Proportionale Zuordnungen

Gib an, welche der folgenden Größenpaare direkt proportional sind. Begründe deine Antwort kurz:

1. a) Die Anzahl der Personen, die ein Museum besuchen, und die Einnahmen aus den Eintrittskarten.
2. b) Das Alter einer Person und ihre Körpergröße.
3. c) Das Gewicht der Äpfel, die du kaufst, und der Gesamtpreis.
4. d) Die Geschwindigkeit eines Autos und die Zeit, die es für eine feste Strecke braucht.

In einem Sportgeschäft ist bei allen T-Shirts desselben Modells der Preis proportional zur gekauften Menge. Übertrage die folgende Tabelle in dein Heft, vervollständige sie und berechne die Proportionalitätskonstante $k$ (Preis für ein T-Shirt).

Gib mit Begründung an, welche der folgenden Größenpaare direkt proportional zueinander sind:

1. a) Die Anzahl der Konzertkarten und der Gesamtpreis (ohne feste Bearbeitungsgebühr).
2. b) Das Alter einer Person und ihre Körpergröße in Zentimetern.
3. c) Das Gewicht lose gekaufter Äpfel und der Preis des Einkaufs.
4. d) Die Geschwindigkeit eines Autos und die Zeit, die es für eine feste Strecke braucht.
5. e) Die Seitenzahl eines Buches und die Zeit, die man zum Lesen braucht (bei konstanter Lesegeschwindigkeit).

Wenn ein Wasserhahn alle $3$ Minuten $15$ Liter Wasser abgibt, wie viele Liter fließen dann, wenn er $10$ Minuten lang geöffnet bleibt? Löse die Aufgabe mit dem Dreisatz über die Einheit (berechne zuerst, wie viel in einer Minute fließt).

Lina hat $4,50$ € für $3$ Schachteln Filzstifte für ihr Zeichenprojekt bezahlt. Wenn sie für ihre Gruppenmitglieder $5$ weitere Schachteln kaufen muss, wie viel Geld kosten diese $5$ zusätzlichen Schachteln?

Eine Streaming-Plattform für Videospiele bietet ein Premium-Abo an. Man weiß, dass für $4$ Monate Nutzung $35,20$ € gezahlt werden.

1. a) Berechne die Proportionalitätskonstante $k$ (Preis pro Monat).
2. b) Vervollständige die folgende Wertetabelle:

1. c) Für wie viele Monate könntest du das Abo abschließen, wenn du höchstens $100$ € zur Verfügung hast?

Ein Unternehmen, das Filament für 3D-Drucker herstellt, weiß, dass die Länge des gewonnenen Fadens direkt proportional zur Laufzeit der Extrudermaschine ist. Wenn in $15$ Minuten $45$ Meter Faden einer bestimmten Dicke entstehen:

• a) Wie viele Kilometer Faden werden hergestellt, wenn die Maschine einen ganzen Arbeitstag von $8$ Stunden ohne Unterbrechung läuft?

• b) Wenn die Produktionskosten $0,12\text{ €}$ pro Dekameter ($10\text{ m}$) Faden betragen, wie hoch ist dann der Gesamtwert der Produktion nach diesen $8$ Stunden?

In einem Grundriss eines Zimmers im Maßstab $1:50$ ist das Bett $4$ cm lang. Wie groß ist die tatsächliche Länge des Betts in Metern? (Denke daran: Der Maßstab $1:50$ bedeutet, dass $1$ cm in der Zeichnung $50$ cm in der Wirklichkeit entsprechen.)

Im Grundriss einer Wohnung im Maßstab $1:250$ hat das Wohnzimmer eine Länge von $3,2$ cm und eine Breite von $2,4$ cm.

1. a) Berechne die tatsächlichen Maße des Wohnzimmers in Metern.
2. b) Berechne den tatsächlichen Flächeninhalt des Wohnzimmers in Quadratmetern.

Drei Geschwister wollen die $144$ €, die sie von ihren Großeltern geschenkt bekommen haben, direkt proportional zu ihrem Alter aufteilen. Sie sind $10$, $12$ und $14$ Jahre alt. Wie viel Geld bekommt jedes von ihnen?

Auf einer Wanderkarte des Harzes beträgt der Abstand zwischen zwei Berghütten $12,5\text{ cm}$. Der Maßstab der Karte ist $1:50\,000$. Zwei Wanderer wollen diese Strecke gehen. Wenn ihre Durchschnittsgeschwindigkeit $4\text{ km/h}$ beträgt, berechne, wie lange sie von einer Hütte zur anderen brauchen, und gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.

Ein Smartphone-Schnellladegerät kann in nur $12$ Minuten $18\%$ des Akkus laden. Wenn die Ladegeschwindigkeit konstant bleibt:

1. a) Wie viel Prozent des Akkus sind nach einer halben Stunde ($30$ Minuten) geladen?
2. b) Wie viel Zeit (in Minuten und Sekunden) braucht das Telefon insgesamt, um von $0\%$ auf $100\%$ Ladung zu kommen?

Der folgende Graph stellt den Zusammenhang zwischen der Masse eines Edelmetalls und seinem Marktwert dar. Beachte, dass es sich um eine proportionale Funktion handelt:

• a) Bestimme die Proportionalitätskonstante $k$, die den Preis pro Gramm angibt.

• b) Wenn ein Schmuckstück $15\%$ Verunreinigungen (Masse ohne Wert) enthält und insgesamt $24\text{ g}$ wiegt, welchen Wert hat dann das enthaltene reine Metall laut Graph?

Der städtische Verleih von E-Bikes in einer deutschen Stadt hat folgenden Tarif: $1,20\text{ €}$ Grundgebühr fürs Entsperren des Fahrrads plus $0,15\text{ €}$ pro Fahrminute.

Emilia behauptet: „Wenn ich für eine Fahrt von $10\text{ Minuten}$ den Preis $1,20 + 10 \cdot 0,15 = 2,70\text{ €}$ zahle, muss ich bei doppelter Fahrzeit ($20\text{ Minuten}$) das Doppelte ($5,40\text{ €}$) zahlen. Da sich beim Verdoppeln der Zeit auch der Preis verdoppelt, sind beide Größen direkt proportional."

1. a) Berechne den tatsächlichen Preis einer Fahrt von $20\text{ Minuten}$ und bestimme, ob Emilias Aussage über den Preis stimmt.
2. b) Verwende den Quotienten $\frac{\text{Preis}}{\text{Zeit}}$ für $10$ und für $20\text{ Minuten}$ und erkläre ausführlich, warum Nutzungsdauer und Endpreis NICHT direkt proportional sind. Gib an, welcher Bestandteil des Tarifs die Proportionalität zerstört, und wie sich das im Graphen im Vergleich zu einer Ursprungsgeraden zeigen würde.
3. c) Verändere die ursprüngliche Aufgabe, indem du nur einen Bestandteil des Tarifs entfernst oder änderst, sodass der Gesamtpreis direkt proportional zur Nutzungsdauer wird. Gib an, wie die neue Proportionalitätskonstante $k$ lautet und was sie im Alltag bedeutet.