Aufgaben: Rechnen mit rationalen Zahlen

Bei einer Umfrage in deiner Klasse zum Lieblings-Netzwerk haben $\frac{12}{30}$ der Schülerinnen und Schüler eine Kurzvideo-Plattform gewählt. Bestimme den vollständig gekürzten Bruch, um zu erfahren, welchen Anteil des Ganzen diese Gruppe ausmacht.

Betrachte die folgende Abbildung, die eine in gleich große Stücke geteilte Schokoladentorte darstellt. Schreibe den Bruch auf, der den fehlenden Teil darstellt, und berechne die Gegenzahl und den Kehrwert dieser Größe.

Ein Jugendlicher verbringt $\frac{1}{3}$ seiner Freizeit am Nachmittag mit Sport und $\frac{2}{5}$ mit Mathelernen.

1. a) Berechne, welchen Bruchteil seiner gesamten Freizeit diese beiden Aktivitäten einnehmen.
2. b) Welcher Bruchteil der Zeit bleibt ihm zum Spielen an der Konsole?

Der Akku deines Handys hat eine Gesamtkapazität von $4500$ mAh. Wenn auf dem Display gerade genau $\frac{4}{9}$ der Kapazität angezeigt werden:

1. a) Wie viele mAh stehen zur Verfügung?
2. b) Wenn der Energiesparmodus aktiviert wird, sobald $\frac{1}{5}$ des Ganzen übrig sind, wie viele mAh entspricht diese Grenze?

Für einen gesunden Smoothie hast du $\frac{3}{4}$ Liter Hafermilch mit $\frac{1}{2}$ Liter Orangensaft gemischt. Beim Einschenken werden $\frac{1}{8}$ Liter verschüttet. Führe die Rechnung Schritt für Schritt durch, um herauszufinden, wie viel Mischung im Krug bleibt.

In einem Regal eines Comicladens sind $\frac{2}{3}$ der Exemplare Superheldencomics. Von diesen Superheldencomics gehört die Hälfte ($\frac{1}{2}$) zu einem berühmten amerikanischen Verlag. Berechne mit einer Multiplikation von Brüchen den Bruchteil des gesamten Regals, den die Comics dieses bestimmten Verlags ausmachen.

Wir wollen $\frac{3}{2}$ Kilo Gummibärchen in kleine Tüten verteilen. Wenn wir in jede Tüte $\frac{1}{10}$ Kilo füllen:

1. a) Wie viele Tüten können wir vollständig füllen?
2. b) Führe die Rechnung mit der Division von Brüchen durch: $\frac{3}{2} : \frac{1}{10}$

Löse die folgende gemischte Rechnung unter Beachtung der Rechenreihenfolge:

Emilia bearbeitet eine Hausaufgabe und behauptet Folgendes: „Um $-\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$ zu berechnen, teile ich, weil Teilen Verteilen ist, den Zähler durch den Zähler und den Nenner durch den Nenner: $\frac{-3 : 2}{4 : 5}$. Da es nicht aufgeht, ändere ich einfach das Vorzeichen des zweiten Bruchs und multipliziere direkt: $-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$."

1. a) Finde die beiden Denkfehler, die Emilia in ihrer Überlegung macht, und erkläre den grundlegenden Unterschied zwischen „Kehrwert" und „Gegenzahl".
2. b) Löse die Rechnung richtig Schritt für Schritt und gib das Endergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Bevor man lange Rechnungen mit verschiedenen Nennern durchführt, ist es sehr nützlich, die Größe des Ergebnisses abzuschätzen, um die Antwort vorherzusehen und mögliche Fehler zu entdecken. Du hast folgende Rechnung: $E = \left( 1 - \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{11} \right)$.

1. a) Schätze das Ergebnis begründet ab, ohne exakt zu rechnen, indem du diese Leitfragen beantwortest:

• Ist der Faktor $\left( 1 - \frac{1}{6} \right)$ größer oder kleiner als $1$? Liegt er nahe bei $1$?

• Wenn $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ gilt, ist der Bruch $\frac{5}{11}$ größer oder kleiner als $\frac{1}{2}$? Ergibt die zweite Klammer mehr oder weniger als $1$?

• Folgere damit begründet, ob das Endprodukt $E$ etwas kleiner als $1$, genau $1$ oder deutlich größer als $1$ sein wird.

1. b) Führe nun die exakte Rechnung $E$ durch, indem du die Klammern löst und die Brüche multiplizierst. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.
2. c) Bestimme die Dezimaldarstellung deines exakten Ergebnisses (mit zwei Nachkommastellen) und überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung richtig war.

Löse den folgenden gemischten Term und kürze das Ergebnis, bis du den vollständig gekürzten Bruch erhältst:

Berechne das Ergebnis der folgenden gemischten Rechnung und kürze das Ergebnis, bis du den vollständig gekürzten Bruch erhältst:

Drei Freunde beschließen, ein Geschenk für einen Mitschüler zu kaufen, der die Schule wechselt. Der erste zahlt $\frac{2}{5}$ des Gesamtpreises, der zweite zahlt $\frac{1}{3}$ des Rests und der dritte vervollständigt die Zahlung mit $16$ €.

1. a) Welchen Bruchteil des Ganzen macht der Betrag des zweiten Freundes aus?
2. b) Wie hoch ist der Gesamtpreis des Geschenks?
3. c) Wie viel Geld hat jeder bezahlt?

Ein Architekt entwirft einen Spielbereich in einem rechteckigen Park. Er hat beschlossen, das Gelände wie in der folgenden Skizze aufzuteilen:

Wenn der Bereich „Rasen" genau die Hälfte des Geländes einnimmt und der Bereich „Schaukeln" $\frac{3}{10}$ des gesamten Parks ausmacht:

1. a) Welchen Bruchteil des Ganzen macht der Bereich „Sand" aus?
2. b) Wenn der Park eine Gesamtfläche von $1200$ $m^2$ hat, wie viele Quadratmeter groß ist der Bereich „Sand"?

Bestimme den Wert des folgenden Terms unter Beachtung der Rechenreihenfolge und der Vorzeichenregeln:

Ein Content Creator hat ein Video für seinen Kanal aufgenommen. Beim Schneiden entfernt er $\frac{1}{6}$ des gesamten Materials wegen Tonfehlern. Danach streicht er $\frac{2}{5}$ des Rests, weil das Tempo zu langsam war. Am Ende hat das geschnittene Video eine Länge von $18$ Minuten.

1. a) Welchen Bruchteil des ursprünglichen Materials macht das fertige Video von $18$ Minuten aus?
2. b) Wie lang war die ursprüngliche Aufnahme vor dem Schneiden?

Berechne den Wert der folgenden gemischten Rechnung mit Potenzen mit negativem Exponenten und vereinfache das Ergebnis:

In einem Chemielabor enthält ein Behälter $2,4$ Liter einer sauren Lösung. Für ein Experiment werden zuerst $\frac{2}{3}$ des Inhalts entnommen. Danach werden $0,5$ Liter destilliertes Wasser hinzugefügt, um die Mischung zu verdünnen. Schließlich werden $\frac{3}{5}$ der entstandenen Mischung verbraucht.

1. a) Führe alle Rechnungen ausschließlich mit Brüchen durch.
2. b) Wie viele Liter der Mischung bleiben am Ende im Behälter? Gib das Ergebnis sowohl als Bruch als auch als Dezimalzahl an.

Für eine Partnerarbeit im Mathematikunterricht sollst du ein Zahlenrätsel mit der folgenden unvollständigen Gleichung stellen:

1. a) Löse mithilfe der Umkehroperationen und unter Beachtung der Rechenreihenfolge Schritt für Schritt auf und berechne, welcher vollständig gekürzte Bruch in das Kästchen $\Box$ gehört.
2. b) Erkläre mithilfe der Vorzeichenregel für Produkte, warum der Inhalt der Klammer zwingend negativ sein musste, und begründe, warum der gesuchte Bruch $\Box$ größer als $\frac{2}{5}$ sein muss.
3. c) Überprüfe die Lösung, indem du den erhaltenen Bruch in den ursprünglichen Term einsetzt und Schritt für Schritt berechnest.

Ende des Frühjahrs ist ein Stausee im Einzugsgebiet des Guadalquivir zu $\frac{4}{5}$ seiner gesamten Kapazität gefüllt. Im Sommer wird durch Verdunstung und landwirtschaftliche Bewässerung $\frac{3}{8}$ des Wassers verbraucht, das der Stausee enthielt. Im September fließt durch die ersten Herbstgewitter eine Wassermenge zu, die $\frac{1}{10}$ der Gesamtkapazität des Stausees entspricht.

1. a) Welchen Bruchteil der Gesamtkapazität des Stausees macht das im Sommer verbrauchte Wasser aus?
2. b) Stelle einen einzigen gemischten Term mit Brüchen auf, der den Bruchteil der Gesamtkapazität angibt, den der Stausee nach den Regenfällen im September enthält, und berechne ihn, indem du bis zum vollständig gekürzten Bruch vereinfachst.
3. c) Wenn die maximale Gesamtkapazität des Stausees $160\text{ hm}^3$ beträgt, wie viele Kubikhektometer Wasser sind am Ende des Septembers tatsächlich gespeichert?

Berechne den exakten Wert des folgenden gemischten Terms. Wandle dazu zuerst die Dezimalzahlen in Brüche um und vereinfache die Zwischenschritte:

Eine junge Influencerin plant ihr monatliches Budget aus ihren Kooperationen. Sie gibt $\frac{2}{5}$ ihres Einkommens für die Miete ihres Studios aus und $\frac{1}{4}$ des Rests für die Videobearbeitung. Wenn ihr nach diesen Ausgaben noch $\frac{5}{9}$ dessen bleibt, was zum Sparen übrig war, und sie dann noch $480$ € für persönliche Ausgaben zur Verfügung hat, wie hoch ist ihr monatliches Gesamteinkommen?

In einem Chemielabor enthält ein Tank eine Mischung aus Alkohol und Wasser. Anfangs besteht $\frac{2}{7}$ des Inhalts aus Alkohol. Es werden $12$ Liter der Mischung entnommen und durch $12$ Liter reinen Alkohol ersetzt. Wenn die Mischung nun $\frac{2}{5}$ Alkohol enthält, wie viele Liter Flüssigkeit sind insgesamt im Tank?

Betrachte den Entwurf dieser modernen Bodenfliese für ein Kulturzentrum. Das äußere Quadrat hat einen Flächeninhalt von $1$ m$^2$. Nach einem geometrischen Muster wurden verschiedene Bereiche gefärbt. Bestimme, welchen Bruchteil des Ganzen der orange gefärbte Bereich darstellt, und berechne, wie viele cm$^2$ das sind.

Bei einem eSports-Turnier wird das Preisgeld folgendermaßen verteilt: Das Siegerteam erhält $\frac{4}{7}$ der Gesamtsumme, der Zweitplatzierte $\frac{2}{3}$ des Rests und der Drittplatzierte den Rest. Wenn der Unterschied zwischen dem Preisgeld des Zweiten und dem des Dritten $3.500$ € beträgt, berechne die Gesamtsumme des Preisgeldes und wie viel Geld jedes der drei Teams erhält.

Bestimme den Wert von $x$ in der folgenden Gleichung mit Potenzen rationaler Zahlen. Wende dazu die nötigen Potenzgesetze an, um den Term zu vereinfachen:

Eine Überwachungsdrohne fliegt hin und zurück zwischen zwei Stationen. Auf dem Hinweg fliegt sie mit Rückenwind mit konstanter Geschwindigkeit. Auf dem Rückweg mit Gegenwind sinkt ihre Geschwindigkeit auf $\frac{3}{5}$ der Geschwindigkeit des Hinwegs. Wenn die gesamte Flugzeit $1$ Stunde und $20$ Minuten betrug, welchen Bruchteil der Gesamtzeit hat sie für den Rückweg benötigt? Gib das Ergebnis auch in Minuten und Sekunden an.

Drei Teilhaber investieren in ein Technologieunternehmen. Der erste zahlt $12.000$ € ein, der zweite zahlt $\frac{2}{5}$ der Gesamtsumme ein und der dritte zahlt so viel ein wie die beiden anderen zusammen abzüglich $18.000$ €.

1. a) Wie hoch ist die gesamte Investition?
2. b) Welchen Bruchteil der Gesamtsumme zahlt jeder Teilhaber ein? (Gib die Brüche vollständig gekürzt an.)

Um den exakten Wert des Terms $M = \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{8}{9} - \frac{16}{21} \right)$ zu berechnen, diskutieren Sophie und David, was der klügste Weg ist:

• Sophies Methode (zuerst die Klammer): Sie bestimmt das kgV von $9$ und $21$, löst die Subtraktion in der Klammer und multipliziert dann mit $\frac{3}{4}$, wobei sie den entstehenden Bruch kürzt.

• Davids Methode (Distributivgesetz): Er wendet das Distributivgesetz an und berechnet $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{21}$, wobei er jedes Produkt kürzt, bevor er subtrahiert.

1. a) Löse den Term ausführlich nach Sophies Methode, bis du den vollständig gekürzten Bruch erhältst.
2. b) Löse den Term nach Davids Methode und gib dabei deutlich das Kürzen über Kreuz vor jeder Multiplikation an.
3. c) Analysiere die Größe der Nenner und Zähler, mit denen du auf beiden Wegen gerechnet hast. Begründe, welche der beiden Methoden in diesem konkreten Fall effizienter ist und ein geringeres Fehlerrisiko hat.

Bei einer anspruchsvollen Bergetappe der Spanien-Rundfahrt:

• Im ersten Abschnitt scheidet $\frac{1}{12}$ der gestarteten Fahrer aus.

• Im zweiten Abschnitt, beim Anstieg zu einem Pass der höchsten Kategorie, gibt $\frac{2}{11}$ der noch im Rennen verbliebenen Fahrer auf.

• Im dritten Abschnitt scheidet wegen eines heftigen Hagelschauers in der Abfahrt $\frac{1}{3}$ der Fahrer aus, die den Pass überquert hatten.

• Zu Beginn des Schlussanstiegs zum Ziel kämpfen nur noch $60$ Fahrer um die Etappe.

1. a) Stelle den Anteil des Fahrerfeldes, der Abschnitt für Abschnitt im Rennen bleibt, als verketteltes Produkt von Brüchen dar und kürze über Kreuz, um zu zeigen, dass die $60$ Fahrer genau $\frac{1}{2}$ des ursprünglichen Fahrerfeldes ausmachen.
2. b) Bestimme, wie viele Fahrer zu Beginn der Etappe gestartet sind.
3. c) In der Fernsehübertragung behauptet ein Kommentator: „Da zu Beginn $\frac{1}{12}$ ausgeschieden sind, $\frac{2}{11}$ am Pass und $\frac{1}{3}$ in der Abfahrt, zusammen $\frac{1}{12} + \frac{2}{11} + \frac{1}{3} = \frac{79}{132}$, bedeutet das, dass fast $60\,\%$ des Fahrerfeldes aufgegeben haben." Begründe mathematisch präzise den schweren Denkfehler des Kommentators und gib an, welcher Anteil des ursprünglichen Fahrerfeldes tatsächlich ausgeschieden ist.

Herausforderung zum Thema. Wie beeinflusst das Wetter unsere Umgebung? Werde Wetteranalyst und werte reale Daten aus deinem Kreis aus.

1. Datenerhebung: Rufe die offizielle Website des Deutschen Wetterdienstes auf und notiere die Höchst- und Tiefsttemperaturen (ganze oder Dezimalzahlen mit Vorzeichen) sowie den Niederschlag der letzten $7$ Tage.

2. Ganze Zahlen und Brüche: Berechne die tägliche Temperaturspanne ($T_{\text{max}} - T_{\text{min}}$) mithilfe von Rechenoperationen mit ganzen Zahlen und Dezimalzahlen. Gib die Regentage im Verhältnis zur Woche als Bruch an, bestimme den vollständig gekürzten Bruch und finde einen gleichwertigen Bruch, der auf einen Monat mit $28$ Tagen hochgerechnet ist.

3. Berechnung und Schlussfolgerungen: Gib die Daten in eine Tabellenkalkulation ein, um die Durchschnittstemperatur der Woche zu bestimmen, und schätze die Kosteneinsparung bei der Bewässerung, wenn jeder aufgefangene Liter $0,18$ € bedeutet (der Niederschlag in l/m² gibt die pro Quadratmeter aufgefangenen Liter an, gib die Einsparung also in €/m² an). Verfasse einen kurzen Bericht, in dem du deine Ergebnisse begründest.

Bewertet wird:

• Richtige Anwendung der Vorzeichen und Subtraktion ganzer Zahlen/Dezimalzahlen bei der Temperaturspanne.

• Sorgfältige Bestimmung des vollständig gekürzten Bruchs und seines gleichwertigen Bruchs.

• Genauigkeit bei den gemischten Rechnungen mit Dezimalzahlen in der Tabellenkalkulation.

• Klarheit und mathematische Begründung des abschließenden Berichts.