Rechnen mit ganzen Zahlen

Finde die ganze Zahl, die gleichzeitig diese drei Bedingungen erfüllt:

1. Ihr Betrag ist größer als $5$ und kleiner als $10$.

2. Multipliziert man sie mit $-3$, ist das Ergebnis eine positive Zahl.

3. Addierst du ihre Gegenzahl, ist das Ergebnis $0$.

Gibt es mehr als eine mögliche Lösung? Begründe deine Antwort.

Bestimme die unbekannte ganze Zahl $x$ in jeder der folgenden Gleichungen:

1. a) $x \cdot (-4 + 9) = -25$

1. b) $(-30) : x + (-12) = -18$

1. c) $2 \cdot |x| = 14$ (Finde alle möglichen Lösungen für $x$.)

In einem Skigebiet in den Alpen zeigte das Thermometer um sieben Uhr morgens $-4$ °C an. Wenn die Temperatur mittags um $9$ °C gestiegen ist, welche Temperatur zeigt das Thermometer jetzt an? Gib die Rechnung mit ganzen Zahlen an.

Berechne die folgenden einfachen Summen und Differenzen ganzer Zahlen:

1. a) $(+7) + (+5) =$
2. b) $(-8) + (-3) =$
3. c) $(+9) + (-4) =$
4. d) $(-6) + (+10) =$

Löse die folgenden Rechnungen, indem du zuerst die Klammern auflöst:

1. a) $12 + (-5) =$
2. b) $8 - (+10) =$
3. c) $(-3) - (-7) =$
4. d) $(-5) + (+5) =$

Verwende die Vorzeichenregel, um diese Multiplikationen und Divisionen zu lösen:

1. a) $(+4) \cdot (-3) =$
2. b) $(-5) \cdot (-2) =$
3. c) $(-20) : (+5) =$
4. d) $(-18) : (-3) =$

Drei unbekannte ganze Zahlen $a$, $b$ und $c$ erfüllen gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen:

1. Ihr Produkt ist echt negativ: $a \cdot b \cdot c < 0$.

2. Die Division $a : b$ geht auf und ergibt eine positive ganze Zahl: $a : b > 0$.

3. Die Summe von zwei von ihnen ist null: $a + c = 0$, wobei außerdem gilt: $a \neq 0$.

1. a) Leite logisch und begründet das Vorzeichen (positiv oder negativ) jeder der drei Zahlen ($a$, $b$ und $c$) her. Begründe jeden Schritt mit dem Begriff der Gegenzahlen und mit den Vorzeichenregeln der Multiplikation und Division.
2. b) Es gilt $|b| = 2$ und das Produkt der drei Zahlen ist $a \cdot b \cdot c = -72$. Bestimme die genauen Zahlenwerte von $a$, $b$ und $c$.
3. c) Berechne mit den in der vorigen Teilaufgabe gefundenen Werten das Ergebnis der folgenden zusammengesetzten Rechnung und beachte dabei die Rangfolge der Rechenoperationen und die Vorzeichenregeln:

Wende das Distributivgesetz an, um diese Terme möglichst einfach zu berechnen (klammere aus, wo es nötig ist):

1. a) $(-7) \cdot (+12) + (-7) \cdot (-2)$

1. b) $15 \cdot (-4) - 15 \cdot (+6)$

1. c) $(-10) \cdot (-3) + (-10) \cdot (+13)$

Zwei Schülerinnen, Lea und Lina, sollen den Wert des folgenden Terms mit ganzen Zahlen berechnen:

• Lea wendet die übliche Rangfolge an: Sie berechnet zuerst die beiden Multiplikationen einzeln und addiert dann die erhaltenen Ergebnisse.

• Lina betrachtet den Aufbau der Rechnung und wendet das Distributivgesetz rückwärts an (Ausklammern): $C = (-15) \cdot (74 + 26)$.

1. a) Berechne das Ergebnis ausführlich nach Leas Methode und nach Linas Methode. Überprüfe, dass beide Wege zur selben Lösung führen.
2. b) Vergleiche die beiden Methoden und begründe, welche für das Kopfrechnen effizienter ist und warum sie das Risiko verringert, sich bei den Vorzeichen und den Zwischenrechnungen zu verrechnen.
3. c) Entwirf selbst eine neue zusammengesetzte Rechnung aus der Summe oder Differenz von drei Produkten ganzer Zahlen, bei der Linas Strategie es erlaubt, sie in wenigen Sekunden im Kopf zu lösen, ohne lange Rechnungen auf Papier. Gib deinen Term und seine begründete Lösung an.

Berechne das Ergebnis dieser einfachen zusammengesetzten Rechnungen und beachte die Rangfolge (Denke daran: zuerst Punktrechnung, dann Strichrechnung):

1. a) $5 + 2 \cdot (-3) =$
2. b) $(-10) : 2 + 8 =$
3. c) $4 \cdot 3 - 15 =$

Löse die folgenden zusammengesetzten Rechnungen mit Klammern. Denke daran, zuerst das zu berechnen, was in den Klammern steht:

1. a) $18 - [ 2 + (-5) - (4 - 7) ]$

1. b) $[ (-6) \cdot 2 - (-10) ] : (-2)$

1. c) $30 : [ (-4) + (-2) \cdot (-3) ]$

1. d) $(-5) \cdot [ 8 - (12 : (-3)) ]$

Setze in den folgenden Term die nötigen runden und eckigen Klammern so, dass das Ergebnis genau $-5$ ist:

$-15 + 3 \cdot -4 - 12 : -6 + 1$

Markus hat in seinem Heft zwei Aufgaben gelöst und dabei sehr typische Fehler mit ganzen Zahlen gemacht:

• Aufgabe 1: Er hat $(-7) + (-4) = +11$ geschrieben und begründet das mit „Minus mal Minus ist Plus“.

• Aufgabe 2: Er hat $-5^2 = 25$ geschrieben und begründet das damit, dass „jede quadrierte Zahl positiv ist“.

1. a) Erkläre Markus begründet, welchen Denkfehler er in Aufgabe 1 gemacht hat, und stelle den Unterschied zwischen dem Addieren ganzer Zahlen mit gleichem Vorzeichen und dem Multiplizieren ganzer Zahlen klar. Schreibe die richtige Lösung auf.
2. b) Erkläre Markus anhand der Bedeutung der Basis einer Potenz und der Rangfolge der Rechenoperationen, warum $-5^2$ nicht dasselbe Ergebnis ergibt wie $(-5)^2$. Schreibe den richtigen Wert beider Terme auf.

Berechne den Wert des folgenden zusammengesetzten Terms Schritt für Schritt und beachte dabei genau die Rangfolge der Rechenoperationen:

$(-2)^4 + \sqrt{25} \cdot (-3) - [(-8 + 10)^3 : (-2^2)]$

Hinweis: Achte auf den Unterschied zwischen $(-2)^2$ und $-2^2$.

Eine Wetterstation in den Alpen registrierte im Verlauf eines Wintertages die folgenden Temperaturänderungen:

1. Um 8:00 Uhr betrug die Temperatur $-5\ ^\circ C$.

2. Um 12:00 Uhr war sie um $8\ ^\circ C$ gestiegen.

3. Um 18:00 Uhr sank sie gegenüber der vorherigen Messung um $4\ ^\circ C$.

4. Um 22:00 Uhr sank sie noch einmal um $6\ ^\circ C$.

Schreibe einen einzigen mathematischen Term mit ganzen Zahlen auf, der all diese Änderungen beschreibt, und berechne die Temperatur am Ende des Tages.

Im Kontoauszug eines Comicladens stehen die folgenden Buchungen:

• Anfangsstand: $+450\ €$

• Zahlung an den Lieferanten: $-620\ €$

• Verkauf von Sammelfiguren: $+185\ €$

• Erstattung für einen defekten Artikel: $-45\ €$

• Einnahme aus Abonnements: $+110\ €$

Berechne den Endstand des Kontos. Die Bank verlangt eine Gebühr von $15\ €$, wenn das Konto im Minus ist (Kontostand kleiner als 0). Muss der Ladenbesitzer sie bezahlen?

Ein Höhlenforscherteam erkundet einen tiefen Schacht. Es beginnt am Eingang (Niveau $0$ Meter). Nacheinander führt es die folgenden Bewegungen aus:

1. Es steigt $45$ Meter ab.

2. Es steigt $12$ Meter auf, um ein Basislager aufzubauen.

3. Es steigt das Dreifache dessen ab, was es gerade aufgestiegen ist.

4. Schließlich steigt es noch $18$ Meter bis zum Grund ab.

Schreibe einen einzigen Term mit ganzen Zahlen auf, der den ganzen Vorgang beschreibt, und berechne, in welcher Tiefe der Grund des Schachts liegt.