con el comportamiento de la función a largo plazo.

Se considera una función continua $f:[0, 1] \to [0, 1]$. Es decir, el dominio es el intervalo $[0, 1]$ y todas sus imágenes también están contenidas en $[0, 1]$.

Demuestra, haciendo uso del Teorema de Bolzano, que existe al menos un punto $c \in [0, 1]$ tal que $f(c) = c$ (un punto fijo de la función). Pista: Considera la función auxiliar $g(x) = f(x) - x$. Explica gráficamente qué significa este resultado en términos de la intersección de la gráfica de $f(x)$ con la bisectriz del primer cuadrante.

Dada la función $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$, se pide:

1. Hallar el dominio de la función.

2. Calcular los límites laterales en el punto donde la función no está definida.

3. Clasificar la discontinuidad encontrada.

4. ¿Es posible aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo $[-1, 1]$ para demostrar que existe un valor donde $f(x) = 0,5$? Razona si la falta de continuidad en un punto invalida la aplicación del teorema aunque los valores en los extremos sugieran que debería existir dicho punto.

Demuestra razonadamente que la ecuación $\sqrt{x^4 + 1} = 3x^2 \cdot \cos(x)$ tiene al menos dos soluciones reales en el intervalo $[-\pi, \pi]$. Para ello, define una función auxiliar adecuada y aplica los teoremas de continuidad necesarios. ¿Es posible afirmar que existe un valor máximo absoluto para la función $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4+1} - 3x^2\cos(x)}$ en el intervalo $[0, \pi/4]$? Justifica tu respuesta basándote en el Teorema de Weierstrass.

Dada la función $f(x)$ definida a trozos mediante la siguiente expresión:

1. a) Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio.

1. b) En el caso de que $b=1$, clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función en $x=0$ en función del valor de $a$.