Parámetros de la distribución normal

Un municipio ha analizado el tiempo que tardan los buses de la línea circular en completar su recorrido. Se ha comprobado que este tiempo sigue una distribución normal con una media de $25$ minutos y una desviación estándar de $4$ minutos. Identifica los parámetros estadísticos de esta distribución y escríbela utilizando la notación matemática abreviada $X \sim N(\mu, \sigma)$.

Un nutricionista afirma que el consumo de azúcar diario de los adolescentes de una ciudad sigue una distribución normal. Si denotamos esta variable como $X \sim N(45, 8)$, donde los valores están en gramos:

• ¿Cuál es el valor esperado del consumo de azúcar para un adolescente elegido al azar?

• ¿Qué parámetro indica si los datos están muy agrupados cerca de ese valor o muy desparramados?

Observa la siguiente gráfica que representa la distribución de los pesos de los gatitos recién nacidos en una protectora de animales. Sabiendo que la distribución es simétrica, indica visualmente cuál es el valor de la media poblacional $\mu$.

A continuación se muestran dos curvas de distribución normal que representan el tiempo de carga de dos modelos de smartphones distintos. Ambas tienen la misma desviación típica. ¿Cuál de los dos modelos (A o B) tiene una media poblacional $\mu$ mayor? Justifica tu respuesta basándote en la posición de las curvas en el eje.

Dos marcas de bombillas, "LuzEterna" y "BrilloMax", tienen una duración media de $1200$ horas. Sin embargo, la desviación típica de "LuzEterna" es de $50$ horas, mientras que la de "BrilloMax" es de $150$ horas.

• ¿Cuál de las dos marcas ofrece un producto más "homogéneo" o regular en su duración?

• Si tuvieras que dibujar ambas campanas de Gauss en el mismo eje, ¿cuál de ellas sería más alta y estrecha?

Imagina que estás comparando la precisión de dos máquinas que cortan listones de madera. La Máquina 1 corta con una distribución $N(100; 0,1)$ y la Máquina 2 con una distribución $N(100; 0,5)$ (en centímetros).

• ¿Cuál de las dos máquinas es más precisa?

• Relaciona el concepto de "precisión" con el valor de la desviación típica $\sigma$ en una distribución normal.

En el examen de Selectividad de Geografía, las notas han seguido una distribución $N(6,5; 1,2)$, mientras que en Historia han seguido una $N(7,2; 1,2)$.

• ¿Qué parámetro es idéntico en ambas asignaturas?

• Explica qué significa ese parámetro en el contexto de la "dispersión" de las notas de los alumnos.

Se presentan a continuación dos gráficas que representan la distribución de la duración de dos tipos de bombillas LED de diferentes marcas, A y B. Ambas siguen una distribución normal.

1. a) Observando la forma de las curvas, ¿cuál de las dos marcas tiene una mayor desviación típica? Razona tu respuesta relacionando la dispersión con la forma de la campana.
2. b) Si la marca A tiene una distribución $N(25000, 2000)$ y la marca B una $N(28000, 3500)$, calcula la probabilidad de que una bombilla de la marca A dure más que la duración media de la marca B.

La distribución Normal Estándar es un caso especial muy utilizado en estadística para poder usar las tablas de áreas. Indica cuáles son los valores fijos de su media ($\mu$) y su desviación típica ($\sigma$). Represéntala simbólicamente.

El peso de las mochilas de los estudiantes de un colegio sigue una distribución normal de media $\mu = 6,2$ kg y desviación estándar $\sigma = 1,4$ kg. Determina el intervalo característico centrado en la media que comprenda al $90\%$ de los pesos de las mochilas de los estudiantes. Interpreta el resultado obtenido en el contexto del problema.

Las calificaciones obtenidas en un simulacro de examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales siguen una distribución normal $X \sim N(5,8; 1,2)$. Sin utilizar la tabla de la normal para este apartado, y basándote en las propiedades de simetría de la campana de Gauss, si sabemos que $P(X \leq k) = 0,72$, calcula razonadamente:

1. a) $P(X > k)$
2. b) $P(X \leq 5,8)$
3. c) $P(5,8 - (k - 5,8) \leq X \leq k)$

En un popular videojuego de estrategia, los puntos de experiencia obtenidos por los jugadores en una misión específica siguen una distribución normal de media $\mu = 4500$ puntos y desviación típica $\sigma = 800$ puntos. Si los desarrolladores quieren otorgar una medalla especial solo al $15\%$ de los jugadores que consigan las puntuaciones más altas, ¿a partir de cuántos puntos se empezará a entregar dicha medalla?

Se ha realizado un estudio sobre el tiempo que los jóvenes de entre $16$ y $18$ años pasan diariamente en una conocida red social de videos cortos. Se sabe que este tiempo sigue una distribución normal de media $\mu = 110$ minutos. Si se conoce que el $33\%$ de los usuarios pasa más de $125$ minutos al día en la plataforma, calcula el valor de la desviación estándar $\sigma$ de esta distribución.

Una empresa de mensajería rápida garantiza que el tiempo de entrega de sus paquetes en una ciudad sigue una distribución normal con una desviación típica de $12$ minutos. Tras analizar miles de envíos, se observa que solo el $2,5\%$ de los paquetes tarda más de $75$ minutos en ser entregado. A partir de esta información, calcula el tiempo medio ($\mu$) de entrega de la empresa.

El algoritmo de una conocida red social analiza el tiempo de permanencia de los usuarios viendo "reels". Se ha comprobado que este tiempo sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$. Los analistas de datos han determinado que solo el $15,87\%$ de los usuarios pasa más de $45$ minutos al día, mientras que el $2,28\%$ pasa menos de $10$ minutos. Calcula de forma razonada el tiempo medio de permanencia ($\mu$) y la desviación típica ($\sigma$) del comportamiento de los usuarios en esta red social.

El tiempo de carga completa de un nuevo modelo de scooter eléctrico sigue una distribución normal $N(240, 20)$, donde el tiempo se mide en minutos.

Un adolescente afirma que su scooter tarda habitualmente menos de $215$ minutos en cargarse.

1. a) Calcula la probabilidad de que un scooter elegido al azar tarde menos de esos $215$ minutos.
2. b) Si el fabricante mejora la batería y la nueva distribución pasa a ser $N(230, 15)$, ¿ha aumentado o disminuido la probabilidad de que tarde menos de $215$ minutos? Justifica tu respuesta calculando la nueva probabilidad.

En una estación de esquí, el espesor de la nieve durante el mes de enero sigue una distribución normal de media $85$ cm y desviación típica $18$ cm.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un día de enero el espesor sea superior a $100$ cm?
2. b) Si para poder abrir una pista negra se requiere un espesor mínimo de $x$ cm, y se sabe que dicha pista está abierta el $70\%$ de los días de enero, ¿cuál es ese espesor mínimo $x$?

La huella de carbono anual (en toneladas de $CO_2$) de los hogares de una ciudad europea sigue una distribución normal. Se ha observado que el $33\%$ de los hogares emite menos de $4,5$ toneladas y el $33\%$ de los hogares emite más de $6,2$ toneladas.

1. Justifica si la distribución es simétrica y calcula la huella de carbono media de la ciudad.

2. Determina la desviación típica de la huella de carbono de estos hogares.

El tiempo que tarda un estudiante en completar un examen de Selectividad de Matemáticas sigue una distribución normal. Se sabe que el tiempo medio es de $70$ minutos. Si la probabilidad de que un estudiante termine el examen en menos de $60$ minutos es la misma que la probabilidad de que tarde más de $k$ minutos, y se conoce que la varianza de la distribución es $25$, determina el valor de $k$ utilizando las propiedades de los parámetros de la normal.

Una empresa de mensajería sostenible utiliza scooters eléctricos para sus repartos. La autonomía de las baterías de estos scooters sigue una distribución normal con una media de $60$ km. Se sabe que la probabilidad de que un scooter tenga una autonomía superior a $75$ km es de $0,0668$. Debido a una actualización del software, la autonomía de todos los scooters aumenta un $10\%$ más un extra fijo de $2$ km. Determina la desviación estándar original de las baterías y los nuevos parámetros (media y desviación estándar) tras la actualización del software.

En un campeonato de E-sports, la puntuación obtenida por los jugadores en una fase clasificatoria sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. El comité organizador ha establecido que el intervalo característico centrado en la media para el $95,44\%$ de los jugadores es $[1250, 1750]$ puntos.

1. Calcula la media y la varianza de la puntuación de los jugadores.

2. Si para pasar a la final se requiere estar en el "top" $5\%$ de los mejores jugadores, ¿cuál es la puntuación mínima necesaria?

Un fabricante de componentes para telescopios espaciales produce lentes cuyo diámetro sigue una distribución normal. Por el control de calidad, se sabe que la media es de $120$ mm. Para que una lente sea aceptada, su diámetro debe estar en el rango $[118, 122]$ mm. Si el fabricante desea que el $99,73\%$ de su producción sea aceptable para evitar pérdidas económicas, ¿cuál debe ser el valor máximo de la desviación típica del proceso de fabricación?

Un estudio sobre el sueño en adolescentes indica que el número de horas diarias de descanso sigue una distribución normal. Si el valor de la varianza es numéricamente igual a la media, y se sabe que la probabilidad de dormir más de $10,36$ horas es de solo el $0,0228$, calcula el valor de la media ($\mu$) y de la desviación típica ($\sigma$). (Nota: Deberás resolver una ecuación de segundo grado para $\sqrt{\mu}$).

Dos plataformas de streaming de música, "SoundCloud" y "Melody", compiten por el tiempo de uso diario de sus suscriptores jóvenes.

• En "SoundCloud", el tiempo sigue una $N(45, 10)$.

• En "Melody", el tiempo sigue una $N(40, 15)$.

Si un usuario se considera "altamente activo" cuando supera los $65$ minutos diarios de escucha:

1. ¿En qué plataforma es más probable encontrar un usuario "altamente activo"?

2. ¿Qué valor debería tener la desviación típica de "Melody" para que, manteniendo su media en $40$, el porcentaje de usuarios "altamente activos" fuera exactamente el mismo que en "SoundCloud"?