Antiproportionale Zuordnungen
Vier Personen brauchen 30 Minuten, um die Turnhalle zu putzen. Wie lange brauchen sechs Personen? Sicher weniger Zeit – aber wie viel weniger? Je mehr Wasserhähne du beim Füllen eines Beckens öffnest, desto weniger Stunden dauert es. Bei solchen Aufgaben wird die eine Größe geteilt, wenn du die andere mit einer Zahl multiplizierst. Das nennt man eine antiproportionale Zuordnung.
Was ist eine antiproportionale Zuordnung?
Ein Beispiel: Die Anzahl der Personen beim Putzen und die benötigte Zeit.
| Personen $x$ | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Zeit $y$ in min | 120 | 60 | 30 | 15 |
Verdoppelst du die Personenzahl, halbiert sich die Zeit. Der Graph ist keine Gerade, sondern eine gekrümmte Linie (Hyperbel). Mehr dazu findest du im Abschnitt über den Graphen antiproportionaler Zuordnungen.
Gib mit Begründung an, ob die folgenden Größenpaare antiproportional zueinander sind: a) Die Anzahl der Personen, die einen Zaun streichen, und die Zeit, die sie bis zur…
Gib mit Begründung an, ob die folgenden Größenpaare antiproportional zueinander sind:
- a) Die Anzahl der Personen, die einen Zaun streichen, und die Zeit, die sie bis zur Fertigstellung brauchen.
- b) Die Anzahl der Kilogramm Äpfel, die du kaufst, und der Gesamtpreis, den du bezahlst.
- c) Die Geschwindigkeit, mit der ein Zug fährt, und die Zeit, die er für die Strecke zwischen zwei Städten braucht.
- d) Die Seitenzahl eines Buches und sein Gewicht.
Für den Aufbau der Bühne eines Musikfestivals haben $4$ Arbeiter $12$ Stunden gearbeitet. Wenn das Festival insgesamt $8$ Arbeiter einstellt, die im gleichen Tempo…
Für den Aufbau der Bühne eines Musikfestivals haben $4$ Arbeiter $12$ Stunden gearbeitet. Wenn das Festival insgesamt $8$ Arbeiter einstellt, die im gleichen Tempo arbeiten, wie viele Stunden brauchen sie dann für den Aufbau derselben Bühne?
Produktgleichheit und Zuordnungsvorschrift
Bei proportionalen Zuordnungen ist der Quotient $\frac{y}{x}$ konstant, bei antiproportionalen das Produkt $x \cdot y$. So prüfst du eine Tabelle:
| $x$ | 2 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|
| $y$ | 30 | 15 | 12 |
Produkte: $2 \cdot 30 = 60$, $4 \cdot 15 = 60$, $5 \cdot 12 = 60$. Alle gleich, also antiproportional mit $k = 60$. Die Quotienten ($15$; $3{,}75$; $2{,}4$) sind nicht gleich, also nicht proportional.
Gilt weder Quotienten- noch Produktgleichheit, ist die Zuordnung weder proportional noch antiproportional.
Eine Gruppe von Freunden möchte für einen Ausflug einen Transporter mieten. Wenn $6$ Freunde mitfahren, muss jeder $15$ Euro bezahlen. Berechne, wie viel jeder bezahlen…
Eine Gruppe von Freunden möchte für einen Ausflug einen Transporter mieten. Wenn $6$ Freunde mitfahren, muss jeder $15$ Euro bezahlen. Berechne, wie viel jeder bezahlen müsste, wenn sich schließlich $10$ Personen für die Fahrt anmelden.
Für den Aufbau der Bühne eines Musikfestivals haben $8$ Arbeiter $15$ Stunden gearbeitet. Wenn die Gemeinde möchte, dass der Aufbau schon nach nur $10$ Stunden fertig…
Für den Aufbau der Bühne eines Musikfestivals haben $8$ Arbeiter $15$ Stunden gearbeitet. Wenn die Gemeinde möchte, dass der Aufbau schon nach nur $10$ Stunden fertig ist, wie viele zusätzliche Arbeiter müssen eingestellt werden, wenn alle im gleichen Tempo arbeiten?
Der antiproportionale Dreisatz
Beim Dreisatz gehst du über die Einheit: Du fragst zuerst nach einer Person (einem Hahn …) und rechnest dann auf die gesuchte Anzahl.
Du kannst auch gleich mit $k$ rechnen: $k = 3 \cdot 9 = 27$ und $y = 27 : 5 = 5{,}4$. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Eine Gruppe von Freunden hat bei einem Roboterwettbewerb ein Preisgeld von $300$ € gewonnen und beschlossen, es gleichmäßig aufzuteilen. Vervollständige die folgende…
Eine Gruppe von Freunden hat bei einem Roboterwettbewerb ein Preisgeld von $300$ € gewonnen und beschlossen, es gleichmäßig aufzuteilen. Vervollständige die folgende Tabelle, um herauszufinden, wie viel Geld jeder erhält, je nachdem, wie viele Personen die Gruppe bilden. Gib auch das konstante Produkt (die Konstante der Antiproportionalität) an.
| Anzahl der Freunde ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Geld pro Person ($y$) | $150$ | ? | ? | ? | ? |
Im Graphen siehst du den Fall mit $2$ Freunden markiert.
Zwei Zahnräder greifen ineinander. Das erste hat $48$ Zähne und dreht sich mit $150$ Umdrehungen pro Minute (rpm). Mit welcher Drehzahl dreht sich das zweite Rad, wenn…
Zwei Zahnräder greifen ineinander. Das erste hat $48$ Zähne und dreht sich mit $150$ Umdrehungen pro Minute (rpm). Mit welcher Drehzahl dreht sich das zweite Rad, wenn es $30$ Zähne hat?
Drei Freunde wollen die $282$ €, die sie als Preis bei einem Robotik-Wettbewerb gewonnen haben, antiproportional zu den Minuten aufteilen, die sie für ihre…
Drei Freunde wollen die $282$ €, die sie als Preis bei einem Robotik-Wettbewerb gewonnen haben, antiproportional zu den Minuten aufteilen, die sie für ihre Abschlussaufgabe gebraucht haben. Wenn der erste Freund $12$ Minuten, der zweite $15$ Minuten und der dritte $20$ Minuten gebraucht hat, wie viel Geld bekommt jeder?
Zurück zum Anfang: Vier Personen brauchen 30 Minuten, also gilt $k = 4 \cdot 30 = 120$ (Personen · Minuten). Sechs Personen brauchen $120 : 6 = 20$ Minuten.