Aufgaben: Proportionalität

Gib an, welche der folgenden Größenpaare direkt proportional sind. Begründe deine Antwort kurz:

1. a) Die Anzahl der Personen, die ein Museum besuchen, und die Einnahmen aus den Eintrittskarten.
2. b) Das Alter einer Person und ihre Körpergröße.
3. c) Das Gewicht der Äpfel, die du kaufst, und der Gesamtpreis.
4. d) Die Geschwindigkeit eines Autos und die Zeit, die es für eine feste Strecke braucht.

In einem Sportgeschäft ist bei allen T-Shirts desselben Modells der Preis proportional zur gekauften Menge. Übertrage die folgende Tabelle in dein Heft, vervollständige sie und berechne die Proportionalitätskonstante $k$ (Preis für ein T-Shirt).

Wenn ein Wasserhahn alle $3$ Minuten $15$ Liter Wasser abgibt, wie viele Liter fließen dann, wenn er $10$ Minuten lang geöffnet bleibt? Löse die Aufgabe mit dem Dreisatz über die Einheit (berechne zuerst, wie viel in einer Minute fließt).

Für einen Kuchen für $6$ Personen braucht man $300$ Gramm Mehl. Wenn wir $15$ Personen einladen wollen und alle gleich viel Kuchen essen sollen, wie viel Mehl brauchen wir dann?

Ein Videospiel belegt $12$ GB Speicherplatz und hat bei stabiler Verbindung $8$ Minuten zum Herunterladen gebraucht. Wenn das nächste Spiel, das du herunterladen willst, $18$ GB belegt und die Download-Geschwindigkeit gleich ist, wie viele Minuten dauert dann der Download?

Der Umfang eines regelmäßigen Sechsecks ist direkt proportional zur Länge seiner Seite. Wenn ein Sechseck mit einer Seitenlänge von $4$ cm einen Umfang von $24$ cm hat, berechne den Umfang eines anderen regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von $7,5$ cm.

In einem Grundriss eines Zimmers im Maßstab $1:50$ ist das Bett $4$ cm lang. Wie groß ist die tatsächliche Länge des Betts in Metern? (Denke daran: Der Maßstab $1:50$ bedeutet, dass $1$ cm in der Zeichnung $50$ cm in der Wirklichkeit entsprechen.)

Lina hat $4,50$ € für $3$ Schachteln Filzstifte für ihr Zeichenprojekt bezahlt. Wenn sie für ihre Gruppenmitglieder $5$ weitere Schachteln kaufen muss, wie viel Geld kosten diese $5$ zusätzlichen Schachteln?

Paul kauft Orangen auf dem Wochenmarkt in seinem Viertel. Er weiß, dass $3\text{ kg}$ Orangen $4,20\text{ €}$ kosten, und will herausfinden, was $5\text{ kg}$ kosten. Paul überlegt so: „Da $5$ gleich $3 + 2$ ist, muss ich zum Preis von $4,20\text{ €}$ nur $2\text{ €}$ addieren, also zahle ich $6,20\text{ €}$." Finde den Fehler in Pauls Überlegung, erkläre, warum seine Methode die Definition der direkten Proportionalität nicht beachtet, und berechne den richtigen Preis, indem du zuerst die Proportionalitätskonstante $k$ (Preis pro Kilogramm) bestimmst.

In einer Handwerksbäckerei in Münster werden Bio-Brote zum gleichen Stückpreis verkauft. Vier identische Brote kosten $5,40\text{ €}$ und du möchtest $7$ Brote kaufen.

1. a) Schätze, bevor du etwas schriftlich rechnest: Begründe, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Euro-Beträgen der Endpreis der $7$ Brote liegen muss, und erkläre deine intuitive Überlegung.
2. b) Berechne die exakten Kosten mit dem Dreisatz über die Einheit (Preis eines einzelnen Brotes).
3. c) Vergleiche das exakte Ergebnis mit deiner anfänglichen Schätzung und beurteile, ob der erhaltene Wert zur Situation passt.

Eine Streaming-Plattform für Videospiele bietet ein Premium-Abo an. Man weiß, dass für $4$ Monate Nutzung $35,20$ € gezahlt werden.

1. a) Berechne die Proportionalitätskonstante $k$ (Preis pro Monat).
2. b) Vervollständige die folgende Wertetabelle:

1. c) Für wie viele Monate könntest du das Abo abschließen, wenn du höchstens $100$ € zur Verfügung hast?

Eine Drohne zur Waldüberwachung fliegt mit konstanter Geschwindigkeit. Die Leitstelle registriert, dass die Drohne in den ersten $15$ Flugminuten $10,5$ Kilometer zurückgelegt hat.

1. a) Welche Strecke legt die Drohne zurück, wenn sie eine ganze Stunde lang die gleiche Geschwindigkeit beibehält?
2. b) Wenn die Drohne eine Gesamtstrecke von $63$ km zurücklegen muss, wie viele Minuten braucht sie für den Einsatz?

Gib mit Begründung an, welche der folgenden Größenpaare direkt proportional zueinander sind:

1. a) Die Anzahl der Konzertkarten und der Gesamtpreis (ohne feste Bearbeitungsgebühr).
2. b) Das Alter einer Person und ihre Körpergröße in Zentimetern.
3. c) Das Gewicht lose gekaufter Äpfel und der Preis des Einkaufs.
4. d) Die Geschwindigkeit eines Autos und die Zeit, die es für eine feste Strecke braucht.
5. e) Die Seitenzahl eines Buches und die Zeit, die man zum Lesen braucht (bei konstanter Lesegeschwindigkeit).

Um eine Farbe in einem bestimmten Orangeton herzustellen, mischt ein Künstler $150$ ml rote Farbe mit $225$ ml gelber Farbe.

1. a) Wie viele Milliliter rote Farbe braucht er, wenn er $600$ ml gelbe Farbe verwenden will, um denselben Farbton zu erhalten?
2. b) Wenn der Künstler eine Gesamtmischung von $1$ Liter ($1000$ ml) herstellen will, welche Menge jeder Farbe muss er bei gleichem Mischungsverhältnis zugeben?

Im Grundriss einer Wohnung im Maßstab $1:250$ hat das Wohnzimmer eine Länge von $3,2$ cm und eine Breite von $2,4$ cm.

1. a) Berechne die tatsächlichen Maße des Wohnzimmers in Metern.
2. b) Berechne den tatsächlichen Flächeninhalt des Wohnzimmers in Quadratmetern.

Drei Geschwister wollen die $144$ €, die sie von ihren Großeltern geschenkt bekommen haben, direkt proportional zu ihrem Alter aufteilen. Sie sind $10$, $12$ und $14$ Jahre alt. Wie viel Geld bekommt jedes von ihnen?

Ein Smartphone-Schnellladegerät kann in nur $12$ Minuten $18\%$ des Akkus laden. Wenn die Ladegeschwindigkeit konstant bleibt:

1. a) Wie viel Prozent des Akkus sind nach einer halben Stunde ($30$ Minuten) geladen?
2. b) Wie viel Zeit (in Minuten und Sekunden) braucht das Telefon insgesamt, um von $0\%$ auf $100\%$ Ladung zu kommen?

Ein Recyclingunternehmen zahlt $0,65$ € für jedes abgegebene Kilogramm Aluminiumdosen. Eine Gruppe von Schülern hat im Laufe des Monats Dosen gesammelt und in Posten gewogen:

1. a) Wie viel Geld erhalten sie für einen Posten, der $8,4$ kg wiegt?
2. b) Wenn sie am Ende der Aktion insgesamt $27,30$ € erhalten haben, wie viele Kilogramm Aluminium haben sie dann insgesamt recycelt?

Eine Pfadfindergruppe aus dem Harz plant eine Wanderroute. Laut den Aufzeichnungen ihres Gruppenleiters verbraucht die Gruppe $15\text{ Liter}$ Trinkwasser pro $6\text{ km}$, die sie bei gleichmäßigem Tempo zurücklegt. Sie wollen den Verbrauch für zwei verschiedene Tage vorhersagen: eine flache Etappe von $18\text{ km}$ und eine Bergetappe von $7\text{ km}$.

Es gibt zwei Verfahren: Methode A (Zurückführen auf die Einheit, also berechnen, wie viele Liter sie pro Kilometer verbrauchen) und Methode B (direktes Multiplizieren oder Dividieren mit dem Faktor zwischen den bekannten und den zu laufenden Kilometern).

1. a) Begründe für die Etappe von $18\text{ km}$, welche der beiden Methoden den Wasserbedarf schneller und im Kopf zu berechnen erlaubt. Bestimme das Ergebnis mit dieser Methode.
2. b) Begründe für die Etappe von $7\text{ km}$, welche Methode übersichtlicher und praktischer ist. Berechne damit die benötigten Liter Wasser.
3. c) Welche praktische Bedeutung hat die Proportionalitätskonstante $k = \frac{15}{6}$ in diesem Zusammenhang, und in welcher Einheit wird sie angegeben?

Nach Daten der Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) sammelte ein Regenmesser bei einem Gewitter mit gleichmäßiger Intensität in der Comarca Vega Baja (Alicante) $14\text{ Liter}$ Wasser pro Quadratmeter in $40\text{ Minuten}$.

1. a) Nimm an, dass der Regen gleichmäßig fällt. Überprüfe, dass Zeit und angesammelte Wassermenge direkt proportional sind, und gib die Formel an, die die gesammelten Liter pro Quadratmeter ($y$) in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten ($x$) beschreibt.
2. b) Wie viele Liter pro Quadratmeter sammeln sich nach $2{,}5\text{ Stunden}$ Dauerregen an?
3. c) Der Bevölkerungsschutz gibt in diesem Gebiet eine orange Warnung heraus, wenn $40\text{ Liter}$ pro Quadratmeter in einer Stunde überschritten werden. Würde bei der in diesem Ereignis gemessenen Intensität nach $60\text{ Minuten}$ die Schwelle zur orangen Warnung erreicht? Begründe deine Antwort mit Rechnungen.

Drei Freunde beschließen, einen Streaming-Kanal für Videospiele zu starten. Am Ende des ersten Monats haben sie Werbeeinnahmen von $1\,260\text{ €}$ erzielt. Sie vereinbaren, das Geld direkt proportional zu den Stunden aufzuteilen, die jeder mit dem Aufnehmen und Bearbeiten von Inhalten verbracht hat.

Markus hat $12$ Stunden investiert, Lea doppelt so viele wie Markus, und Sergio so viele Stunden wie die Hälfte dessen, was Markus und Lea zusammen investiert haben. Berechne, wie viel Geld jeder bekommt, und bestimme die Proportionalitätskonstante $k$ (Geld pro geleisteter Stunde).

Ein Unternehmen, das Filament für 3D-Drucker herstellt, weiß, dass die Länge des gewonnenen Fadens direkt proportional zur Laufzeit der Extrudermaschine ist. Wenn in $15$ Minuten $45$ Meter Faden einer bestimmten Dicke entstehen:

• a) Wie viele Kilometer Faden werden hergestellt, wenn die Maschine einen ganzen Arbeitstag von $8$ Stunden ohne Unterbrechung läuft?

• b) Wenn die Produktionskosten $0,12\text{ €}$ pro Dekameter ($10\text{ m}$) Faden betragen, wie hoch ist dann der Gesamtwert der Produktion nach diesen $8$ Stunden?

Auf einer Wanderkarte des Harzes beträgt der Abstand zwischen zwei Berghütten $12,5\text{ cm}$. Der Maßstab der Karte ist $1:50\,000$. Zwei Wanderer wollen diese Strecke gehen. Wenn ihre Durchschnittsgeschwindigkeit $4\text{ km/h}$ beträgt, berechne, wie lange sie von einer Hütte zur anderen brauchen, und gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.

Eine Gemeinde möchte die Nutzung sauberer Energie fördern und verteilt einen Zuschuss von $15\,000\text{ €}$ auf drei Hausgemeinschaften, die Solarmodule installiert haben. Die Aufteilung erfolgt direkt proportional zur installierten Modulfläche.

Gemeinschaft A hat $120\text{ m}^2$ installiert. Gemeinschaft B hat $25\%$ mehr installiert als Gemeinschaft A. Gemeinschaft C hat $60\%$ der Summe der Flächen von A und B zusammen installiert. Berechne, wie viel Geld jede Gemeinschaft erhält.

Der folgende Graph stellt den Zusammenhang zwischen der Masse eines Edelmetalls und seinem Marktwert dar. Beachte, dass es sich um eine proportionale Funktion handelt:

• a) Bestimme die Proportionalitätskonstante $k$, die den Preis pro Gramm angibt.

• b) Wenn ein Schmuckstück $15\%$ Verunreinigungen (Masse ohne Wert) enthält und insgesamt $24\text{ g}$ wiegt, welchen Wert hat dann das enthaltene reine Metall laut Graph?

Um eine Charge Baumwoll-T-Shirts zu färben, verwendet eine Werkstatt eine Mischung aus konzentrierter Farbe und Wasser. Laut Rezept müssen auf je $2,5\text{ Liter}$ Wasser $150\text{ ml}$ Farbe zugegeben werden.

Wenn die Werkstatt einen Tank mit $60\text{ Liter}$ Fassungsvermögen hat und ihn bei genau gleichem Mischungsverhältnis füllen will, welche Menge konzentrierter Farbe und welche Menge Wasser muss sie mischen? (Achtung: Das Endvolumen des Tanks ist die Summe beider Flüssigkeiten.)

Ein Leuchtturm wirft einen Schatten von $18\text{ Meter}$ auf den Boden. Im selben Moment wirft ein senkrechter Pfahl von $2,5\text{ Meter}$ Höhe in der Nähe des Leuchtturms einen Schatten von $150\text{ cm}$.

• a) Berechne die Höhe des Leuchtturms.

• b) Wenn die Sonne tiefer sinkt und der Schatten des Pfahls um $30\text{ cm}$ länger wird, wie lang ist dann der neue Schatten des Leuchtturms?

Eine Fertigungsstraße produziert pro Stunde eine konstante Anzahl elektronischer Bauteile. Man weiß, dass bei $5$ Arbeitstagen mit je $8$ Stunden insgesamt $14\,000$ Bauteile hergestellt wurden.

Wenn wegen eines dringenden Auftrags in den nächsten $6$ Tagen $25\,200$ Bauteile gefertigt werden müssen, wie viele Stunden pro Tag müssen die Maschinen dann laufen, um die Frist einzuhalten? Nimm dabei an, dass die Produktionsrate pro Stunde gleich bleibt.

Im Naturwissenschaftslabor wird mithilfe von Messzylindern der Zusammenhang zwischen der Masse ($M$, in Gramm) und dem Volumen ($V$, in Kubikzentimetern) einer unbekannten Flüssigkeit untersucht. Man weiß sicher, dass beide Größen direkt proportional zueinander sind. Nach dem Experiment ist ein Teil des Notizbuchs mit Tinte verschmiert, aber drei Hinweise sind erhalten:

1. Wenn das Volumen um $15\text{ cm}^3$ zunimmt, nimmt die Masse genau um $12\text{ g}$ zu.

2. Die Proportionalitätskonstante $k = \frac{M}{V}$ ist eine exakte Dezimalzahl kleiner als $1$.

3. Die Summe aus der Masse von $20\text{ cm}^3$ dieser Flüssigkeit und dem Volumen von $32\text{ g}$ derselben Flüssigkeit ist gleich $56$.

1. a) Bestimme den exakten Wert der Konstanten $k$ (Dichte der Flüssigkeit in $\text{g/cm}^3$) aus den erhaltenen Angaben und zeige, dass die Hinweise 1 und 3 miteinander verträglich sind.
2. b) Gib den Term an, mit dem man die Masse in Abhängigkeit vom Volumen erhält.
3. c) Du hast ein Gefäß, das eine maximale Last von $140\text{ g}$ trägt. Welches Volumen der Flüssigkeit kannst du höchstens hineingießen, ohne diese Masse zu überschreiten?

Der städtische Verleih von E-Bikes in einer deutschen Stadt hat folgenden Tarif: $1,20\text{ €}$ Grundgebühr fürs Entsperren des Fahrrads plus $0,15\text{ €}$ pro Fahrminute.

Emilia behauptet: „Wenn ich für eine Fahrt von $10\text{ Minuten}$ den Preis $1,20 + 10 \cdot 0,15 = 2,70\text{ €}$ zahle, muss ich bei doppelter Fahrzeit ($20\text{ Minuten}$) das Doppelte ($5,40\text{ €}$) zahlen. Da sich beim Verdoppeln der Zeit auch der Preis verdoppelt, sind beide Größen direkt proportional."

1. a) Berechne den tatsächlichen Preis einer Fahrt von $20\text{ Minuten}$ und bestimme, ob Emilias Aussage über den Preis stimmt.
2. b) Verwende den Quotienten $\frac{\text{Preis}}{\text{Zeit}}$ für $10$ und für $20\text{ Minuten}$ und erkläre ausführlich, warum Nutzungsdauer und Endpreis NICHT direkt proportional sind. Gib an, welcher Bestandteil des Tarifs die Proportionalität zerstört, und wie sich das im Graphen im Vergleich zu einer Ursprungsgeraden zeigen würde.
3. c) Verändere die ursprüngliche Aufgabe, indem du nur einen Bestandteil des Tarifs entfernst oder änderst, sodass der Gesamtpreis direkt proportional zur Nutzungsdauer wird. Gib an, wie die neue Proportionalitätskonstante $k$ lautet und was sie im Alltag bedeutet.