Dreiecke aus gegebenen Maßen konstruieren

Planfigur und Werkzeuge

Beim Konstruieren benutzt du nur Lineal oder Geodreieck, Zirkel und einen spitzen Bleistift. Du zeichnest nicht frei Hand und rechnest nichts aus. Eine Konstruktion ist genau dann gut, wenn jemand anderes sie mit deiner Beschreibung nachzeichnen kann.

Vor jeder Konstruktion fertigst du eine Planfigur an. Das ist eine kleine Skizze aus freier Hand. Du schreibst alle gegebenen Größen hinein, die gesuchten markierst du mit einem Fragezeichen oder farbig. Die Planfigur hilft dir, die Reihenfolge der Schritte zu planen.

Diese drei Grundschritte brauchst du immer wieder:

Der Punkt, an dem sich zwei Linien (Bogen oder Schenkel) kreuzen, heißt Schnittpunkt. Er ist meistens die dritte Ecke des Dreiecks.

Die Bezeichnungen: Die Ecken heißen $A$, $B$, $C$. Die Seite $a$ liegt der Ecke $A$ gegenüber, $b$ liegt $B$ gegenüber und $c$ liegt $C$ gegenüber. Der Winkel $\alpha$ liegt bei $A$, $\beta$ bei $B$ und $\gamma$ bei $C$.

Drei Seiten gegeben (SSS)

Sind alle drei Seitenlängen bekannt, brauchst du keinen Winkel zu messen. Du konstruierst mit zwei Kreisbögen.

Maßstab: Pläne im verkleinerten Maßstab

Bei Plänen von großen Flächen, zum Beispiel einem Grundstück, zeichnest du verkleinert. Der Maßstab $1:1000$ bedeutet: $1\,\text{cm}$ in der Zeichnung entspricht $1000\,\text{cm}$ in Wirklichkeit, also $10\,\text{m}$.

Mit den Längen aus der Zeichnung konstruierst du dann wie gewohnt, zum Beispiel mit SSS.

Eine Seite und zwei Winkel (WSW, SWW)

Kennst du eine Seite und die beiden Winkel an ihren Enden, ist die Konstruktion einfach: An jedem Ende trägst du einen Winkel an. Die Schenkel schneiden sich in der dritten Ecke.

Sind zwei Winkel gegeben, aber nicht beide an der gegebenen Seite, rechnest du zuerst den dritten Winkel aus. Das geht mit dem Innenwinkelsatz: In jedem Dreieck gilt

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS)

Sind zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen gegeben, trägst du den Winkel in dem Punkt an, in dem sich die beiden Seiten treffen.

Schreibe die Konstruktionsschritte immer mit Fachbegriffen auf, zum Beispiel so:

1. Strecke $\overline{AB}$ zeichnen, $c = 4\,\text{cm}$.

2. In $A$ den Winkel $\alpha = 50^\circ$ antragen.

3. Kreisbogen um $A$ mit Radius $6\,\text{cm}$ schlagen; Schnittpunkt mit dem Schenkel ist $C$.

4. $C$ mit $B$ verbinden.

Wann geht es, und wie oft?

Nicht jede Angabe führt zu einem Dreieck, und manche führen zu mehreren.

Drei Seiten: die Dreiecksungleichung

Mit drei Seiten gelingt die Konstruktion nur, wenn sich die beiden Kreisbögen schneiden. Das ist der Fall, wenn jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen:

Wäre $c = 8\,\text{cm}$ und $a + b = 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 7\,\text{cm}$, reichen die Bögen nie bis zueinander. Ist $a + b$ genau gleich $c$, berühren sich die Bögen nur auf der Strecke $\overline{AB}$: Es entsteht kein richtiges Dreieck, nur eine Strecke.

Zwei Winkel: Winkelsumme

Mit zwei Winkeln und einer Seite geht es nur, wenn $\alpha + \beta < 180^\circ$ ist. Denn $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$ muss größer als $0^\circ$ sein.

Zwei Seiten und ein Winkel, der nicht dazwischen liegt (SsW)

Hier gibt es einen Sonderfall. Sei $c = 5\,\text{cm}$, $\alpha = 50^\circ$ und $a$ die Seite gegenüber von $\alpha$. Der Punkt $C$ liegt auf dem Schenkel von $\alpha$ und zugleich auf einem Kreisbogen um $B$ mit Radius $a$.

Mit $c = 5\,\text{cm}$, $\alpha = 50^\circ$ und $a = 4\,\text{cm}$ gibt es zwei Dreiecke $ABC_1$ und $ABC_2$. Der Bogen um $B$ schneidet den Schenkel zweimal.

Dabei zählt die Höhe von $B$ zum Schenkel: Sie beträgt etwa $5\,\text{cm} \cdot \sin 50^\circ \approx 3{,}8\,\text{cm}$.

• Ist $a$ kleiner als diese Höhe ($a = 3\,\text{cm}$), erreicht der Bogen den Schenkel nicht: keine Lösung.

• Ist $a$ genau so lang, berührt der Bogen den Schenkel: eine Lösung mit rechtem Winkel bei $C$.

• Liegt $a$ zwischen der Höhe und $c$ ($a = 4\,\text{cm}$), gibt es zwei Lösungen.

• Ist $a$ größer als $c$ ($a = 6\,\text{cm}$), liegt der zweite Schnittpunkt auf der anderen Seite von $A$: Das gibt nur eine Lösung.

Du brauchst den Sinus nicht zu rechnen. Die Zeichnung zeigt dir, wie oft sich Bogen und Schenkel schneiden.

Drei Winkel: nicht eindeutig

Kennst du nur die drei Winkel ($\alpha = 40^\circ$, $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 80^\circ$), gibt es unendlich viele Dreiecke. Sie haben alle dieselbe Form, aber verschiedene Größe. Mit nur drei Winkeln gibt es also keine eindeutige Konstruktion.

Zurück zum Anfang: Kennt der Hausmeister die drei Seitenlängen, kann er das Beet maßstäblich zeichnen, solange die Dreiecksungleichung gilt. Er könnte auch eine Seite und zwei Winkel messen.

Auf einen Blick

• Erst die Planfigur, dann die Konstruktion. Schreibe die Schritte mit Fachbegriffen auf: Strecke zeichnen, Winkel antragen, Kreisbogen schlagen, Schnittpunkt bestimmen.

• SSS: eine Seite zeichnen, um die Enden Kreisbögen mit den anderen Seiten schlagen. Es muss gelten: Jede Seite ist kürzer als die Summe der beiden anderen.

• WSW: an den Enden einer Seite die Winkel antragen. Fehlt ein Winkel, berechne ihn mit $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

• SWS: den Winkel zwischen den Seiten antragen und die Seitenlänge auf dem Schenkel abtragen.

• SsW: je nach Länge der Seite gegenüber dem Winkel gibt es keine, eine oder zwei Lösungen. Die Zeichnung zeigt es.

• Drei Winkel allein legen ein Dreieck nicht fest.