Die Menge der rationalen Zahlen

In einer Pizzeria wurde eine Familienpizza in $8$ gleiche Stücke geteilt. Wenn Marcus $3$ Stücke gegessen hat, gib den Anteil der Pizza, den er gegessen hat, als Bruch an und bestimme eindeutig, was der Zähler und was der Nenner ist. Wie liest man diesen Bruch?

Schreibe die folgenden natürlichen Zahlen als Bruch (du kannst den Nenner wählen, den du möchtest, solange das Ergebnis stimmt):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

In der Mathematik werden Zahlen in „Familien" oder Mengen eingeteilt. Betrachte das folgende Venn-Diagramm, das die Mengen der natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}$), der ganzen Zahlen ($\mathbb{Z}$) und der rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}$) darstellt.

Ordne jede der folgenden Zahlen an der passenden Stelle im Diagramm ein:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Betrachte die folgende geometrische Figur und schreibe in dein Heft den Bruch auf, der den orange gefärbten Bereich darstellt.

Ordne die folgenden Brüche als echte Brüche, unechte Brüche oder gleich eins ein:

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

Gib an, welchen Bruchteil einer Stunde die folgenden Zeitspannen darstellen (denke daran, dass eine Stunde $60$ Minuten hat):

1. a) $15$ Minuten.

1. b) $30$ Minuten.

1. c) $10$ Minuten.

1. d) $60$ Minuten.

Für eine Geburtstagsfeier wurden mehrere gleich große Pizzen gekauft. Am Ende der Feier sind folgende Stücke übrig geblieben:

• $\frac{3}{4}$ einer Schinkenpizza.

• $\frac{5}{4}$ Pepperoni-Pizzen.

• $\frac{1}{2}$ einer Gemüsepizza.

1. a) Schreibe den Bruchteil der Pepperoni-Pizza als gemischte Zahl.
2. b) Wenn wir alle Reste zusammenlegen, haben wir dann mehr oder weniger als 3 ganze Pizzen? Begründe deine Antwort, indem du die Summe berechnest.

Zeichne den Zahlenstrahl aus der Abbildung (mit 0, 1 und 2, wobei jede Einheit in 4 gleiche Teile unterteilt ist) in dein Heft ab und trage die folgenden rationalen Zahlen darauf ein:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Trage auf dem folgenden Zahlenstrahl die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ ein, die diesen rationalen Zahlen entsprechen. Jede Einheit ist in 4 gleiche Teile unterteilt.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

Beim Entwurf eines neuen Speicherchips muss ein Ingenieur drei Sensoren auf einer logischen Linie platzieren. Sensor A liegt an der Position $\frac{2}{5}$ und Sensor B an der Position $\frac{3}{5}$.

Der Ingenieur muss einen dritten Sensor C genau im Mittelpunkt zwischen A und B platzieren. Außerdem muss er einen Sensor D setzen, der im Mittelpunkt zwischen A und C liegt.

Berechne die Brüche, die die Positionen von C und D darstellen, und trage sie auf einem passend unterteilten Zahlenstrahl ein.

Wir sagen, dass die Menge der rationalen Zahlen dicht ist, weil wir zwischen zwei Brüchen immer einen weiteren Bruch finden können, egal wie nah sie beieinander liegen.

Finde drei Brüche zwischen $\frac{4}{7}$ und $\frac{5}{7}$, die den Nenner $28$ haben. Ordne die fünf entstandenen Brüche der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten.

Drei Freunde spielen den „Battle Pass" ihres Lieblingsvideospiels durch. Jeder ist unterschiedlich weit vorangekommen:

• Marcus: hat $\frac{12}{18}$ des Ganzen geschafft.

• Sarah: hat $\frac{20}{30}$ des Ganzen geschafft.

• Alex: hat $\frac{2}{3}$ des Ganzen geschafft.

Begründe, ob die drei Freunde auf demselben Level des Spiels sind, indem du für jeden den vollständig gekürzten Bruch bestimmst.

In einer Untersuchung zur Handynutzung wurde analysiert, welchen Bruchteil des gesamten Speichers verschiedene Apps auf Lenas Telefon belegen:

• Soziale Netzwerke: $\frac{3}{10}$ des Ganzen.

• Spiele: $\frac{2}{5}$ des Ganzen.

• Fotos und Videos: $\frac{1}{4}$ des Ganzen.

1. a) Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
2. b) Ordne die Kategorien nach der Größe des belegten Speichers, beginnend mit der größten.
3. c) Ist auf dem Telefon noch Speicherplatz frei? Erkläre deine Antwort.

Bei einem Weitsprungwettbewerb notieren die Kampfrichter die Weiten von vier Athleten. Einige Ergebnisse sind als Bruch und andere als Dezimalzahl angegeben:

• Athlet 1: $6,4$ Meter.

• Athlet 2: $\frac{13}{2}$ Meter.

• Athlet 3: $6,35$ Meter.

• Athlet 4: $\frac{32}{5}$ Meter.

1. a) Schreibe alle Weiten als Dezimalzahlen.

1. b) Welche zwei Athleten sind genau gleich weit gesprungen?

1. c) Ordne die Athleten von dem, der am kürzesten gesprungen ist, bis zu dem, der am weitesten gesprungen ist (bei Gleichstand gib dies an).

Um die rationalen Zahlen $-\frac{3}{4}$, $-0,8$, $-\frac{5}{6}$ und $-\frac{7}{10}$ der Größe nach zu ordnen, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Strategien vor: - Jonas sagt: „Es ist besser, die Dezimaldarstellung jedes Bruchs durch Division zu berechnen und alle Zahlen in Dezimalform zu vergleichen." - Sarah sagt: „Es ist besser, $-0,8$ als vollständig gekürzten Bruch zu schreiben, die vier Brüche auf einen gemeinsamen positiven Nenner zu bringen und ihre Zähler zu vergleichen." a) Wende Jonas' Verfahren an und schreibe die erhaltene Reihenfolge auf. b) Wende Sarahs Verfahren an, um das Ergebnis zu überprüfen. c) Welches der beiden Verfahren hältst du in diesem speziellen Fall für geeigneter und genauer? Begründe deine Antwort, indem du analysierst, welche Art von Dezimalzahl der Bruch $-\frac{5}{6}$ ergibt und welches Risiko beim Runden besteht.

Drei Freunde, Ioana, Marcus und Rayan, laden ein Videospiel herunter. Nach einer Stunde hat Ioana $\frac{13}{20}$ des Ganzen heruntergeladen, Marcus $\frac{19}{30}$ und Rayan hat $\frac{5}{8}$ geschafft.

1. Ordne die Freunde nach der heruntergeladenen Menge von groß nach klein. Vergleiche die Brüche dazu mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

2. Wenn das Videospiel $120$ GB groß ist, wie viele GB muss jeder noch herunterladen? Gib die Ergebnisse als Brüche und als ganze Zahlen an.

Bestimme, welche der folgenden Brüche eine endliche und welche eine periodische Dezimalzahl (rein- oder gemischtperiodisch) ergeben, ohne die Division auszuführen. Betrachte dazu nur die Primfaktorzerlegung der Nenner:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Tipp: Denke an die Regel der Faktoren 2 und 5 im Nenner.)

Lea soll bestimmen, welche Art von Dezimalzahl der Bruch $\frac{21}{60}$ ergibt, ohne die Division auszuführen. In ihrer Klassenarbeit schreibt sie Folgendes: „Ich zerlege den Nenner in Primfaktoren: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Da in der Zerlegung die Primzahl 3 vorkommt, die von 2 und 5 verschieden ist, ergibt der Bruch zwingend eine periodische Dezimalzahl." a) Erkläre ausführlich den Fehler, den Lea in ihrer Überlegung gemacht hat. b) Korrigiere das Vorgehen, indem du den Bruch zuvor kürzt, und folgere mit Begründung, welche Art von Dezimalzahl man tatsächlich erhält.

Nach Daten des spanischen Ministeriums für den ökologischen Wandel zu den Wasserreserven in Spanien zeigen zwei Stauseen zu Frühlingsbeginn folgende Situation: - Stausee A enthält $175\text{ hm}^3$ bei einer Gesamtkapazität von $250\text{ hm}^3$. - Stausee B enthält $210\text{ hm}^3$ bei einer Gesamtkapazität von $336\text{ hm}^3$. a) Beschreibe den Anteil des gestauten Wassers am Ganzen jeweils durch einen vollständig gekürzten Bruch. b) Zeige ohne vollständige Division mithilfe der Primfaktorzerlegung der Nenner der gekürzten Brüche, ob der Füllstand jedes Stausees als Dezimalzahl endlich oder periodisch ist. c) Nach einer Regenperiode nimmt das Volumen von Stausee A um $25\text{ hm}^3$ und das von Stausee B um $42\text{ hm}^3$ zu. Gib die neuen Füllbrüche an, vergleiche sie begründet und bestimme, welcher der beiden Stauseen nun anteilig voller ist.