Aufgaben: Die Menge der rationalen Zahlen

In einer Pizzeria wurde eine Familienpizza in $8$ gleiche Stücke geteilt. Wenn Marcus $3$ Stücke gegessen hat, gib den Anteil der Pizza, den er gegessen hat, als Bruch an und bestimme eindeutig, was der Zähler und was der Nenner ist. Wie liest man diesen Bruch?

Betrachte die folgende geometrische Figur und schreibe in dein Heft den Bruch auf, der den orange gefärbten Bereich darstellt.

Ordne die folgenden Brüche als echte Brüche, unechte Brüche oder gleich eins ein:

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

Wir bereiten eine Party vor und kaufen Packungen mit Erfrischungsgetränken. Jede Packung enthält $6$ Dosen. Wenn wir für die Party $\dfrac{12}{6}$ Packungen brauchen, wie viele ganze Packungen müssen wir dann kaufen? Ist dieser Bruch eine natürliche Zahl?

Stelle die folgenden Brüche in deinem Heft grafisch mit Quadraten oder Rechtecken dar:

1. a) $\dfrac{3}{4}$

1. b) $\dfrac{5}{2}$ (Tipp: Du musst mehr als eine ganze Figur zeichnen.)

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Gib an, welchen Bruchteil einer Stunde die folgenden Zeitspannen darstellen (denke daran, dass eine Stunde $60$ Minuten hat):

1. a) $15$ Minuten.

1. b) $30$ Minuten.

1. c) $10$ Minuten.

1. d) $60$ Minuten.

Zeichne den Zahlenstrahl aus der Abbildung (mit 0, 1 und 2, wobei jede Einheit in 4 gleiche Teile unterteilt ist) in dein Heft ab und trage die folgenden rationalen Zahlen darauf ein:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Schreibe die folgenden natürlichen Zahlen als Bruch (du kannst den Nenner wählen, den du möchtest, solange das Ergebnis stimmt):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

Lea soll bestimmen, welche Art von Dezimalzahl der Bruch $\frac{21}{60}$ ergibt, ohne die Division auszuführen. In ihrer Klassenarbeit schreibt sie Folgendes: „Ich zerlege den Nenner in Primfaktoren: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Da in der Zerlegung die Primzahl 3 vorkommt, die von 2 und 5 verschieden ist, ergibt der Bruch zwingend eine periodische Dezimalzahl." a) Erkläre ausführlich den Fehler, den Lea in ihrer Überlegung gemacht hat. b) Korrigiere das Vorgehen, indem du den Bruch zuvor kürzt, und folgere mit Begründung, welche Art von Dezimalzahl man tatsächlich erhält.

Entwirf zwei verschiedene Brüche, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllen: 1) Der Nenner jedes Bruchs muss eine ganze Zahl zwischen $10$ und $20$ sein. 2) Der Wert beider Brüche muss echt zwischen $0,4$ und $0,6$ liegen. 3) Einer der Brüche muss eine endliche Dezimalzahl ergeben und der andere eine periodische Dezimalzahl. Begründe deine Antwort, indem du die Primfaktorzerlegung der Nenner prüfst, nachdem du die Brüche vollständig gekürzt hast, und berechne ihre Dezimaldarstellung.

Paul beschäftigt sich mit den rationalen Zahlen und behauptet in seinem Heft Folgendes:

1) „Die Zahl $A = \frac{-18}{-3}$ gehört nicht zur Menge der rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}$), weil die Division $+6$ ergibt und $+6$ eine ganze Zahl ist, kein Bruch."

2) „Die Zahl $B = -\frac{5}{-2}$ ist negativ, weil sie zwei Minuszeichen hat."

Finde den Denkfehler, den Paul in jeder seiner Behauptungen macht, erkläre mit eigenen Worten, warum er sich irrt (denke dabei an den Zusammenhang zwischen ganzen und rationalen Zahlen sowie an die Vorzeichenregel bei Brüchen), und schreibe den vereinfachten Wert und das endgültige Vorzeichen von $A$ und von $B$ auf.

Eine rationale Zahl lässt sich als Bruch $\frac{a}{b}$ schreiben, wobei $a$ und $b$ ganze Zahlen mit $b \neq 0$ sind. Finde eine rationale Zahl, die gleichzeitig die folgenden vier Bedingungen erfüllt:

1) Sie ist eine streng negative Zahl.

2) Ihr Wert liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen $-2$ und $-1$.

3) Ihr Nenner $b$ ist eine Primzahl, die kleiner als $6$ ist.

4) Der Betrag ihres Zählers ist gleich der Gegenzahl von $-5$.

Schreibe den Bruch auf, der diese Bedingungen erfüllt, überprüfe Schritt für Schritt, dass er jede einzelne erfüllt, und erkläre, zwischen welchen beiden Teilstrichen des Zahlenstrahls er liegen würde, wenn du jede Einheit in so viele Teile teilst, wie sein Nenner angibt.

In der Mathematik werden Zahlen in „Familien" oder Mengen eingeteilt. Betrachte das folgende Venn-Diagramm, das die Mengen der natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}$), der ganzen Zahlen ($\mathbb{Z}$) und der rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}$) darstellt.

Ordne jede der folgenden Zahlen an der passenden Stelle im Diagramm ein:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Drei Freunde spielen den „Battle Pass" ihres Lieblingsvideospiels durch. Jeder ist unterschiedlich weit vorangekommen:

• Marcus: hat $\frac{12}{18}$ des Ganzen geschafft.

• Sarah: hat $\frac{20}{30}$ des Ganzen geschafft.

• Alex: hat $\frac{2}{3}$ des Ganzen geschafft.

Begründe, ob die drei Freunde auf demselben Level des Spiels sind, indem du für jeden den vollständig gekürzten Bruch bestimmst.

Trage auf dem folgenden Zahlenstrahl die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ ein, die diesen rationalen Zahlen entsprechen. Jede Einheit ist in 4 gleiche Teile unterteilt.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

In einer Untersuchung zur Handynutzung wurde analysiert, welchen Bruchteil des gesamten Speichers verschiedene Apps auf Lenas Telefon belegen:

• Soziale Netzwerke: $\frac{3}{10}$ des Ganzen.

• Spiele: $\frac{2}{5}$ des Ganzen.

• Fotos und Videos: $\frac{1}{4}$ des Ganzen.

1. a) Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
2. b) Ordne die Kategorien nach der Größe des belegten Speichers, beginnend mit der größten.
3. c) Ist auf dem Telefon noch Speicherplatz frei? Erkläre deine Antwort.

Ein Influencer hat $120.000$ Follower. Am Montag haben $\frac{2}{5}$ seiner Follower sein Foto mit „Like" markiert. Am Dienstag taten dies $\frac{3}{4}$ derjenigen, die am Montag ein „Like" gegeben hatten.

1. a) Wie viele Personen haben am Montag ein „Like" gegeben?
2. b) Wie viele Personen haben am Dienstag ein „Like" gegeben?
3. c) Welchen Bruchteil aller Follower stellen die Personen dar, die am Dienstag ein „Like" gegeben haben?

Für eine Geburtstagsfeier wurden mehrere gleich große Pizzen gekauft. Am Ende der Feier sind folgende Stücke übrig geblieben:

• $\frac{3}{4}$ einer Schinkenpizza.

• $\frac{5}{4}$ Pepperoni-Pizzen.

• $\frac{1}{2}$ einer Gemüsepizza.

1. a) Schreibe den Bruchteil der Pepperoni-Pizza als gemischte Zahl.
2. b) Wenn wir alle Reste zusammenlegen, haben wir dann mehr oder weniger als 3 ganze Pizzen? Begründe deine Antwort, indem du die Summe berechnest.

Bestimme, welche der folgenden Brüche eine endliche und welche eine periodische Dezimalzahl (rein- oder gemischtperiodisch) ergeben, ohne die Division auszuführen. Betrachte dazu nur die Primfaktorzerlegung der Nenner:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Tipp: Denke an die Regel der Faktoren 2 und 5 im Nenner.)

Bei einem Weitsprungwettbewerb notieren die Kampfrichter die Weiten von vier Athleten. Einige Ergebnisse sind als Bruch und andere als Dezimalzahl angegeben:

• Athlet 1: $6,4$ Meter.

• Athlet 2: $\frac{13}{2}$ Meter.

• Athlet 3: $6,35$ Meter.

• Athlet 4: $\frac{32}{5}$ Meter.

1. a) Schreibe alle Weiten als Dezimalzahlen.

1. b) Welche zwei Athleten sind genau gleich weit gesprungen?

1. c) Ordne die Athleten von dem, der am kürzesten gesprungen ist, bis zu dem, der am weitesten gesprungen ist (bei Gleichstand gib dies an).

An einer Wetterstation im Harz wurden an vier aufeinanderfolgenden Tagen folgende Temperaturabweichungen gemessen: $-\frac{9}{4}$ °C, $-\frac{8}{3}$ °C, $0,75$ °C und $\frac{7}{5}$ °C. a) Schätze ohne Division mit Dezimalzahlen begründet, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen jede der beiden negativen Abweichungen liegt, und folgere, welche davon der niedrigsten Temperatur (kleinster Wert) entspricht. b) Schreibe alle Brüche als endliche oder periodische Dezimalzahl, um deine vorherige Schätzung genau zu überprüfen. c) Ordne die vier Messwerte mit dem Zeichen $<$ von klein nach groß und gib an, zu welcher speziellsten Zahlenmenge (natürliche $\mathbb{N}$, ganze $\mathbb{Z}$ oder rationale Zahlen $\mathbb{Q}$) das Ergebnis gehören würde, wenn du die beiden positiven Abweichungen addierst.

Um die rationalen Zahlen $-\frac{3}{4}$, $-0,8$, $-\frac{5}{6}$ und $-\frac{7}{10}$ der Größe nach zu ordnen, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Strategien vor: - Jonas sagt: „Es ist besser, die Dezimaldarstellung jedes Bruchs durch Division zu berechnen und alle Zahlen in Dezimalform zu vergleichen." - Sarah sagt: „Es ist besser, $-0,8$ als vollständig gekürzten Bruch zu schreiben, die vier Brüche auf einen gemeinsamen positiven Nenner zu bringen und ihre Zähler zu vergleichen." a) Wende Jonas' Verfahren an und schreibe die erhaltene Reihenfolge auf. b) Wende Sarahs Verfahren an, um das Ergebnis zu überprüfen. c) Welches der beiden Verfahren hältst du in diesem speziellen Fall für geeigneter und genauer? Begründe deine Antwort, indem du analysierst, welche Art von Dezimalzahl der Bruch $-\frac{5}{6}$ ergibt und welches Risiko beim Runden besteht.

An einer Pegelmessstelle im Einzugsgebiet des Rheins wird während einer Dürreperiode der Rückgang des Wasserstands in einem Bewässerungskanal aufgezeichnet. Der technische Bericht gibt an, dass die gesamte Veränderung des Pegels $-\frac{37}{8}$ Meter beträgt.

1. a) Schätze, bevor du eine Dezimalstelle berechnest, begründet ab, zwischen welchen beiden aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen diese rationale Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, und begründe, welcher der beiden ganzen Zahlen sie näher liegt.
2. b) Führe die Division durch, um die genaue Dezimaldarstellung zu erhalten, und überprüfe, ob deine Schätzung richtig war.
3. c) Beschreibe, wie du diesen Punkt auf dem Zahlenstrahl genau eintragen würdest: Erkläre, in wie viele gleiche Teile du die Strecke zwischen den beiden ganzen Zahlen teilen würdest und wie viele dieser Teile du von der entsprechenden ganzen Zahl aus abzählen würdest.

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) hat an vier aufeinanderfolgenden Tagen in Münster die folgenden Temperaturabweichungen (Abweichungen von der üblichen Durchschnittstemperatur) gemessen:

• Montag: $-\frac{7}{2}$ °C

• Dienstag: $+\frac{5}{4}$ °C

• Mittwoch: $-\frac{11}{4}$ °C

• Donnerstag: $-\frac{8}{5}$ °C

1. a) Stelle die Temperaturentwicklung dar, indem du die vier Tage mit dem Symbol $<$ nach der Abweichung von der kleinsten zur größten ordnest (vom Tag mit der kältesten Abweichung bis zum Tag mit der wärmsten).
2. b) Am Freitag wurde eine Temperaturabweichung gemessen, deren Betrag genau halb so groß war wie der vom Montag, aber mit dem entgegengesetzten Vorzeichen wie am Mittwoch. Gib die Abweichung vom Freitag als vollständig gekürzten Bruch an und begründe, welcher der vier vorherigen Tage dem Messwert vom Freitag am nächsten lag.

Bei einer archäologischen Ausgrabung in der Fundstätte Atapuerca wurden verschiedene Funde mit Zahlenetiketten klassifiziert. Du sollst den Forschern helfen, diese Stücke in die passenden Kisten (Zahlenmengen) einzuordnen.

Gegeben ist die folgende Liste von Etiketten:

$A = \frac{-24}{6}$, $B = \frac{15}{3}$, $C = \frac{7}{4}$, $D = \frac{0}{5}$, $E = \frac{-11}{2}$ und $F = \sqrt{144}$

Gib mit Begründung an, welche dieser Zahlen zu welcher der folgenden Mengen gehören, und beachte dabei, dass eine Zahl zu mehreren gehören kann:

1. Natürliche Zahlen ($\mathbb{N}$)

2. Ganze Zahlen ($\mathbb{Z}$)

3. Rationale Zahlen ($\mathbb{Q}$)

Beim Entwurf eines neuen Speicherchips muss ein Ingenieur drei Sensoren auf einer logischen Linie platzieren. Sensor A liegt an der Position $\frac{2}{5}$ und Sensor B an der Position $\frac{3}{5}$.

Der Ingenieur muss einen dritten Sensor C genau im Mittelpunkt zwischen A und B platzieren. Außerdem muss er einen Sensor D setzen, der im Mittelpunkt zwischen A und C liegt.

Berechne die Brüche, die die Positionen von C und D darstellen, und trage sie auf einem passend unterteilten Zahlenstrahl ein.

Betrachte die folgende geometrische Figur. Das große Quadrat stellt das Ganze dar ($1$). Bestimme, welchen Bruchteil der orange gefärbte Teil darstellt. Bestimme dazu zuerst, welchen Bruchteil des Ganzen jedes der Teilstücke der Figur darstellt.

Drei Freunde, Ioana, Marcus und Rayan, laden ein Videospiel herunter. Nach einer Stunde hat Ioana $\frac{13}{20}$ des Ganzen heruntergeladen, Marcus $\frac{19}{30}$ und Rayan hat $\frac{5}{8}$ geschafft.

1. Ordne die Freunde nach der heruntergeladenen Menge von groß nach klein. Vergleiche die Brüche dazu mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

2. Wenn das Videospiel $120$ GB groß ist, wie viele GB muss jeder noch herunterladen? Gib die Ergebnisse als Brüche und als ganze Zahlen an.

Bestimme die Werte der Unbekannten $x$, $y$ und $z$, sodass alle Brüche der folgenden Kette zueinander äquivalent sind:

Erkläre, nachdem du die Werte bestimmt hast, welche natürliche Zahl bei jedem Schritt als Erweiterungs- oder Kürzungsfaktor bezogen auf den vollständig gekürzten Bruch der Kette verwendet wurde.

Ein Schneider hat ein Stück Stoff von $15$ Metern. Er schneidet ein erstes Stück ab, das $3$ Meter und $\frac{3}{4}$ Meter lang ist. Danach schneidet er ein zweites Stück ab, das halb so lang ist wie das erste.

1. Gib die Länge jedes Schnitts als unechten Bruch und als gemischte Zahl an.

2. Welcher Bruchteil des ursprünglichen Stoffs ist noch auf der Rolle?

Wir sagen, dass die Menge der rationalen Zahlen dicht ist, weil wir zwischen zwei Brüchen immer einen weiteren Bruch finden können, egal wie nah sie beieinander liegen.

Finde drei Brüche zwischen $\frac{4}{7}$ und $\frac{5}{7}$, die den Nenner $28$ haben. Ordne die fünf entstandenen Brüche der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten.

Bei einem Robotik-Wettbewerb müssen die Prototypen eine Strecke von $10$ Metern zurücklegen. Der Roboter „Zeta" ist stehen geblieben, als ihm noch $\frac{1}{5}$ der Gesamtstrecke fehlten. Der Roboter „Sigma" ist stehen geblieben, als er $\frac{7}{9}$ der Gesamtstrecke zurückgelegt hatte.

1. a) Trage die Positionen beider Roboter auf demselben Zahlenstrahl ein, wobei $0$ der Start und $1$ das Ziel (die gesamte Strecke) ist. Unterteile die Einheit auf dem Zahlenstrahl so, dass du beide Punkte genau eintragen kannst.

1. b) Welcher Roboter ist dem Ziel näher geblieben? Begründe deine Antwort, indem du die Brüche durch Kreuzmultiplikation vergleichst.

Nach Daten des spanischen Ministeriums für den ökologischen Wandel zu den Wasserreserven in Spanien zeigen zwei Stauseen zu Frühlingsbeginn folgende Situation: - Stausee A enthält $175\text{ hm}^3$ bei einer Gesamtkapazität von $250\text{ hm}^3$. - Stausee B enthält $210\text{ hm}^3$ bei einer Gesamtkapazität von $336\text{ hm}^3$. a) Beschreibe den Anteil des gestauten Wassers am Ganzen jeweils durch einen vollständig gekürzten Bruch. b) Zeige ohne vollständige Division mithilfe der Primfaktorzerlegung der Nenner der gekürzten Brüche, ob der Füllstand jedes Stausees als Dezimalzahl endlich oder periodisch ist. c) Nach einer Regenperiode nimmt das Volumen von Stausee A um $25\text{ hm}^3$ und das von Stausee B um $42\text{ hm}^3$ zu. Gib die neuen Füllbrüche an, vergleiche sie begründet und bestimme, welcher der beiden Stauseen nun anteilig voller ist.

In einer Diskussion im Unterricht über die Eigenschaften der Menge $\mathbb{Q}$ stellen zwei Schüler folgende Behauptungen auf: - Marcus behauptet: „Jeder vollständig gekürzte Bruch, dessen Nenner auf eine gerade Ziffer endet, ergibt immer eine endliche Dezimalzahl, weil 2 ein Teiler der Basis des Dezimalsystems ist." - Emilia behauptet: „Wenn man zwei rationale Zahlen addiert, die rein-periodisch sind, kann das Ergebnis nie eine ganze Zahl sein." a) Zeige, dass Marcus' Behauptung falsch ist, indem du ein konkretes Gegenbeispiel angibst, und erkläre, welche Bedingung er an die Primfaktoren des Nenners vergessen hat. b) Zeige, dass auch Emilias Behauptung falsch ist, indem du zwei Brüche mit rein-periodischer Dezimaldarstellung findest, deren Summe genau gleich der ganzen Zahl $2$ ist. c) Konstruiere einen Bruch $\frac{p}{q}$ mit dem Nenner $q = 60$, dessen Wert echt zwischen $1$ und $2$ liegt und der eine endliche Dezimalzahl ergibt. Erkläre, welche mathematische Bedingung der Zähler $p$ bezüglich der Primfaktorzerlegung von $60$ notwendigerweise erfüllen musste.

In einem Laborpraktikum werden die Spannungsverluste zweier elektrischer Schaltkreise untersucht, die als negative rationale Zahlen angegeben sind: $V_1 = -\frac{17}{24}\text{ V}$ und $V_2 = -\frac{11}{16}\text{ V}$. Um zu bestimmen, welcher der beiden Schaltkreise den größeren Verlust erleidet (also welche der beiden rationalen Zahlen kleiner ist), schlagen zwei Teammitglieder unterschiedliche Strategien vor:

• Albas Methode: Bei jedem Bruch den Zähler durch den Nenner teilen, um die Dezimaldarstellungen zu erhalten, und diese Stelle für Stelle vergleichen.

• Brunos Methode: Beide Brüche mithilfe des kleinsten gemeinsamen Vielfachen auf den Hauptnenner bringen und direkt ihre ganzzahligen Zähler vergleichen.

1. a) Wende beide Methoden Schritt für Schritt an, um herauszufinden, welche der beiden Spannungen kleiner ist.
2. b) Denke über die beiden Vorgehensweisen nach: Welche zusätzliche Schwierigkeit bringt Albas Division im Hinblick auf die Perioden der Dezimalzahlen mit sich? Begründe, warum Brunos Methode sicherer und genauer ist und die algebraischen Eigenschaften der Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ besser widerspiegelt.

Eine der grundlegenden Eigenschaften der Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ im Vergleich zu der der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ist die Dichtheit: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen lässt sich immer eine weitere rationale Zahl finden, während es zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen keine weitere ganze Zahl gibt.

1. a) Schreibe die ganzen Zahlen $-3$ und $-2$ als zwei Brüche mit demselben positiven Nenner, sodass du sofort mindestens drei verschiedene rationale Zahlen finden kannst, die echt zwischen ihnen liegen. Schreibe diese drei rationalen Zahlen als vollständig gekürzte Brüche.
2. b) Löse das folgende umgekehrte Problem: Finde einen vollständig gekürzten Bruch $x = \frac{p}{q}$, der echt zwischen $-\frac{4}{5}$ und $-\frac{3}{5}$ liegt, wenn Folgendes gilt:

1. Sein Nenner $q$ ist eine Primzahl zwischen $10$ und $15$.

2. Die Summe aus seinem ganzzahligen Zähler und seinem Nenner beträgt genau $3$ (also $p + q = 3$).

3. Der Betrag seines Zählers ist echt kleiner als $10$.

Zeige ausführlich, dass die gefundene rationale Zahl alle Bedingungen erfüllt.