Winkel, Längen und Flächeninhalte

Ein Designer gestaltet ein Mosaik für den Boden eines Platzes mit Fliesen in Form eines regelmäßigen Sechsecks. Berechne die Summe aller Innenwinkel des Sechsecks und die Größe jedes einzelnen Innenwinkels.

Bei den Umbauarbeiten eines Fußgängerplatzes in Münster sollen Steinplatten in Form eines regelmäßigen Vielecks verlegt werden. Der städtische Architekt hat in den Plänen festgelegt, dass jeder Innenwinkel dieser Platten genau $135^\circ$ betragen soll.

1. a) Stelle mithilfe der Formel, die die Anzahl der Seiten $n$ eines regelmäßigen Vielecks mit der Größe seiner Innenwinkel verbindet, eine Gleichung auf und löse sie, um herauszufinden, um welches regelmäßige Vieleck es sich handelt.
2. b) Die Arbeiter wollen diese Platten nur an ihren Kanten aneinanderlegen. Ist es möglich, den Platz ausschließlich mit dieser Art von Platten lückenlos und ohne Überlappung zu pflastern? Begründe deine Antwort, indem du untersuchst, wie viel Grad die an einer Ecke zusammentreffenden Winkel insgesamt ergeben müssen.

Eine Designagentur entwirft ein neues Logo auf der Grundlage eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge $6$ cm. Im Sechseck wurden die Diagonalen eingezeichnet, die jeweils übernächste Eckpunkte verbinden, sodass ein „Davidstern“ (Hexagramm) entsteht. Berechne die Größe der Innenwinkel der Dreiecke, die den Stern bilden, und bestimme den Flächeninhalt des schattierten Teils (des zentralen Sterns), wenn das Apothema (der Inkreisradius) des ursprünglichen Sechsecks etwa $5,2$ cm beträgt.

Ein Beschilderungsunternehmen stellt ein Warnschild „Vorsicht“ in Form einer Raute her. Die Diagonalen der Raute sind $16$ cm und $12$ cm lang. Berechne den Flächeninhalt der Metallplatte, die für die Herstellung benötigt wird.

Ein Architekt hat für ein Kulturzentrum ein Fenster in Form eines gleichschenkligen Trapezes entworfen. Die längere Grundseite misst $2,8$ Meter, die kürzere Grundseite $1,6$ Meter und die nicht parallelen Seiten messen jeweils $1,2$ Meter. Für das Budget muss er den gesamten Flächeninhalt des Glases und die Summe der Innenwinkel des Fensters berechnen, um den Metallrahmen zu bestellen. Wie groß ist der Flächeninhalt des Fensters?

Ein Grundstück hat die Form eines Parallelogramms mit einer Grundseite von $15$ Metern und einer Höhe von $8$ Metern. An einer Ecke hat der Besitzer einen Rasensprenger installiert, der in einem Winkel von $60^\circ$ mit einer Reichweite von $6$ Metern bewässert.

1. Berechne den gesamten Flächeninhalt des Grundstücks.

2. Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks, der nicht bewässert wird.

Betrachte den folgenden Kreis mit dem Mittelpunkt $O$. Der Mittelpunktswinkel $\angle AOB$ beträgt $80^\circ$. Berechne die Größe des Umfangswinkels $\angle ACB$ über demselben Bogen.

Wir entwerfen einen Spielplatz mit einem kreisförmigen Spielbereich. Im Plan haben wir ein Dreieck in den Kreis des Spielbereichs einbeschrieben, sodass eine der Dreiecksseiten genau mit dem Durchmesser des Kreises übereinstimmt, der $10$ Meter misst. Wenn eine weitere Seite $6$ Meter misst:

1. a) Begründe, um welche Art von Dreieck es sich hinsichtlich seiner Winkel handelt.

1. b) Berechne den Flächeninhalt des Teils des Spielbereichs, der außerhalb des Dreiecks liegt (der schattierte Teil der Abbildung).

Die Gemeinde möchte einen rechteckigen Park einzäunen, der $40$ Meter lang und $30$ Meter breit ist. Außerdem soll ein geradliniger Weg den Park von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke (der Diagonale) durchqueren. Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länge dieses Weges.

Um die Höhe einer defekten Straßenlaterne in einem Gewerbegebiet in Bochum zu messen, lehnt Markus eine Leiter der Länge $5\text{ m}$ an die Spitze des Mastes. Der Fuß der Leiter steht auf dem waagerechten Boden $3\text{ m}$ vom Fuß des Mastes entfernt. Um die Höhe $h$ der Laterne zu berechnen, schreibt Markus in sein Heft:

$$h^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 \implies h = \sqrt{34} \approx 5,83\text{ m}$$

1. a) Erkläre, ohne weitere Rechnungen, warum das von Markus erhaltene Ergebnis in diesem Zusammenhang physikalisch unmöglich ist.
2. b) Bestimme den Denkfehler, den Markus bei der Anwendung des Satzes des Pythagoras gemacht hat.
3. c) Korrigiere das Vorgehen und berechne die tatsächliche Höhe der Laterne.

Ein Hausmeister möchte in der Ecke eines rechteckigen Lagerhauses eine Überwachungskamera anbringen. Dazu lehnt er eine Leiter der Länge $5$ Meter so an, dass ihr Fußpunkt genau $1,4$ Meter von der Wand entfernt ist. Er stellt jedoch fest, dass die Kamera für den richtigen Blickwinkel $60$ cm höher sein muss. Welche Länge muss die neue Leiter mindestens haben, wenn der Fußpunkt am selben Punkt bleibt?

Ein Signalmast von $8$ Metern Höhe wirft um 11:00 Uhr vormittags einen Schatten von $6$ Metern auf den Boden. Im selben Augenblick misst der Schatten eines nahen Kühlturms $45$ Meter.

1. Berechne mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken die Höhe des Turms.

2. Wenn das Sicherungsseil von der Spitze des Signalmasts bis zum Ende seines Schattens straff gespannt wäre, welche Länge hätte es?

In einer Pizzeria hat eine Familienpizza einen Durchmesser von $40$ cm. Wir schneiden ein Stück ab, das einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $60^\circ$ bildet. Berechne den Flächeninhalt dieses Pizzastücks. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Ein Sportzentrum hat ein Schwimmbecken mit besonderer Form: ein Rechteck von $20$ m mal $10$ m, an dessen einer kurzen Seite ein halbkreisförmiger Kinderbereich angebaut wurde. Berechne den gesamten Umfang des Beckens. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Auf einem Platz in deiner Stadt liegt eine riesige Platte in Form eines Kreisrings. Der Radius des äußeren Kreises beträgt $4$ Meter. Der Flächeninhalt des begehbaren Teils (des Kreisrings selbst) beträgt $7\pi$ $m^2$. Berechne den Radius des inneren Kreises und bestimme die Länge des kreisförmigen Zauns, der nur um die innere Aussparung gestellt werden müsste.

Berechne den Flächeninhalt eines Kreissegments mit dem Mittelpunktswinkel $90^\circ$ in einem Kreis mit dem Radius $12$ cm.