Transformator und Hochspannungsübertragung
Ein Windpark an der Nordsee erzeugt Strom, der in Köln oder im Ruhrgebiet gebraucht wird. Die Überlandleitungen führen dabei 380 kV, die Steckdose zu Hause liefert nur 230 V. Warum wählt man für den Transport eine so hohe Spannung, und wie kommt man mit der Spannung wieder herunter? Am Ende der Seite beantworten Sie das.
Effektivwert der Wechselspannung
Die Netzspannung ändert sich ständig: $U(t) = \hat{U}\sin(2\pi f t)$ mit dem Scheitelwert $\hat{U}$ und $f = 50\,\mathrm{Hz}$. Wenn Sie „230 V“ lesen, ist damit nicht $\hat{U}$ gemeint. Wie kann man einer sich ändernden Spannung einen einzigen Wert zuordnen?
Man fragt: Welche Gleichspannung heizt einen Widerstand genauso stark wie die Wechselspannung? Das ist der Effektivwert.
Die Momentanleistung am Widerstand $R$ ist
$$P(t) = \frac{U(t)^2}{R} = \frac{\hat{U}^2}{R}\sin^2(2\pi f t).$$Der Faktor $\sin^2$ schwankt zwischen 0 und 1. Sein Mittelwert ist $\tfrac12$: Es gilt $\sin^2 x = \tfrac12\,(1-\cos 2x)$, und der Anteil $\cos 2x$ hat im Mittel den Wert 0, weil er gleich oft positiv und negativ ist. Anders gesagt: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, und beide Funktionen haben dieselbe Kurvenform (nur um eine Viertelperiode verschoben) und damit denselben Mittelwert, also je $\tfrac12$. Also gilt $\overline{P} = \dfrac{\hat{U}^2}{2R}$.
Setzt man $\overline{P} = U_\text{eff}^2/R$, folgt
$$U_\text{eff} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}, \qquad I_\text{eff} = \frac{\hat{I}}{\sqrt{2}}.$$Ein Wechselspannungsnetz in einem Haushalt in Münster liefert eine Effektivspannung von $U_\text{eff} = 230\ \text{V}$. a) Berechnen Sie den Scheitelwert…
Ein Wechselspannungsnetz in einem Haushalt in Münster liefert eine Effektivspannung von $U_\text{eff} = 230\ \text{V}$.
- a) Berechnen Sie den Scheitelwert $\hat{U} = \sqrt{2}\cdot U_\text{eff}$ der Spannung.
- b) Berechnen Sie den Effektivwert der Stromstärke, wenn an diese Spannung ein Heizlüfter mit dem Widerstand $R = 26\ \Omega$ angeschlossen ist.
Eine Wechselspannung hat den zeitlichen Verlauf $U(t) = \hat{U}\sin(2\pi f t)$ mit $\hat{U} = 325\ \text{V}$ und $f = 50\ \text{Hz}$. An die Spannungsquelle ist ein…
Eine Wechselspannung hat den zeitlichen Verlauf $U(t) = \hat{U}\sin(2\pi f t)$ mit $\hat{U} = 325\ \text{V}$ und $f = 50\ \text{Hz}$. An die Spannungsquelle ist ein Widerstand $R = 100\ \Omega$ angeschlossen.
- a) Berechnen Sie die momentane Leistung $P(t)$ und ihren Maximalwert.
- b) Begründen Sie, dass die mittlere Leistung der Hälfte des Maximalwerts entspricht, und berechnen Sie sie.
- c) Leiten Sie daraus den Effektivwert der Spannung her und vergleichen Sie ihn mit $\hat{U}/\sqrt{2}$.
Der Transformator
Ein Steckernetzteil macht aus 230 V ungefähr 5 V oder 19 V. Das gelingt mit zwei Spulen auf einem gemeinsamen Eisenkern: Primärspule ($N_1$ Windungen) und Sekundärspule ($N_2$ Windungen).
Die Primärspule wird an Wechselspannung angeschlossen. Der Wechselstrom erzeugt ein sich änderndes Magnetfeld, das der Eisenkern durch beide Spulen führt. Der magnetische Fluss $\Phi$ ändert sich also. Nach dem Induktionsgesetz wird in jeder Spule $U_\text{ind} = -N\cdot\dot\Phi$ induziert. In der Sekundärspule ist diese induzierte Spannung die Ausgangsspannung $U_2$. In der Primärspule wirkt die induzierte Spannung nach der Lenz'schen Regel (Minuszeichen) der angelegten Spannung entgegen; bei vernachlässigbarem Spulenwiderstand gilt daher $U_1 \approx -U_\text{ind,1} = N_1\cdot\dot\Phi$. Beide Spulen werden vom gleichen Fluss durchsetzt, also verhalten sich die Spannungen wie die Windungszahlen.
Das ist keine Zauberei: Die Leistung wird nicht vermehrt. Wird die Spannung kleiner, wird die Stromstärke größer.
Im Schulversuch stecken Sie Primär- und Sekundärspule auf einen geschlossenen Eisenkern, legen an die Primärspule eine Wechselspannung und messen $U_1$, $U_2$, $I_1$ und $I_2$. Das Ergebnis bestätigt näherungsweise (bei geringer Belastung) $U_1/U_2 = N_1/N_2$. Im Modellexperiment zur Freileitung schaltet man zwei lange Leitungen zwischen Netzgerät und Lampe, mit und ohne Transformatoren (z. B. $1:10$ am Anfang und $10:1$ am Ende). Mit Transformatoren fließt in der Leitung ein viel kleinerer Strom, die Verlustleistung $I^2R$ sinkt, und die Lampe leuchtet heller.
Ein idealer Transformator in einem Schulexperiment hat eine Primärspule mit $N_1 = 600$ Windungen und eine Sekundärspule mit $N_2 = 150$ Windungen. Die Primärspannung…
Ein idealer Transformator in einem Schulexperiment hat eine Primärspule mit $N_1 = 600$ Windungen und eine Sekundärspule mit $N_2 = 150$ Windungen. Die Primärspannung beträgt $U_1 = 24\ \text{V}$.
- a) Berechnen Sie die Sekundärspannung $U_2$.
- b) Geben Sie an, ob es sich um einen Abwärts- oder Aufwärtstransformator handelt.
Ein idealer Transformator wandelt $U_1 = 230\ \text{V}$ in $U_2 = 12\ \text{V}$ um. Auf der Sekundärseite fließt ein Strom von $I_2 = 2,5\ \text{A}$. a) Berechnen Sie…
Ein idealer Transformator wandelt $U_1 = 230\ \text{V}$ in $U_2 = 12\ \text{V}$ um. Auf der Sekundärseite fließt ein Strom von $I_2 = 2,5\ \text{A}$.
- a) Berechnen Sie die Leistung auf der Sekundärseite.
- b) Berechnen Sie die Stromstärke $I_1$ auf der Primärseite.
Reale Transformatoren und Verluste
Ein realer Transformator gibt weniger Leistung ab, als er aufnimmt. Der Wirkungsgrad ist
$$\eta = \frac{P_\text{ab}}{P_\text{auf}} = \frac{U_2 I_2}{U_1 I_1}.$$Ursachen der Verluste:
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Stromwärmeverluste in den Kupferwicklungen (ohmscher Widerstand der Spulen, $P = I^2 R$).
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Wirbelstromverluste im Eisenkern: Der sich ändernde Fluss induziert im massiven Eisen Kreisströme, die den Kern erwärmen. Deshalb besteht der Kern aus voneinander isolierten Blechen. So bleiben die Strombahnen klein und die Wirbelströme schwach.
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Ummagnetisierungsverluste (Hysterese): Das ständige Umpolen des Eisens kostet Energie.
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Streufluss: Nicht der ganze Fluss der Primärspule durchsetzt die Sekundärspule.
Ein Transformator eines Steckernetzteils für einen Laptop in Hamburg nimmt primärseitig bei $U_1 = 230\ \text{V}$ die Stromstärke $I_1 = 0,40\ \text{A}$ auf und gibt…
Ein Transformator eines Steckernetzteils für einen Laptop in Hamburg nimmt primärseitig bei $U_1 = 230\ \text{V}$ die Stromstärke $I_1 = 0,40\ \text{A}$ auf und gibt sekundärseitig $U_2 = 19\ \text{V}$ bei $I_2 = 4,2\ \text{A}$ ab.
- a) Berechnen Sie die aufgenommene und die abgegebene Leistung.
- b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Transformators.
- c) Nennen Sie zwei physikalische Ursachen für die Verluste in einem realen Transformator.
Ein realer Transformator mit $N_1 = 1.100$ und $N_2 = 55$ Windungen wird primärseitig an $U_1 = 230\ \text{V}$ betrieben. Sekundärseitig ist ein ohmscher Verbraucher mit…
Ein realer Transformator mit $N_1 = 1.100$ und $N_2 = 55$ Windungen wird primärseitig an $U_1 = 230\ \text{V}$ betrieben. Sekundärseitig ist ein ohmscher Verbraucher mit $R = 1,5\ \Omega$ angeschlossen. Die gemessene Primärstromstärke beträgt $I_1 = 0,62\ \text{A}$. Die Sekundärspannung entspricht dem idealen Wert.
- a) Berechnen Sie die Sekundärspannung und die Sekundärstromstärke.
- b) Bestimmen Sie den Wirkungsgrad.
- c) Begründen Sie, warum der Eisenkern des Transformators aus voneinander isolierten Blechen aufgebaut wird.
Hochspannungsübertragung
Zurück zum Anfang: Warum 380 kV? Ein Kraftwerk oder Windpark soll die Leistung $P$ übertragen. Mit der Übertragungsspannung $U$ fließt in der Leitung
$$I = \frac{P}{U}.$$Die Leitung mit dem Widerstand $R$ erwärmt sich und verliert die Leistung
$$P_V = I^2 R = \frac{P^2}{U^2}\,R.$$Deshalb steht am Anfang der Leitung ein Aufwärtstransformator und am Ende ein Abwärtstransformator. Das geht nur mit Wechselspannung, und das ist ein Hauptgrund, warum unser Netz Wechselspannung nutzt. Grenzen gibt es trotzdem: Höhere Spannung verlangt größere Isolationsabstände, höhere Masten und mehr Aufwand, und es können Sprühentladungen auftreten.
Zurück zum Anfang: Bei 380 kV ist die Stromstärke klein, daher sind die Verluste in der langen Leitung gering. Am Ziel setzen Abwärtstransformatoren die Spannung stufenweise auf 230 V herab.
Ein Kraftwerk überträgt die Leistung $P = 50\ \text{MW}$ über eine Freileitung mit dem Gesamtwiderstand $R = 8,0\ \Omega$. a) Berechnen Sie die Stromstärke in der…
Ein Kraftwerk überträgt die Leistung $P = 50\ \text{MW}$ über eine Freileitung mit dem Gesamtwiderstand $R = 8,0\ \Omega$.
- a) Berechnen Sie die Stromstärke in der Leitung und die Verlustleistung $P_V = I^2 R$ bei einer Übertragungsspannung von $110\ \text{kV}$.
- b) Berechnen Sie dieselben Größen bei $380\ \text{kV}$.
- c) Erläutern Sie anhand der Ergebnisse, warum Energie über große Entfernungen mit Hochspannung übertragen wird.
In einem Modellexperiment zur Freileitung wird eine Glühlampe ($12\ \text{V}$, $24\ \text{W}$) über zwei lange Leitungen mit dem Gesamtwiderstand $2,0\ \Omega$ an ein…
In einem Modellexperiment zur Freileitung wird eine Glühlampe ($12\ \text{V}$, $24\ \text{W}$) über zwei lange Leitungen mit dem Gesamtwiderstand $2,0\ \Omega$ an ein Netzgerät angeschlossen. Anschließend wird dieselbe Anordnung mit je einem Transformator (Übersetzungsverhältnis $1:10$ am Anfang, $10:1$ am Ende der Leitung) betrieben. Die Lampe soll jeweils mit ihrer Nennleistung leuchten. Die Transformatoren seien ideal.
- a) Berechnen Sie die Stromstärke in der Leitung und die Verlustleistung in der Leitung ohne Transformatoren.
- b) Berechnen Sie die Stromstärke in der Leitung und die Verlustleistung in der Leitung mit Transformatoren.
- c) Vergleichen Sie die Ergebnisse und deuten Sie sie.
Ein Windpark in Schleswig-Holstein speist $P = 30\ \text{MW}$ über eine $60\ \text{km}$ lange Doppelleitung ein. Der Leitungswiderstand beträgt $0,12\ \Omega$ pro…
Ein Windpark in Schleswig-Holstein speist $P = 30\ \text{MW}$ über eine $60\ \text{km}$ lange Doppelleitung ein. Der Leitungswiderstand beträgt $0,12\ \Omega$ pro Kilometer (für die gesamte Hin- und Rückleitung). Die Verlustleistung in der Leitung soll höchstens $2,0\ \%$ der übertragenen Leistung betragen.
- a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Leitung.
- b) Berechnen Sie die maximal zulässige Stromstärke.
- c) Bestimmen Sie die dafür mindestens erforderliche Übertragungsspannung (Näherung: Spannungsabfall in der Leitung vernachlässigbar).
- d) Beurteilen Sie, welche Folgen es hätte, die Spannung zu halbieren.