Aufgaben: Antiproportionale Zuordnungen

Gib mit Begründung an, ob die folgenden Größenpaare antiproportional zueinander sind:

1. a) Die Anzahl der Personen, die einen Zaun streichen, und die Zeit, die sie bis zur Fertigstellung brauchen.
2. b) Die Anzahl der Kilogramm Äpfel, die du kaufst, und der Gesamtpreis, den du bezahlst.
3. c) Die Geschwindigkeit, mit der ein Zug fährt, und die Zeit, die er für die Strecke zwischen zwei Städten braucht.
4. d) Die Seitenzahl eines Buches und sein Gewicht.

Vervollständige die folgende Tabelle in deinem Heft, wenn die Größen $A$ und $B$ antiproportional zueinander sind. Berechne auch die Proportionalitätskonstante $k$.

Für den Aufbau der Bühne eines Musikfestivals haben $4$ Arbeiter $12$ Stunden gearbeitet. Wenn das Festival insgesamt $8$ Arbeiter einstellt, die im gleichen Tempo arbeiten, wie viele Stunden brauchen sie dann für den Aufbau derselben Bühne?

Eine Gruppe von Freunden möchte für einen Ausflug einen Transporter mieten. Wenn $6$ Freunde mitfahren, muss jeder $15$ Euro bezahlen. Berechne, wie viel jeder bezahlen müsste, wenn sich schließlich $10$ Personen für die Fahrt anmelden.

Ein Landwirt hat genug Futter, um seine $20$ Kühe $30$ Tage lang zu füttern. Wenn er $5$ Kühe verkauft und $15$ behält, wie viele Tage kann er die übrigen Kühe mit derselben Futtermenge füttern?

Zwei Zahnräder sind miteinander verbunden. Das erste hat $12$ Zähne und macht $20$ Umdrehungen pro Minute. Wie viele Umdrehungen macht das zweite Zahnrad, wenn es $24$ Zähne hat?

Ein Wassertank wird mit einem Wasserhahn mit einer Durchflussmenge von $10$ Litern pro Minute in $6$ Stunden gefüllt. Wie lange braucht es, denselben Tank zu füllen, wenn die Durchflussmenge des Wasserhahns auf $15$ Liter pro Minute erhöht wird?

Lina ist mit dem Auto mit einer konstanten Geschwindigkeit von $90$ km/h gefahren und hat $4$ Stunden gebraucht. Wenn sie sich für die Rückfahrt entscheidet, langsamer mit einer Geschwindigkeit von $60$ km/h zu fahren, wie lange braucht sie dann für dieselbe Strecke?

Zum Füllen des Löschteichs einer Gemeinde in der Eifel werden $3$ gleiche Wasserhydranten verwendet, die $12$ Stunden brauchen, um ihn vollständig zu füllen. Im Notfall beschließt das Team der Gemeinde, $6$ identische Hydranten gleichzeitig anzuschließen. Markus, einer der Techniker, berechnet die benötigte Zeit mit folgender Rechnung: $x = \dfrac{6 \cdot 12}{3} = 24\text{ Stunden}$.\na) Begründe, ohne aufwendig zu rechnen, anhand eines Extremfalls oder einer logischen Überlegung, warum das Ergebnis von Markus in der Realität keinen Sinn ergibt.\nb) Erkläre, welchen gedanklichen Fehler Markus beim Ansatz seines Dreisatzes gemacht hat.\nc) Korrigiere den Ansatz mithilfe der Konstante der Antiproportionalität und bestimme, wie viele Stunden die $6$ Hydranten tatsächlich brauchen.

Ein Jugendverein aus einem Stadtteil von Essen mietet für einen Ausflug zum Schloss Burg in Solingen einen Bus zu einem festen Gesamtpreis von $720$ €, der gleichmäßig auf die teilnehmenden Personen aufgeteilt wird.\na) Schreibe die Formel auf, die den Preis pro Person ($y$, in Euro) in Abhängigkeit von der Anzahl der Teilnehmer ($x$) beschreibt. Gib den Wert der Konstante der antiproportionalen Zuordnung an und erkläre, was sie in diesem Zusammenhang darstellt.\nb) Die Organisation legt fest, dass die Fahrt nur stattfindet, wenn der Preis pro Person zwischen $15$ € und $30$ € liegt (beide eingeschlossen). Schlage drei mögliche Werte für die Anzahl der Teilnehmer ($x$) vor und berechne den Preis pro Person ($y$), der jeweils dazu gehört.

Eine Gruppe von Freunden hat bei einem Roboterwettbewerb ein Preisgeld von $300$ € gewonnen und beschlossen, es gleichmäßig aufzuteilen. Vervollständige die folgende Tabelle, um herauszufinden, wie viel Geld jeder erhält, je nachdem, wie viele Personen die Gruppe bilden. Gib auch das konstante Produkt (die Konstante der Antiproportionalität) an.

Im Graphen siehst du den Fall mit $2$ Freunden markiert.

Eine Lieferdrohne braucht $12$ Minuten, um ein Paket auszuliefern, und fliegt dabei mit einer Geschwindigkeit von $40$ km/h. Wenn die Leitstelle ihre Geschwindigkeit für die nächste Lieferung zum selben Ort auf $60$ km/h erhöht, wie lange braucht sie dann bis zum Ziel?

Für den Aufbau der Bühne eines Musikfestivals haben $8$ Arbeiter $15$ Stunden gearbeitet. Wenn die Gemeinde möchte, dass der Aufbau schon nach nur $10$ Stunden fertig ist, wie viele zusätzliche Arbeiter müssen eingestellt werden, wenn alle im gleichen Tempo arbeiten?

Ein Tierschutzverein hat Futterrationen, um seine $45$ Hunde $20$ Tage lang zu füttern. Wenn morgen $15$ weitere gerettete Hunde aus einem Wurf ankommen, wie viele Tage reicht der Futtervorrat, wenn sich die tägliche Ration pro Hund nicht ändert?

Ein Landwirt füllt mit einem Schlauch mit einer Durchflussmenge von $5$ Litern pro Minute einen Wassertank in $12$ Stunden. Welche Durchflussmenge müsste ein neuer Schlauch haben, wenn er denselben Tank in nur $3$ Stunden füllen möchte?

In einem Technikraum liegen mehrere rechteckige Sperrholzplatten, die alle denselben Flächeninhalt haben: $1200$ cm². Vervollständige die Tabelle der möglichen Maße (Länge und Breite) dieser Platten und erkläre, welcher Zusammenhang zwischen ihnen besteht.

Zwei Zahnräder greifen ineinander. Das erste hat $48$ Zähne und dreht sich mit $150$ Umdrehungen pro Minute (rpm). Mit welcher Drehzahl dreht sich das zweite Rad, wenn es $30$ Zähne hat?

Sechs gleiche Wasserhähne brauchen $40$ Minuten, um ein Kinderplanschbecken zu füllen. Wenn zwei der Wasserhähne kaputtgehen und ausfallen, wie lange brauchen die übrigen Wasserhähne, um dasselbe Becken zu füllen? Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.

Eine Forstbrigade aus $4$ Arbeitern braucht $18$ Stunden reine Arbeitszeit, um einen Waldbrandschutzstreifen in einem Gemeindewald im Sauerland freizuschneiden. Wegen der Vorhersage einer Hitzewelle werden $2$ weitere Arbeiter mit demselben Arbeitstempo hinzugenommen, sodass ein Team von $6$ Personen entsteht.\na) Bevor du den genauen Wert berechnest, schätze begründet ab: Da die doppelte Anzahl an Arbeitern ($8$) $9$ Stunden bräuchte, braucht das Team mit $6$ Arbeitern mehr oder weniger als $10$ Stunden? Erkläre deine Überlegung im Kopf, ohne die Gleichung zu lösen.\nb) Berechne die genaue Zeit, die die $6$ Arbeiter brauchen, mithilfe der Eigenschaft des konstanten Produkts ($a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2$).\nc) Überprüfe, ob das Ergebnis deine anfängliche Schätzung bestätigt, und deute, was die erhaltene Konstante anschaulich bedeutet, ausgedrückt in „Arbeitsstunden eines einzelnen Arbeiters“.

Ein Linienbus fährt die Strecke von $120\text{ km}$ zwischen zwei Orten in Nordrhein-Westfalen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ($v$, in $\text{km/h}$) und die benötigte Zeit ($t$, in Stunden) sind antiproportionale Größen.\na) Gib die Funktion an, die die Zeit $t$ (in Stunden) in Abhängigkeit von der Durchschnittsgeschwindigkeit $v$ beschreibt.\nb) An einem Tag mit freier Fahrt fährt der Bus mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $80\text{ km/h}$, an einem Tag mit dichtem Nebel sinkt seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf $50\text{ km/h}$. Berechne die Fahrzeit in beiden Situationen und gib das Ergebnis genau in Stunden und Minuten an.\nc) Wenn der Verkehrsverbund verlangt, dass die Strecke in höchstens $1$ Stunde und $15$ Minuten zurückgelegt wird, mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit muss der Bus mindestens fahren? Begründe dein Vorgehen.

Drei Freunde wollen die $282$ €, die sie als Preis bei einem Robotik-Wettbewerb gewonnen haben, antiproportional zu den Minuten aufteilen, die sie für ihre Abschlussaufgabe gebraucht haben. Wenn der erste Freund $12$ Minuten, der zweite $15$ Minuten und der dritte $20$ Minuten gebraucht hat, wie viel Geld bekommt jeder?

Eine Bergexpedition hat Vorräte gelagert, um $20$ Wanderer $12$ Tage lang zu versorgen. Nach den ersten $4$ Tagen der Tour treffen sie jedoch auf eine andere Gruppe von $5$ Personen, die keine Vorräte mehr haben, und beschließen, ihre Vorräte zu teilen. Wenn die Tagesration pro Person gleich bleibt, um wie viele Tage kürzer als geplant reichen die verbleibenden Vorräte?

Bei einem Mountainbike bestimmt das Verhältnis der Zähnezahl von Kettenblatt und Ritzel den Vortrieb. Wenn das Hinterrad bei einem Kettenblatt mit $48$ Zähnen und einem Ritzel mit $24$ Zähnen auf einer Strecke genau $200$ Umdrehungen macht, wie viele Umdrehungen würde das Rad machen, wenn wir bei gleichem Treten (gleiche Umdrehungen des Kettenblatts) auf ein Ritzel mit $16$ Zähnen wechseln? Begründe die Art der Zuordnung.

Ein Rechteck hat eine Grundseite von $12$ cm und eine Höhe von $8$ cm. Wir wollen ein weiteres Rechteck mit genau demselben Flächeninhalt konstruieren, dessen Grundseite aber $25$ % länger ist als die des ersten.

• a) Wie groß ist die Höhe des neuen Rechtecks?

• b) Um wie viel Prozent ist die Höhe gegenüber dem ursprünglichen Rechteck kleiner geworden?

Sechs Hochgeschwindigkeitsdrucker brauchen $4$ Stunden und $30$ Minuten, um $5000$ Werbeflyer zu drucken. Wenn zwei der Drucker vor Arbeitsbeginn ausfallen, wie viele Stunden und Minuten brauchen die übrigen Drucker für denselben Auftrag?

Um ein olympisches Schwimmbecken zu füllen, werden $4$ Wasserhähne verwendet, die jeweils $12$ Liter pro Minute liefern und insgesamt $30$ Stunden brauchen. Wenn das Becken mit Hähnen mit größerem Durchfluss von $16$ Litern pro Minute schon in nur $18$ Stunden gefüllt werden soll, wie viele Hähne dieses neuen Modells müssen wir öffnen?

Ein Güterzug legt die Strecke zwischen zwei Städten mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $80$ km/h zurück und braucht dafür $3$ Stunden und $45$ Minuten. Auf der Rückfahrt muss er wegen einer Störung auf der Strecke seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf $60$ km/h verringern.

• a) Wie lange braucht er für die Rückfahrt?

• b) Gib das Ergebnis in Stunden, Minuten und Sekunden an.

Betrachte die folgende Tabelle, die den Zusammenhang zwischen zwei Größen $M$ und $N$ darstellt. Bestimme, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt, indem du ihre Konstante $k$ berechnest. Ergänze danach die fehlenden Werte als ganze Zahlen oder exakte Dezimalzahlen.

In einer Winzergenossenschaft an der Mosel erntet eine Gruppe von $12$ Erntehelfern die Trauben eines Weinbergs in $20$ Tagen. Die Leitung möchte vorhersagen, wie viele Tage die Ernte desselben Weinbergs in drei möglichen Fällen dauern würde: mit $24$ Erntehelfern, mit $6$ Erntehelfern und mit $15$ Erntehelfern.\nEs werden zwei Lösungswege vorgeschlagen:\n- Verfahren A: Für jeden Fall einen eigenen Dreisatz (antiproportional) ansetzen.\n- Verfahren B: Das Produkt $k$ (insgesamt benötigte Arbeitstage) berechnen, den Term $y = \dfrac{k}{x}$ aufstellen und, wo möglich, die einfachen Zusammenhänge (doppelt/halb) nutzen.\na) Wende beide Verfahren an, um die Tage für jeden der drei Fälle zu berechnen.\nb) Vergleiche die beiden Vorgehensweisen und begründe, warum Verfahren B effizienter und sicherer ist, wenn mehrere Personalszenarien untersucht werden müssen.

Im Physikraum einer Schule wird das Gesetz von Boyle-Mariotte experimentell überprüft: Bei konstanter Temperatur sind das Volumen ($V$, in Litern) einer Gasmenge und der Druck ($P$, in Atmosphären), unter dem sie steht, antiproportional ($P \cdot V = k$). Zu Beginn des Versuchs nimmt das Gas $12\text{ Liter}$ ein und steht unter einem Druck von $2\text{ atm}$.\na) Mit einem Kolben wird das Gas so zusammengedrückt, dass sein Endvolumen zwischen $3\text{ Liter}$ und $4\text{ Liter}$ liegt (beide Werte eingeschlossen). Bestimme mit Begründung das Intervall des Drucks ($P$), in dem der Kompressor arbeiten muss.\nb) Ein Schüler stellt folgende Vermutung auf: „Da eine Verdopplung des Drucks das Volumen halbiert, verringert sich das Volumen auch um $50\,\%$, wenn wir den Druck um $50\,\%$ erhöhen.“ Zeige rechnerisch, ob seine Überlegung richtig oder falsch ist, und berechne den genauen Prozentsatz, um den das Volumen tatsächlich abnimmt, wenn der Druck um $50\,\%$ steigt.