Rechnen mit rationalen Zahlen

Bei einer Umfrage in deiner Klasse zum Lieblings-Netzwerk haben $\frac{12}{30}$ der Schülerinnen und Schüler eine Kurzvideo-Plattform gewählt. Bestimme den vollständig gekürzten Bruch, um zu erfahren, welchen Anteil des Ganzen diese Gruppe ausmacht.

Für einen gesunden Smoothie hast du $\frac{3}{4}$ Liter Hafermilch mit $\frac{1}{2}$ Liter Orangensaft gemischt. Beim Einschenken werden $\frac{1}{8}$ Liter verschüttet. Führe die Rechnung Schritt für Schritt durch, um herauszufinden, wie viel Mischung im Krug bleibt.

In einem Regal eines Comicladens sind $\frac{2}{3}$ der Exemplare Superheldencomics. Von diesen Superheldencomics gehört die Hälfte ($\frac{1}{2}$) zu einem berühmten amerikanischen Verlag. Berechne mit einer Multiplikation von Brüchen den Bruchteil des gesamten Regals, den die Comics dieses bestimmten Verlags ausmachen.

Wir wollen $\frac{3}{2}$ Kilo Gummibärchen in kleine Tüten verteilen. Wenn wir in jede Tüte $\frac{1}{10}$ Kilo füllen:

1. a) Wie viele Tüten können wir vollständig füllen?
2. b) Führe die Rechnung mit der Division von Brüchen durch: $\frac{3}{2} : \frac{1}{10}$

Der Akku deines Handys hat eine Gesamtkapazität von $4500$ mAh. Wenn auf dem Display gerade genau $\frac{4}{9}$ der Kapazität angezeigt werden:

1. a) Wie viele mAh stehen zur Verfügung?
2. b) Wenn der Energiesparmodus aktiviert wird, sobald $\frac{1}{5}$ des Ganzen übrig sind, wie viele mAh entspricht diese Grenze?

Betrachte die folgende Abbildung, die eine in gleich große Stücke geteilte Schokoladentorte darstellt. Schreibe den Bruch auf, der den fehlenden Teil darstellt, und berechne die Gegenzahl und den Kehrwert dieser Größe.

Emilia bearbeitet eine Hausaufgabe und behauptet Folgendes: „Um $-\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$ zu berechnen, teile ich, weil Teilen Verteilen ist, den Zähler durch den Zähler und den Nenner durch den Nenner: $\frac{-3 : 2}{4 : 5}$. Da es nicht aufgeht, ändere ich einfach das Vorzeichen des zweiten Bruchs und multipliziere direkt: $-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$."

1. a) Finde die beiden Denkfehler, die Emilia in ihrer Überlegung macht, und erkläre den grundlegenden Unterschied zwischen „Kehrwert" und „Gegenzahl".
2. b) Löse die Rechnung richtig Schritt für Schritt und gib das Endergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Löse die folgende gemischte Rechnung unter Beachtung der Rechenreihenfolge:

Bevor man lange Rechnungen mit verschiedenen Nennern durchführt, ist es sehr nützlich, die Größe des Ergebnisses abzuschätzen, um die Antwort vorherzusehen und mögliche Fehler zu entdecken. Du hast folgende Rechnung: $E = \left( 1 - \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{11} \right)$.

1. a) Schätze das Ergebnis begründet ab, ohne exakt zu rechnen, indem du diese Leitfragen beantwortest:

• Ist der Faktor $\left( 1 - \frac{1}{6} \right)$ größer oder kleiner als $1$? Liegt er nahe bei $1$?

• Wenn $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ gilt, ist der Bruch $\frac{5}{11}$ größer oder kleiner als $\frac{1}{2}$? Ergibt die zweite Klammer mehr oder weniger als $1$?

• Folgere damit begründet, ob das Endprodukt $E$ etwas kleiner als $1$, genau $1$ oder deutlich größer als $1$ sein wird.

1. b) Führe nun die exakte Rechnung $E$ durch, indem du die Klammern löst und die Brüche multiplizierst. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.
2. c) Bestimme die Dezimaldarstellung deines exakten Ergebnisses (mit zwei Nachkommastellen) und überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung richtig war.

Löse den folgenden gemischten Term und kürze das Ergebnis, bis du den vollständig gekürzten Bruch erhältst:

Für eine Partnerarbeit im Mathematikunterricht sollst du ein Zahlenrätsel mit der folgenden unvollständigen Gleichung stellen:

1. a) Löse mithilfe der Umkehroperationen und unter Beachtung der Rechenreihenfolge Schritt für Schritt auf und berechne, welcher vollständig gekürzte Bruch in das Kästchen $\Box$ gehört.
2. b) Erkläre mithilfe der Vorzeichenregel für Produkte, warum der Inhalt der Klammer zwingend negativ sein musste, und begründe, warum der gesuchte Bruch $\Box$ größer als $\frac{2}{5}$ sein muss.
3. c) Überprüfe die Lösung, indem du den erhaltenen Bruch in den ursprünglichen Term einsetzt und Schritt für Schritt berechnest.

Um den exakten Wert des Terms $M = \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{8}{9} - \frac{16}{21} \right)$ zu berechnen, diskutieren Sophie und David, was der klügste Weg ist:

• Sophies Methode (zuerst die Klammer): Sie bestimmt das kgV von $9$ und $21$, löst die Subtraktion in der Klammer und multipliziert dann mit $\frac{3}{4}$, wobei sie den entstehenden Bruch kürzt.

• Davids Methode (Distributivgesetz): Er wendet das Distributivgesetz an und berechnet $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{21}$, wobei er jedes Produkt kürzt, bevor er subtrahiert.

1. a) Löse den Term ausführlich nach Sophies Methode, bis du den vollständig gekürzten Bruch erhältst.
2. b) Löse den Term nach Davids Methode und gib dabei deutlich das Kürzen über Kreuz vor jeder Multiplikation an.
3. c) Analysiere die Größe der Nenner und Zähler, mit denen du auf beiden Wegen gerechnet hast. Begründe, welche der beiden Methoden in diesem konkreten Fall effizienter ist und ein geringeres Fehlerrisiko hat.

Ein Jugendlicher verbringt $\frac{1}{3}$ seiner Freizeit am Nachmittag mit Sport und $\frac{2}{5}$ mit Mathelernen.

1. a) Berechne, welchen Bruchteil seiner gesamten Freizeit diese beiden Aktivitäten einnehmen.
2. b) Welcher Bruchteil der Zeit bleibt ihm zum Spielen an der Konsole?

Drei Freunde beschließen, ein Geschenk für einen Mitschüler zu kaufen, der die Schule wechselt. Der erste zahlt $\frac{2}{5}$ des Gesamtpreises, der zweite zahlt $\frac{1}{3}$ des Rests und der dritte vervollständigt die Zahlung mit $16$ €.

1. a) Welchen Bruchteil des Ganzen macht der Betrag des zweiten Freundes aus?
2. b) Wie hoch ist der Gesamtpreis des Geschenks?
3. c) Wie viel Geld hat jeder bezahlt?

Ein Content Creator hat ein Video für seinen Kanal aufgenommen. Beim Schneiden entfernt er $\frac{1}{6}$ des gesamten Materials wegen Tonfehlern. Danach streicht er $\frac{2}{5}$ des Rests, weil das Tempo zu langsam war. Am Ende hat das geschnittene Video eine Länge von $18$ Minuten.

1. a) Welchen Bruchteil des ursprünglichen Materials macht das fertige Video von $18$ Minuten aus?
2. b) Wie lang war die ursprüngliche Aufnahme vor dem Schneiden?

Eine junge Influencerin plant ihr monatliches Budget aus ihren Kooperationen. Sie gibt $\frac{2}{5}$ ihres Einkommens für die Miete ihres Studios aus und $\frac{1}{4}$ des Rests für die Videobearbeitung. Wenn ihr nach diesen Ausgaben noch $\frac{5}{9}$ dessen bleibt, was zum Sparen übrig war, und sie dann noch $480$ € für persönliche Ausgaben zur Verfügung hat, wie hoch ist ihr monatliches Gesamteinkommen?